感悟基本图形，提升初中学生数学解题能力

    邓紫琳

    [摘? 要] 当前数学知识的运用主要体现在解题上，因此解题能力的培养就成为初中数学教学的重中之重. 数学是研究数与形的学科，数形结合是数学教学的基本思想，面向初中学生，以基本图形为研究对象，并将其作为提升学生解题能力的载体，符合初中学生的认知特点，能收到较好的效果.

    [关键词] 初中学生;数学解题能力;基本图形;感悟

    在诸多学科中，数学学科可能是对思维要求最高的了. 在初中数学教学中，思维能力主要体现在两个方面：一是数学知识的建构;二是数学知识的运用. 当前数学知识的运用主要体现在解题上，因此解题能力的培养成为初中数学教学的重中之重.

    作为一门基础学科，可以说数学教师的主要精力就在解题上. 梳理与初中生数学解题相关的文献可以发现，提升初中学生数学解题能力的策略极多，进一步比较则发现，更多的策略研究往往集中在题型分类上，而没有去寻找更加根本的东西. 在笔者看来，基本图形就是“根本”之一.

    数学是研究数与形的学科，数形结合是数学教学的基本思想，面向初中学生，以基本图形为研究对象，并将其作为提升学生解题能力的载体，符合初中学生的认知特点，能收到较好的效果. 下面就这一话题谈谈笔者探究的收获.

    基本图形对提升初中学生数学解题能力的作用

    之所以选择基本图形作为提升初中学生解题能力的载体，是因为笔者看到了基本图形发挥的作用. 基本图形属于几何范畴，数学教师都知道，数学是培养人的思维能力的一门科学，数学中的几何学，就是研究空间结构及性质的一门学科，它是数学中最基本的研究内容之一. 在几何学科中，学生会遇到数不清的图形，这些图形不可能完全进入学生的长时记忆，这是因为人的记忆容量有限，而教学经验以及解题经验也表明，其实很多复杂图形都是从基本图形演绎而来的，因此研究基本图形可以对学生的解题能力培养起到固本培元的作用.

    上面提到的初中学生的认知特点，这里想详细阐述一下. 众所周知，初中学生以形象思维为主，而形象思维的对象就是表象，那表象从哪里来呢？从认知心理学的角度看，这取决于学生在学习过程中的思维加工对象. 如果在学习过程中，让学生重点加工基本图形，那么这些基本图形就可以在学生的大脑中形成比较清晰的表象，从而为解决更加复杂的图形做准备.

    举一个例子，在相似三角形的教学中，有这样一个图形（如图1），在这个图形当中，有∠C=∠ABD，根据相似三角形的性质能得到AB2=AD·AC. 这个关系式在很多问题的解决中都会用到，相应地，有些题目的图形也是根据这个图形转变而来的，因此以此图为基本图形，并以之为“母图”，将其他演绎出来的图形称为“子图”. 如果“母图”越基本，“子图”越丰富，那实际教学中学生就能更好地基于“母图”，借用其中的等量关系，解决与之相关的其他问题.

    还有一点值得注意，那就是，基本图形的获得，不一定全部是教师的工作，让学生在解题的过程中进行总结与提炼，让他们寻找基本图形，本身就是一个分析与综合的过程，可以培养学生的解题能力，提升学生的解题品质.

    利用基本图形提升初中学生数学解题能力案例

    在实际教学中，利用基本图形来提升初中学生的解题能力，这样的实践案例教师积累得越丰富越好，而且在此过程中要讲究策略. 有研究指出，这样的一些策略可能是有效的：渗透数学思想方法，提高学生数学素养;提炼基本图形，提高学生思维水平;利用一题多解，促进学生思维发展;利用变式训练，将知识融会贯通;利用开放性试题，发散学生思维;解题后进行反思，综合提升能力. 笔者在实践中也发现，利用一定的策略去研究基本图形，可以让学生的解题能力提升变得事半功倍.

    例如，图2是四边形中的一个基本图形，其中的基本关系是AP·BP=AD·BC. 对这个基本图形进行概括，可以用一句话——一线三垂直，这个特征必须让学生记住，因为这是基本图形的“基本”所在. 在这个基本图形的基础之上，教师可以通过变式向学生提供其他习题，如：将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AB的中点处，记作C′，点D的对应点为D′，C′D′与AD交于点M，如图3. 试用AB和BC表示AM的长.

    通常情况下，学生遇到折叠类试题时，会感觉十分头疼，这是因为学生的想象能力不足以支撑这么复杂的变换. 当学生感觉头疼的时候，实际上就是学生思维加工出现困难的时候，此时如果引导学生分析，就可以找到这个复杂的图形中其实存在着“一线三垂直”特征——可以让学生自己寻找. 事实表明，当学生有了这一发现之后，他们就找到了解题思路，也就是会找到图中相似的两个三角形——△AC′M和△BFC′，其后的求解过程就比较顺利了.

    此时让学生去总结，他们就会更加清晰地认识到前面那个基本图形的作用，同时会在学生的大脑中强化一个认识，即解图形类试题时，自己大脑中一定要储存一定量的基本图形，因为这些基本图形是解决更复杂问题的工具. 一旦学生有了这个认识，并且能落到实处，那学生的解题能力自然能得到提升.

    基本图形的构建本质上是扩充学生的知识组块

    在初中數学教学中，之所以高度重视基本图形的作用，其中一个很重要的原因是，这一策略符合初中学生的认知特点. 关于这一点，前面已经有所强调，这里想进一步表明的是，在几何教学中，将同种类型的问题进行合理归纳、梳理，进而形成一个基本图形，对提高课堂效率和提升学生的数学解题能力有很重要的作用. 这种作用发挥的机制在于，学生大脑中的基本图形越丰富，他们在解题的时候能够运用的工具就越多，而且能更加得心应手. 但记忆规律表明，人的记忆容量是有限的，学生不可能将大量的图形储存在大脑当中，而要有效地面对复杂的图形以及题目，学生唯一有效的选择就是基本图形.

    很显然，如果这些基本图形储存不够，那学生在解决复杂问题的时候，就一定会捉襟见肘，这自然不利于解题能力的提升. 当研究并储存了基本图形之后，尤其是基本图形之间能够发生有益的联系时，学生的知识组块就会变得更大，而知识组块越大，这些基本图形在学生解题能力提升的过程中所能发挥的作用自然就越大.

    总之，在初中数学教学中，教师要高度重视基本图形的作用，要帮助学生积累基本图形，要引导学生发现基本图形，只要做到这些，学生解题能力的提升便水到渠成.