利用函数教学，培养学生数学地学习数学意识的几点思考
陈久贵 邵贤虎
江苏省江浦高级中学 (211800)
按照新课程计划，学生从初中跨入高中学习，首先用一个学段(半个学期)的时间学习必修1，而必修1的主要内容是函数.一方面，在学生初中已学过函数知识的基础上，如何通过教学深化对函数的理解；另一方面，这个学段是面临初高中学习方法衔接的首个学段，如何以函数教学为载体，加强对学生学习方法的指导，培养学生数学地学习数学的意识，获取数学地学习数学的本领，为后续模块的学习打下良好的基础显得尤为重要.这两个方面的问题是我们广大一线教师不得不认真思考的问题.结合自己的教学实践，笔者就后一个问题谈几点思考，以期赐教.
一、用好符号语言
数学的发展已经充分证明正确合理地使用形象、简洁的数学符号语言能够凸现数学问题的本质，能使复杂的问题变得简单、明了.由此可知学生要学好数学，首先应学会用好数学符号语言.所以通过函数的教学，在初中用字母表示数的基础上，应进一步引领学生认识数学符号语言出现的必然性以及给数学的发展所带来的概括性、简洁性，这既是培养学生思维由具体到抽象的需要，也是培养学生数学表达与交流能力的需要.例如函数概念由初中的变量说发展到高中的对应说，就应指导学生用数学符号语言y=f(x)表示函数，用f(a)表示当x=a时函数y的值，以此让学生感悟数学符号语言的概括性与简洁性.在此基础上再通过函数性质的教学，指导学生合理地把初中用文字语言描述的性质用数学符号语言来精确地表述.如函数的单调性在初中只是用文字语言表述成函数图像的上升(下降)，而到了高中应使学生明白用数学符号语言“x1f(x2))”简洁地表示.总而言之，教学中应通过函数中大量出现的用数学符号语言表示的诸如分段函数、指数、对数、指数函数、对数函数与幂函数等知识，培养学生用好数学符号语言的意识.
二、揭示概念本质
数学中的概念、定理与公式是数学知识体系中最基本、也是最重要的组成部分.概念有内涵和外延，概念的内涵就是这个概念所反映事物的本质属性的总和，而概念的外延就是这个概念所涉及的范围.在数学概念中，有的抽象，有的单调枯燥且文字冗长.基于学生在初中对概念的学习采用接受、记忆的成份要大于理解、领悟的成份这一背景，到了高中如何帮助学生加强对概念的学习，如何帮助学生理解概念、领悟概念，关键在于指导学生突出概念的本质特性，抓住概念中最能体现本质特征的关键词语，努力培养学生揭示概念本质的意识，以此帮助学生强化基础.例如在函数概念教学中，首先指导学生从一些不同情境的实际问题中概括出这些实际问题的共同特性然后逐步归纳出函数概念.在此基础上指导学生从多个角度理解函数概念：函数是一种重要的数学模型，用来描述客观世界两变量相互联系、相互依存的变化规律；函数的表示不仅可用解析式表示，而且还可以用表格、图像直观地表示.由此揭示函数概念的本质；函数是两个变量之间的一种特殊的对应关系，即每一个自变量x的值，都对应唯一的因变量y的值.从这里不难看出，培养学生揭示概念本质的意识，一是让学生经历概念的发生与形成过程(从实际问题中概括出本质特性，归纳出概念)；二是指导学生仔细阅读概念，从多个角度理解概念，提炼出概念中的关键词语(如函数概念中“每一个”、“唯一”等关键词语)，帮助学生透彻领悟概念.
三、善于列举反例
数学的发展离不开反例的作用，同样学生学习数学也不容忽视反例的功能.在高中数学学习中，通过反例来澄清一些认识上的误区，加深对概念、性质与定理的理解有着十分重要的作用.由于学生在初中阶段接触反例较少，因此在高中数学学习中应不失时机地培养学生举反例的意识，而函数的教学就有此独特的功能.例如，在研究函数的单调性时，有些函数的单调增(减)区间不止一个，为什么不能用并集符号把它们“并”起来，而要将它们分开表达，学生认识不清.此时可通过反例来帮助学生进行理解.如f(x)=1x在(-∞，0)，(0，+∞)上是减函数，那么单调减区间为什么不能表示成(-∞,0)∪(0,+∞)?此时可举反例：x1=-1,x2=1，显然x1
事物的发展总是有着它的规律性，人们认识事物基本是循着这样的规律去进行：这个事物是什么，它有着什么样的特性；这个事物与其它事物有着怎样的内在联系；这个事物有哪些用途，利用它能解决哪些问题等等.事实上高中数学教材每一章(节)的内容大都是按照这样的方式来呈现相关的内容：这一章(节)中出现的新的概念是怎样定义的，它有哪些性质；这个概念所涵盖的知识与数学中的其它知识有着怎样的内在联系；最后再研究这些知识的应用.综上所述，人们认识事物的这一基本规律，教材中呈现知识的这一结构方式，需要我们广大教师不失时机地从学生进入高中开始就向他们潜移默化进行渗透.学生一旦掌握了认识事物的基本规律，就能主动地去认识新事物，就能信心十足地投入到数学学习中去；学生一旦有了提炼每章(节)知识结构的意识与方法，就能自觉地去编织每章(节)的知识网络，就能有序地把课本中的知识纳入到自己的知识结构中去，变课本知识为“我”的知识.长此下去，他们的基础知识就会更加扎实，学习起来信心也将更加充足.例如在函数第1节函数概念与图像教学结束时，笔者要求学生小结本小节学习的内容，同学们大都很快地按照概念——性质——图像(数与形的联系)——应用这一规律构建出知识框架，并能用自己的语言说出每一块的具体内容；再例如在学习指数函数前，笔者曾问学生：按照你的认识规律，你能说说指数函数我们该研究哪些内容吗?不少学生都能说出：概念、性质、图像、应用.在对数函数的教学时，笔者干脆让学生循着这样的规律去自主学习、合作交流，教师仅仅在个别地方作了点拨，同学们不仅学习的积极性很高，而且学习的效果十分明显.
五、注重化归思想
化归的实质是把陌生的问题转化为已经解决的或熟悉的问题来处理，把复杂的问题转化为简单的问题来解决.因此化归的方法是人们解决问题的一种方法，更是处理数学问题的一种基本策略.所以，在函数教学中可结合教学内容向学生渗透化归的方法，以培养学生化归的意识.(1)等价化归.例如，在对数的教学中，应指导学生抓住指数式a琤=N(a>0且a≠1)与对数式b=玪og璦N的等价性，把对数运算法则的研究化归为自己已经熟悉的指数的运算进行处理；再例如求函数y=f(x)的零点，从“数”的角度可以等价化归为求方程f(x)=0的实根；从“形”的角度可以等价化归为求函数y=ゝ(x)的图像与x轴的交点.(2)未知化归为已知.如对于一些函数模型的实际应用问题，应指导学生弄清题目中所叙述的实际问题的意义，接受题目所约定的临时性定义，理解题目中量与量之间的位置、数量等各种关系，领悟其中的数学本质，进而指导学生把实际问题用字母符号、关系符号表示出来，建立函数模型，再化归为已熟悉的函数问题来解决.(3)特殊化归为一般.如映射概念的教学可从特殊的映射——函数入手，再来指导学生建立一般映射的概念，这样学生学起来，既不感到抽象，又容易记得牢.学生一旦有了化归的意识，就有了解决问题的一种基本方法.事实上解决数学问题的各种数学思想方法，实质上都是数学模式之间进行化归的一种手段.
六、勇于数学探究
新课程标准指出：学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，还应倡导自主探索、动手实践等学习数学的方式.数学探究既是高中数学课程引入的一种新的学习方式，也是新课程的重要理念.因此在函数教学中，在力所能及的前提下，应努力培养学生数学探究的意识.例如在函数概念教学中，可以设计这样的探究性课题，已知一个函数f(x)的值域为［0，4］，则这样的函数有多少个?试写出其中的两个函数.通过这样的探究，不仅培养了学生自主探索、动手实践的意识，而且使学生对函数概念涉及的三要素定义域、对应法则、值域有了更深入的了解.再例如：在函数概念与图像这一小节学习结束后，笔者出了这样一道开放性课题：利用你所学的知识研究函数f(x)=x+1x(x≠0)的性质.在研究函数的单调性时，同学们都知道利用对称性化归为着重研究函数f(x)在区间(0，+∞)上的单调性.为此设00)到直线l:y=x的距离为d=22x(见右图，下同)，并指出随着x的增大，d的值越来越小；在此基础上还有的课题小组得出这样的结论：过点P作PM⊥l，垂足为M，作PN⊥y轴，垂足为N，则PM?PN=22，并求出了四边形OMPN的面积解析式为S=12x2+14x2+1,……
学生从初中进入高中学习，不仅要帮助他们理解概念、掌握知识，还要培养他们良好的学习习惯，更重要的是培养他们数学地学习数学的意识.由于函数的内容与初中有着密切的联系，这也为通过函数的教学，培养学生数学地学习数学的意识提供了平台.需要指出的是，培养
学生数学地学习数学的意识，还涉及其它方面，教学中要结合学生的认知规律、心智特点，有所选择、有所侧重，务求循序渐进、水到渠成.
参考文献
［1］李强.高中新教材中函数概念教学思考［J］.数学通报，2007，5.
［2］朱占奎.用好数学符号，凸现数学问题［J］.中学数学教学参考，2007，6.
［3］黄艳明.“数学诡辩”的设计及其教学价值［J］.中国数学教育，2006，1.
［4］烟学敏.突出数学思想方法的教学，改进课堂教学方法，搞好新的高中数学教材试验.高中数学课程教材改革［M］.上海：上海科学技术出版社，2000，6.
［5］雷晓莉等.成材之路?高一数学［M］.北京：人民教育出版社，2007，7.
江苏省江浦高级中学 (211800)
按照新课程计划，学生从初中跨入高中学习，首先用一个学段(半个学期)的时间学习必修1，而必修1的主要内容是函数.一方面，在学生初中已学过函数知识的基础上，如何通过教学深化对函数的理解；另一方面，这个学段是面临初高中学习方法衔接的首个学段，如何以函数教学为载体，加强对学生学习方法的指导，培养学生数学地学习数学的意识，获取数学地学习数学的本领，为后续模块的学习打下良好的基础显得尤为重要.这两个方面的问题是我们广大一线教师不得不认真思考的问题.结合自己的教学实践，笔者就后一个问题谈几点思考，以期赐教.
一、用好符号语言
数学的发展已经充分证明正确合理地使用形象、简洁的数学符号语言能够凸现数学问题的本质，能使复杂的问题变得简单、明了.由此可知学生要学好数学，首先应学会用好数学符号语言.所以通过函数的教学，在初中用字母表示数的基础上，应进一步引领学生认识数学符号语言出现的必然性以及给数学的发展所带来的概括性、简洁性，这既是培养学生思维由具体到抽象的需要，也是培养学生数学表达与交流能力的需要.例如函数概念由初中的变量说发展到高中的对应说，就应指导学生用数学符号语言y=f(x)表示函数，用f(a)表示当x=a时函数y的值，以此让学生感悟数学符号语言的概括性与简洁性.在此基础上再通过函数性质的教学，指导学生合理地把初中用文字语言描述的性质用数学符号语言来精确地表述.如函数的单调性在初中只是用文字语言表述成函数图像的上升(下降)，而到了高中应使学生明白用数学符号语言“x1
二、揭示概念本质
数学中的概念、定理与公式是数学知识体系中最基本、也是最重要的组成部分.概念有内涵和外延，概念的内涵就是这个概念所反映事物的本质属性的总和，而概念的外延就是这个概念所涉及的范围.在数学概念中，有的抽象，有的单调枯燥且文字冗长.基于学生在初中对概念的学习采用接受、记忆的成份要大于理解、领悟的成份这一背景，到了高中如何帮助学生加强对概念的学习，如何帮助学生理解概念、领悟概念，关键在于指导学生突出概念的本质特性，抓住概念中最能体现本质特征的关键词语，努力培养学生揭示概念本质的意识，以此帮助学生强化基础.例如在函数概念教学中，首先指导学生从一些不同情境的实际问题中概括出这些实际问题的共同特性然后逐步归纳出函数概念.在此基础上指导学生从多个角度理解函数概念：函数是一种重要的数学模型，用来描述客观世界两变量相互联系、相互依存的变化规律；函数的表示不仅可用解析式表示，而且还可以用表格、图像直观地表示.由此揭示函数概念的本质；函数是两个变量之间的一种特殊的对应关系，即每一个自变量x的值，都对应唯一的因变量y的值.从这里不难看出，培养学生揭示概念本质的意识，一是让学生经历概念的发生与形成过程(从实际问题中概括出本质特性，归纳出概念)；二是指导学生仔细阅读概念，从多个角度理解概念，提炼出概念中的关键词语(如函数概念中“每一个”、“唯一”等关键词语)，帮助学生透彻领悟概念.
三、善于列举反例
数学的发展离不开反例的作用，同样学生学习数学也不容忽视反例的功能.在高中数学学习中，通过反例来澄清一些认识上的误区，加深对概念、性质与定理的理解有着十分重要的作用.由于学生在初中阶段接触反例较少，因此在高中数学学习中应不失时机地培养学生举反例的意识，而函数的教学就有此独特的功能.例如，在研究函数的单调性时，有些函数的单调增(减)区间不止一个，为什么不能用并集符号把它们“并”起来，而要将它们分开表达，学生认识不清.此时可通过反例来帮助学生进行理解.如f(x)=1x在(-∞，0)，(0，+∞)上是减函数，那么单调减区间为什么不能表示成(-∞,0)∪(0,+∞)?此时可举反例：x1=-1,x2=1，显然x1
事物的发展总是有着它的规律性，人们认识事物基本是循着这样的规律去进行：这个事物是什么，它有着什么样的特性；这个事物与其它事物有着怎样的内在联系；这个事物有哪些用途，利用它能解决哪些问题等等.事实上高中数学教材每一章(节)的内容大都是按照这样的方式来呈现相关的内容：这一章(节)中出现的新的概念是怎样定义的，它有哪些性质；这个概念所涵盖的知识与数学中的其它知识有着怎样的内在联系；最后再研究这些知识的应用.综上所述，人们认识事物的这一基本规律，教材中呈现知识的这一结构方式，需要我们广大教师不失时机地从学生进入高中开始就向他们潜移默化进行渗透.学生一旦掌握了认识事物的基本规律，就能主动地去认识新事物，就能信心十足地投入到数学学习中去；学生一旦有了提炼每章(节)知识结构的意识与方法，就能自觉地去编织每章(节)的知识网络，就能有序地把课本中的知识纳入到自己的知识结构中去，变课本知识为“我”的知识.长此下去，他们的基础知识就会更加扎实，学习起来信心也将更加充足.例如在函数第1节函数概念与图像教学结束时，笔者要求学生小结本小节学习的内容，同学们大都很快地按照概念——性质——图像(数与形的联系)——应用这一规律构建出知识框架，并能用自己的语言说出每一块的具体内容；再例如在学习指数函数前，笔者曾问学生：按照你的认识规律，你能说说指数函数我们该研究哪些内容吗?不少学生都能说出：概念、性质、图像、应用.在对数函数的教学时，笔者干脆让学生循着这样的规律去自主学习、合作交流，教师仅仅在个别地方作了点拨，同学们不仅学习的积极性很高，而且学习的效果十分明显.
五、注重化归思想
化归的实质是把陌生的问题转化为已经解决的或熟悉的问题来处理，把复杂的问题转化为简单的问题来解决.因此化归的方法是人们解决问题的一种方法，更是处理数学问题的一种基本策略.所以，在函数教学中可结合教学内容向学生渗透化归的方法，以培养学生化归的意识.(1)等价化归.例如，在对数的教学中，应指导学生抓住指数式a琤=N(a>0且a≠1)与对数式b=玪og璦N的等价性，把对数运算法则的研究化归为自己已经熟悉的指数的运算进行处理；再例如求函数y=f(x)的零点，从“数”的角度可以等价化归为求方程f(x)=0的实根；从“形”的角度可以等价化归为求函数y=ゝ(x)的图像与x轴的交点.(2)未知化归为已知.如对于一些函数模型的实际应用问题，应指导学生弄清题目中所叙述的实际问题的意义，接受题目所约定的临时性定义，理解题目中量与量之间的位置、数量等各种关系，领悟其中的数学本质，进而指导学生把实际问题用字母符号、关系符号表示出来，建立函数模型，再化归为已熟悉的函数问题来解决.(3)特殊化归为一般.如映射概念的教学可从特殊的映射——函数入手，再来指导学生建立一般映射的概念，这样学生学起来，既不感到抽象，又容易记得牢.学生一旦有了化归的意识，就有了解决问题的一种基本方法.事实上解决数学问题的各种数学思想方法，实质上都是数学模式之间进行化归的一种手段.
六、勇于数学探究
新课程标准指出：学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，还应倡导自主探索、动手实践等学习数学的方式.数学探究既是高中数学课程引入的一种新的学习方式，也是新课程的重要理念.因此在函数教学中，在力所能及的前提下，应努力培养学生数学探究的意识.例如在函数概念教学中，可以设计这样的探究性课题，已知一个函数f(x)的值域为［0，4］，则这样的函数有多少个?试写出其中的两个函数.通过这样的探究，不仅培养了学生自主探索、动手实践的意识，而且使学生对函数概念涉及的三要素定义域、对应法则、值域有了更深入的了解.再例如：在函数概念与图像这一小节学习结束后，笔者出了这样一道开放性课题：利用你所学的知识研究函数f(x)=x+1x(x≠0)的性质.在研究函数的单调性时，同学们都知道利用对称性化归为着重研究函数f(x)在区间(0，+∞)上的单调性.为此设0
学生从初中进入高中学习，不仅要帮助他们理解概念、掌握知识，还要培养他们良好的学习习惯，更重要的是培养他们数学地学习数学的意识.由于函数的内容与初中有着密切的联系，这也为通过函数的教学，培养学生数学地学习数学的意识提供了平台.需要指出的是，培养
学生数学地学习数学的意识，还涉及其它方面，教学中要结合学生的认知规律、心智特点，有所选择、有所侧重，务求循序渐进、水到渠成.
参考文献
［1］李强.高中新教材中函数概念教学思考［J］.数学通报，2007，5.
［2］朱占奎.用好数学符号，凸现数学问题［J］.中学数学教学参考，2007，6.
［3］黄艳明.“数学诡辩”的设计及其教学价值［J］.中国数学教育，2006，1.
［4］烟学敏.突出数学思想方法的教学，改进课堂教学方法，搞好新的高中数学教材试验.高中数学课程教材改革［M］.上海：上海科学技术出版社，2000，6.
［5］雷晓莉等.成材之路?高一数学［M］.北京：人民教育出版社，2007，7.
