莫比乌斯带

    吴淑梅 刘宏博

    普通纸带具有两个面（即双侧曲面）：一个正面，一个反面.有没有一个纸带只有一个面（即单侧曲面），一只小虫可以爬遍整个曲面而不必跨过它的边缘？对于这样一个看来十分简单的问题，数百年间，曾有许多科学家进行了认真研究，结果都没有成功.

    1858年德国的数学家莫比乌斯发现了莫比乌斯带（莫比乌斯圈）：把纸条的一端扭转180°，与另一端粘在一起，就做成了莫比乌斯带.它不同于普通纸带具有两个面，莫比乌斯带只有一个面（即单侧曲面）.

    宋朝诗人苏轼曾写过一首回形诗：赏花归去马如飞，去马如飞酒力微，酒力微醒时已暮，醒时已暮赏花归.如果在纸条正面写上“赏花归去马如飞”，在背面等距写上“酒力微醒时已暮”，然后把纸条做成“莫比乌斯带”状，就会发现：顺着这个圈，你就可以反复无穷地读出这首诗，这很好地反映出“莫比乌斯带”的特点.

    在长方形纸带沿长边的方向上画一中线，做成莫比乌斯带，然后沿中线剪开，所得是一个长度为原来莫比乌斯带长度的两倍、宽度为原来莫比乌斯带宽度的二分之一的一条带子.但这个带子不是莫比乌斯带，并且是双侧曲面.

    若把原来长方形纸带沿带长方向画两条三等分线后，粘合成莫比乌斯带.沿着三等分线把带子用剪刀剪开，结果是一大一小两个环带套在一起.较长的那个带子，是前面描述过的，双侧曲面，另一个则是一个莫比乌斯带.

    以曲面上边缘外的每一点为圆心各画一个小圆，对每个小圆周指定一个方向，称为相伴莫比乌斯圈单侧曲面圆心点的指向.若能使相邻两点相伴的指向相同，则称曲面可定向，否则称为不可定向.莫比乌斯圈是不可定向的.比如，拿一个球体，在北极点处可以宣称此点方向“向外”，指向为竖直向上.当在球面上移动该点时，“向外”的方向仍然指向球体外部.相比之下，试着在莫比乌斯带上任意选择具有“向上”或“向下”的点.当沿着莫比乌斯带滑动时，最终回到最开始所選择的点，方向已经由“向上”变成“向下”了.

    莫比乌斯带还有着更为奇异的特性.一些在平面上无法解决的问题，却不可思议地在莫比乌斯圈上获得了解决.比如在普通空间无法实现的“手套易位问题”：人左右两手的手套虽然极为相像，但却有着本质的不同.我们不可能把左手的手套贴切地戴到右手上去，也不能把右手的手套贴切地戴到左手上来.无论你怎么扭来转去，左手套永远是左手套，右手套也永远是右手套.不过，倘若你把它搬到莫比乌斯圈上来，那么解决起来就易如反掌了.让我们展开想象的翅膀，设想我们的空间在宇宙的某个边缘，呈现出莫比乌斯圈式的弯曲，那么，有朝一日，我们的星际宇航员会带着左胸腔的心脏出发，却带着右胸腔的心脏返回地球！

    但是，莫比乌斯圈具有一条非常明显的边界.这似乎是一种美中不足.1882年，另一位德国数学家费力克斯·克莱茵，终于找到了一种自我封闭而没有明显边界的模型，后来以他的名字命名为“克莱茵瓶”.这种怪瓶实际上可以看作是由一对莫比乌斯圈沿边界粘合而成.

    莫比乌斯带是一种拓展图形，它们在图形被弯曲、拉大、缩小或任意的变形，只要在变形过程中不使原来不同的点重合为同一个点，又不产生新点，也就是说，在原来图形的点与变换了图形的点之间存在着一一对应的关系，并且邻近的点还是邻近的点.这样的变换叫做拓扑变换.拓扑有一个形象说法——橡皮几何学.因为如果图形都是用橡皮做成的，就能把许多图形进行拓扑变换.例如一个橡皮圈能变形成一个圆圈或一个方圈.但是一个橡皮圈不能由拓扑变换成为一个阿拉伯数字8.因为不把圈上的两个点重合在一起，圈就不会变成8，“莫比乌斯带”正好满足了上述要求.

    用皮带传送的动力机械的皮带、打印机上的色带，做成“莫比乌斯带”状，这样增大了磨损面积，寿命也就延长了.

    运用莫比乌斯带原理的建筑，如北京凤凰国际传媒中心和湖南长沙梅溪湖“中国结”步行桥.该桥源于传统的中国结，同时加入了西方无限循环——莫比乌斯环结构特征.

    中国科技馆的三叶纽结，是由莫比乌斯带演变而成的，它表示着科学没有国界，各种科学之间没有边界，科学是相互连通的，科学和艺术也是相互连通的.

    注：本文系2019年度河南省基础教育教学研究项目《数学文化在高中课堂教学中的渗透案例研究》（JCJYC19030548）研究成果.