例析平面向量的几个综合应用的常规处理方法
邢 飞
2003年江苏省高考自主命题以来，向量等新增内容的试题已成为高考试题的亮点.就向量部分的试题来看，基本上都是“以能力立意命题”，主要考查学生对抽象的向量符号的理解及灵活解决问题的能力.由于向量知识与三角函数、解析几何等内容均有一种“天然”的联系，因而高考在这些知识网络的交汇处设计试题是必然的.然而，平时老师的教或同学们的学，由于受传统教与学方法的影响，在知识的融会贯通方面做得不是很好，教学时往往割裂它们的联系，本文试举例说明平面向量与三角函数及解析几何综合问题的常规处理方法，以使这类综合问题在平时的教学过程中能得到充分的重视.
例1 平面直角坐标系有点P(1，玞os玿),Q(玞os玿,1),x∈［-π4,π4］，O为坐标原点.(1)求向量OP吆蚈Q叩募薪铅鹊挠嘞遥并表示成x的函数；(2)求θ的最值.
解：(1)由OP?OQ=|OP遼?|OQ遼?玞osθ，得2玞os玿=1+玞os2x?玞os2x+1?玞osθ，
∴玞osθ=2玞os玿1+玞os2x=f(x).
(2)玞osθ=f(x)=2玞os玿1+玞os2x=2玞os玿+1玞os玿,且x∈［-π4,π4］,∴玞os玿∈［22,1］.令u=玞os玿+1玞os玿=v+1v，其中v=玞os玿∈［22,1］.易证u=v+1v在［22,1］上单调递减，∴v+1v∈［2,322］,就是2≤玞os玿+1玞os玿≤322,∴223≤f(x)≤1,即223≤玞osθ≤1.
∴θ玬ax=玜rccos223,θ玬in=0.
评注：例1主要是利用向量的数量积公式建立起玞osθ与x的函数关系式，将平面向量与三角函数综合问题转化为普通的函数最值问题，即利用y=x+mx型的函数性质求出最值.
平面向量与三角函数综合问题主要是依托平面向量的数量积公式，通过形与数的互相转化，实现有机整合.
例2 已知两点M(-1，0)，N(1，0)，且点P使MP?MN撸琍M?PN撸琋M?NP叱晒差小于零的等差数列.(1)点P的轨迹是什么曲线?(2)若点P的坐标为(x0,y0)，记θ为PM哂隤N叩募薪牵求玹anθ.
分析：在引入向量的坐标表示后，可以使向量运算代数化，这样可以将形”和“数”紧密地结合在一起.求解这类问题的关键是：先把向量用坐标表示，再用解析几何知识结合向量数量积公式使问题获解.
解：(1)记P(x,y)，由M(-1，0)，N(1，0)，得PM=-MP=(-1-x,-y),PN=-NP擢=(1-x,-y),∵MN=-NM=(2,0),∴MP擢?MN=2(1+x),∴PM?PN=x2+y2-1,NM?NP=2(1-x).由MP?MN撸琍M?PN撸琋M?NP呤枪差小于零的等差数列得x2+y2-1=12［2(1+x)+2(1-x)］,
2(1-x)-2(1+x)<0,即x2+y2=3,
x>0,∴点P的轨迹是以原点为圆心，3为半径的右半圆(不含端点).
(2)∵点P的坐标为(x0,y0)，PM?PN=x02+y02-1=2，|PM遼?|PN遼=(1+x0)2+y02?(1-x0)2+y02=
(4+2x0)(4-2x0)=24-x02.
∴玞osθ=PM?PN遼PM遼|PN遼=14-x02,
∵0
例3 一条斜率为1的直线l与离心率为22的椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)交于P、Q两点，直线l与y轴交于点R，且OP?OQ=-3,狿R=3RQ撸求直线l与椭圆C的方程.
解：∵椭圆离心率为22,∴ca=22,a2=2b2,所以椭圆的方程为x22b2+y2b2=1.设l的方程为y=x+m，P(x1,y1),Q(x2,y2),
由x22b2+y2b2=1,
y=x+m,消去y得3x2+4mx+2m2-2b2=0.△=16m2-4?3(2m2-2b2)=
8(-m2+3b2)>0,∴3b2>m2(*)
∴x1+x2=-43m①，
x1x2=23(m2-b2)②.
∵OP?OQ=-3,∴x1x2+y1y2=-3.而y1y2=(x1+m)(x2+m)=x1x2+m(x1+x2)+m2.所以2x1x2+m(x1+x2)+m2=-3，即43(m2-b2)-43m2+m2=-3,所以有3m2-4b2=-9③，又R(0,m)，PR=3RQ,∴(-x1,m-y1)=3(x2,y2-m),从而-x1=3x2④.
由①，②，④得3m2=b2⑤，由③，⑤解得b2=3,m=±1适合(*).所以所求直线l的方程为y=x+1或y=x-1；椭圆C的方程为x26+y23=1.
评注：例3主要是利用向量数量积的坐标表示，沟通向量与解析几何的联系，求解曲线的轨迹方程.这也是高考命题的重要题型.
我们再看二道例题.
例4 如图，已知点F(1，0)，直线l:x=-1,P为平面上的动点，过P作l的垂线，垂足为点Q，且QP?QF=FP?FQ.
(Ⅰ)求动点P的轨迹C的方程；
(Ⅱ)过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线l于点M.
(1)已知MA=λ1AF,MB=λ2BF撸求λ1+λ2的值；(2)求|MA遼?|MB遼的最小值.
解：(Ⅰ)设点P(x,y)，则Q(-1,y)，由QP?QF=FP?FQ叩(x+1,0)?(2,-y)=(x-1,y)?(-2,y)，化简得C：y2=4x.
(Ⅱ)(1)设直线AB的方程为x=my+1(m≠0).设A(x1,y1),B(x2,y2),又M(-1,-2m)，联立方程组y2=4x,
x=my+1,消去x得y2-4my-4=0,△=(-4m)2+16>0,y1+y2=4m,
y1y2=-4.由MA=λ1AF,MB=λ2BF叩脃1+2m=-λ1y1,y2+2m=-λ2y2，整理得λ1=-1-2my1,λ2=-1-2my2,∴λ1+λ2=-2-2m(1y1+1y 2)=-2-2m?y1+y2y1y2=0.
(2)|MA遼?|MB遼=(1+m2)2|y1-yM|?|y2-yM|=(1+m2)|y1y2-yM(y1+y2)+yM2|=(1+m2)|-4+2m×4m+4m2|=(1+m2)(4+4m2)=4(2+m2+1m2)≥4(2+2m2?1m2)=16.当且仅当m2=1m2，即m=±1时等号成立，所以|MA遼?|MB遼 的最小值为16.
例5 已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)，B是右顶点，F是右焦点，点A在x轴正半轴上，且满足|OA遼、|OB遼、|OF遼成等比数列，过F作双曲线C在第一象限的渐近线的垂线l，垂足为P.如图所示.
(1)求证：PA?OP=PA?FP;(2)若l与双曲线C的左、右两支分别交于点D、E，求双曲线C的离心率e的范围.
解：(1)直线l的方程为y=-ab(x-c).由y=-ab(x-c),
y=abx.解得P(a2c,abc).
因为|OA遼、|OB遼、|OF遼成等比数列，所以A(a2c,0)，故PA⊥x轴，如右图所示.从而PA?OP-PA?FP擢=PA?OF=0,∴PA?OP=PA?FP.
(2)由y=-ab(x-c),
b2x2-a2y2=a2b2.得b2x2-a4b2?(x-c)2=a2b2.即(b2-a4b2)x2+2a4b2cx-(a4c2b2+a2b2)=0,∵x1x2=-(a4c2b2+a2b2)b2-a4b2<0,∴b4>a4，即b2>a2,c2-a2>a2.所以e2>2，即e>2.
解析几何是历年数学高考舞台上必唱“主角”之一，近年来它在高考卷中一直占有较重比重，命题人往往以解析几何的传统内容为载体，融合向量等其他相关知识点，设计出背景新颖、能力要求广泛的综合试题，借以考查学生的运算能力、逻辑推理能力以及分析问题和解决问题的能力，其中思维是支柱，运算是主体，应用是归缩.通过以上例析，旨在深化对基础知识、基本技能、基本方法的理解和掌握，提高解题的灵活性和综合运用知识的能力，增强应试能力.由于平面向量与解析几何的综合问题背景新颖，内在联系密切，思维方法灵活，展望新一年的各地数学高考，我们有理由大胆预测，平面向量与解析几何的综合问题必将再次 受到命题者的青睐.
2003年江苏省高考自主命题以来，向量等新增内容的试题已成为高考试题的亮点.就向量部分的试题来看，基本上都是“以能力立意命题”，主要考查学生对抽象的向量符号的理解及灵活解决问题的能力.由于向量知识与三角函数、解析几何等内容均有一种“天然”的联系，因而高考在这些知识网络的交汇处设计试题是必然的.然而，平时老师的教或同学们的学，由于受传统教与学方法的影响，在知识的融会贯通方面做得不是很好，教学时往往割裂它们的联系，本文试举例说明平面向量与三角函数及解析几何综合问题的常规处理方法，以使这类综合问题在平时的教学过程中能得到充分的重视.
例1 平面直角坐标系有点P(1，玞os玿),Q(玞os玿,1),x∈［-π4,π4］，O为坐标原点.(1)求向量OP吆蚈Q叩募薪铅鹊挠嘞遥并表示成x的函数；(2)求θ的最值.
解：(1)由OP?OQ=|OP遼?|OQ遼?玞osθ，得2玞os玿=1+玞os2x?玞os2x+1?玞osθ，
∴玞osθ=2玞os玿1+玞os2x=f(x).
(2)玞osθ=f(x)=2玞os玿1+玞os2x=2玞os玿+1玞os玿,且x∈［-π4,π4］,∴玞os玿∈［22,1］.令u=玞os玿+1玞os玿=v+1v，其中v=玞os玿∈［22,1］.易证u=v+1v在［22,1］上单调递减，∴v+1v∈［2,322］,就是2≤玞os玿+1玞os玿≤322,∴223≤f(x)≤1,即223≤玞osθ≤1.
∴θ玬ax=玜rccos223,θ玬in=0.
评注：例1主要是利用向量的数量积公式建立起玞osθ与x的函数关系式，将平面向量与三角函数综合问题转化为普通的函数最值问题，即利用y=x+mx型的函数性质求出最值.
平面向量与三角函数综合问题主要是依托平面向量的数量积公式，通过形与数的互相转化，实现有机整合.
例2 已知两点M(-1，0)，N(1，0)，且点P使MP?MN撸琍M?PN撸琋M?NP叱晒差小于零的等差数列.(1)点P的轨迹是什么曲线?(2)若点P的坐标为(x0,y0)，记θ为PM哂隤N叩募薪牵求玹anθ.
分析：在引入向量的坐标表示后，可以使向量运算代数化，这样可以将形”和“数”紧密地结合在一起.求解这类问题的关键是：先把向量用坐标表示，再用解析几何知识结合向量数量积公式使问题获解.
解：(1)记P(x,y)，由M(-1，0)，N(1，0)，得PM=-MP=(-1-x,-y),PN=-NP擢=(1-x,-y),∵MN=-NM=(2,0),∴MP擢?MN=2(1+x),∴PM?PN=x2+y2-1,NM?NP=2(1-x).由MP?MN撸琍M?PN撸琋M?NP呤枪差小于零的等差数列得x2+y2-1=12［2(1+x)+2(1-x)］,
2(1-x)-2(1+x)<0,即x2+y2=3,
x>0,∴点P的轨迹是以原点为圆心，3为半径的右半圆(不含端点).
(2)∵点P的坐标为(x0,y0)，PM?PN=x02+y02-1=2，|PM遼?|PN遼=(1+x0)2+y02?(1-x0)2+y02=
(4+2x0)(4-2x0)=24-x02.
∴玞osθ=PM?PN遼PM遼|PN遼=14-x02,
∵0
例3 一条斜率为1的直线l与离心率为22的椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)交于P、Q两点，直线l与y轴交于点R，且OP?OQ=-3,狿R=3RQ撸求直线l与椭圆C的方程.
解：∵椭圆离心率为22,∴ca=22,a2=2b2,所以椭圆的方程为x22b2+y2b2=1.设l的方程为y=x+m，P(x1,y1),Q(x2,y2),
由x22b2+y2b2=1,
y=x+m,消去y得3x2+4mx+2m2-2b2=0.△=16m2-4?3(2m2-2b2)=
8(-m2+3b2)>0,∴3b2>m2(*)
∴x1+x2=-43m①，
x1x2=23(m2-b2)②.
∵OP?OQ=-3,∴x1x2+y1y2=-3.而y1y2=(x1+m)(x2+m)=x1x2+m(x1+x2)+m2.所以2x1x2+m(x1+x2)+m2=-3，即43(m2-b2)-43m2+m2=-3,所以有3m2-4b2=-9③，又R(0,m)，PR=3RQ,∴(-x1,m-y1)=3(x2,y2-m),从而-x1=3x2④.
由①，②，④得3m2=b2⑤，由③，⑤解得b2=3,m=±1适合(*).所以所求直线l的方程为y=x+1或y=x-1；椭圆C的方程为x26+y23=1.
评注：例3主要是利用向量数量积的坐标表示，沟通向量与解析几何的联系，求解曲线的轨迹方程.这也是高考命题的重要题型.
我们再看二道例题.
例4 如图，已知点F(1，0)，直线l:x=-1,P为平面上的动点，过P作l的垂线，垂足为点Q，且QP?QF=FP?FQ.
(Ⅰ)求动点P的轨迹C的方程；
(Ⅱ)过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线l于点M.
(1)已知MA=λ1AF,MB=λ2BF撸求λ1+λ2的值；(2)求|MA遼?|MB遼的最小值.
解：(Ⅰ)设点P(x,y)，则Q(-1,y)，由QP?QF=FP?FQ叩(x+1,0)?(2,-y)=(x-1,y)?(-2,y)，化简得C：y2=4x.
(Ⅱ)(1)设直线AB的方程为x=my+1(m≠0).设A(x1,y1),B(x2,y2),又M(-1,-2m)，联立方程组y2=4x,
x=my+1,消去x得y2-4my-4=0,△=(-4m)2+16>0,y1+y2=4m,
y1y2=-4.由MA=λ1AF,MB=λ2BF叩脃1+2m=-λ1y1,y2+2m=-λ2y2，整理得λ1=-1-2my1,λ2=-1-2my2,∴λ1+λ2=-2-2m(1y1+1y 2)=-2-2m?y1+y2y1y2=0.
(2)|MA遼?|MB遼=(1+m2)2|y1-yM|?|y2-yM|=(1+m2)|y1y2-yM(y1+y2)+yM2|=(1+m2)|-4+2m×4m+4m2|=(1+m2)(4+4m2)=4(2+m2+1m2)≥4(2+2m2?1m2)=16.当且仅当m2=1m2，即m=±1时等号成立，所以|MA遼?|MB遼 的最小值为16.
例5 已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)，B是右顶点，F是右焦点，点A在x轴正半轴上，且满足|OA遼、|OB遼、|OF遼成等比数列，过F作双曲线C在第一象限的渐近线的垂线l，垂足为P.如图所示.
(1)求证：PA?OP=PA?FP;(2)若l与双曲线C的左、右两支分别交于点D、E，求双曲线C的离心率e的范围.
解：(1)直线l的方程为y=-ab(x-c).由y=-ab(x-c),
y=abx.解得P(a2c,abc).
因为|OA遼、|OB遼、|OF遼成等比数列，所以A(a2c,0)，故PA⊥x轴，如右图所示.从而PA?OP-PA?FP擢=PA?OF=0,∴PA?OP=PA?FP.
(2)由y=-ab(x-c),
b2x2-a2y2=a2b2.得b2x2-a4b2?(x-c)2=a2b2.即(b2-a4b2)x2+2a4b2cx-(a4c2b2+a2b2)=0,∵x1x2=-(a4c2b2+a2b2)b2-a4b2<0,∴b4>a4，即b2>a2,c2-a2>a2.所以e2>2，即e>2.
解析几何是历年数学高考舞台上必唱“主角”之一，近年来它在高考卷中一直占有较重比重，命题人往往以解析几何的传统内容为载体，融合向量等其他相关知识点，设计出背景新颖、能力要求广泛的综合试题，借以考查学生的运算能力、逻辑推理能力以及分析问题和解决问题的能力，其中思维是支柱，运算是主体，应用是归缩.通过以上例析，旨在深化对基础知识、基本技能、基本方法的理解和掌握，提高解题的灵活性和综合运用知识的能力，增强应试能力.由于平面向量与解析几何的综合问题背景新颖，内在联系密切，思维方法灵活，展望新一年的各地数学高考，我们有理由大胆预测，平面向量与解析几何的综合问题必将再次 受到命题者的青睐.
