习题讲解时的“四宜四不宜”
孙四周
习题讲解在什么时候讲?讲到什么程度?又如何去讲?讲过以后又如何安排好学生的学习活动，让他们及时巩固习题讲解的效果呢?等等.这些细节都将直接影响到解题教学的成败，所以值得我们密切关注.在实际教学中，笔者总结出解题的“四宜四不宜”，罗列如下，供同行 们参考.
1.思路点拨：宜拖后不宜提前
解题，首先遇到的就是思维起点的选取和解题途径的设计，这是解题最重要也是最困难的地方，同时也是最能考验学生能力的地方.解题遇阻主要的就是受阻于此.相应地，讲解也多由此处切入，因为思路的点拨是效率最高的讲解形式.那么，在何时、以何种形式进行思路点拨呢?我们认为：思路点拨宜拖后不宜提前.
例1 求函数y=玸in(x+π3)玸in玿的最大和最小值.
分析：在目前的课程标准下研究三角函数的性质，思路只有一个，那就是化成只含有一个三角函数的最基本形式，即化为y=A玸in(ωx+φ)+b的形式.为此，可作如下的变形：y=玸in(x+π3)玸in玿=(12玸in玿+32玞os玿)玸in玿后，再使用二倍角公式和降幂公式，即可化为y=12玸in(2x-π6)+14，最大值和最小值都是显而易见的.
问题是，老师应当在何时用何种方式对学生进行思路提示呢?我们认为，正确的做法是：先让学生有足够的时间自主思考，如果能思考出来当然很好.否则，也应当让他们有切身的经历，而在他们欲进不能、欲罢不忍的“苦闷”时刻给予恰当的援助，使他们在豁然开朗之余感受“醍醐贯顶”的震撼.孔子云“不愤不启，不悱不发”，盖此之谓也.即思路点拨，宜拖后不宜提前.
虽然，相对于其它的课型，习题课(或习题讲解的时段)比较容易突出学生的主体地位，学生的思维也较为活跃，但这时老师更要注意引导的时机和技巧.有的老师对学生不放心，喜欢在题目刚出来时就先进行提示或分析，那样做，看起来课堂的效率高了，讲的题目多了，但实际上是扼杀了学生的自主思维能力，剥夺了学生自由创造空间.在学生还没有来得及思考的时候，老师硬是用固定的思路框定他们的头脑，使他们服从于已有的模式，这对他们思维能力的形成是个不小的打击.毫地疑问地，老师所提示的思路可能是最佳的，老师所提供的思考模式也可能是非常有价值的.但是，这多少带有强加的意味.虽然好像是节省了时间，但实际是把本该属于学生主动思考的时间变成了老师灌输的时间，把本该由学生主动建构的过程变成了被动接受的过程.如果采用当堂检测的方法进行目标达成测试，也完全可能得到较好的卷面成绩(特别是中下等成绩的同学合格率还可能很高)，但笔者仍然认为这种做法是应该坚决予以抛弃的.
2.类比联想：宜引导不宜包办
伟大的数学教育家波利亚在他著名的“怎样解题表”中给出这样的思维提示：你见过类似的题目吗?回想你曾解过的、类似的而又较为简单的问题.
这就是让学生在解题时要善于联想，联想的目的大致有二：其一，寻找可以适用的解题模式，在此模式下按部就班地进行操作；其二，借用以前的解题经验，为新题的解决提供借鉴.不论哪个目的能够达到，则解题即可顺利进行.遗憾的是，学生很容易正是在联想时受阻，这时候，老师该采取什么措施呢?笔者的意见是：我们绝不可以把可用的模式一股脑儿地告诉给学生，也不可以把一个几乎相同的问题端出来给学生看.因为老师这样包办代替以后，学生所需要做的工作就太有限了.
例2 已知a,b∈R+，且ab+a+b=24，求a+b的取值范围.
甲老师的讲解是这样的：
师：a+b中a和b都在变化.那么，对于二元变量的最值问题，你能处理吗?(停顿)
学生甲：二元变量不好处理，所以应该消元，变成一元变量问题.
师：能说具体一点吗?
学生甲：就是把条件中的b解出来，得b=24-aa+1，再代入a+b中，就变成关于a的一个函数a+b=a+24-aa+1=(a+1)+25a+1-2，联想到可以用不等式法求它的值域，此问题已经可以解决了.
老师顺手就在黑板上写下了学生们不断“冒”出来的想法.(后来标为“解法一”).
师(面向全体)：大家做的很好，它所体现的是什么数学思想?
学生齐答：化归思想!
师：对，这就是化归思想的应用.还有其它的想法吗?
学生乙：可以不消元，就保留两个变量，用二元均值不等式来做，即：∵a,b∈R+，∴ab≤(a+b2)2，代入ab+a+b=24，得(a+b2)2+(a+b)≥24，令t=a+b,得t2+4t≥96，从而t≤-12或t≥8，又显然0老师又写出了新的解法，(后来标为“解法二”).
应当说学生的回答相当精彩，老师的点拨确是顺势而为，恰到好处.相应地，另一位老师作了如下的处理：
(写完题目后，让学生思考了一下，没什么反应，于是——)
师：这是两个变量的问题，我们所熟悉的是函数类型的问题，而函数类型只能一个自变量，现在有两个变量，怎么办呢?
学生(齐答)：消去一个!
师：对，消去一个后，就变成一个变量了，一个变量就是函数类型，我们当然能够处理，我们一起试试看.
然后，老师和学生一起，共同完成了问题的解答，课堂气氛也很热烈，学生思维也很活跃.
师：上面，我们把二元问题转化为一元问题，利用函数的方法解决了本来比较难的问题，是不是一定要这样做呢?就保留二个变量可不可以呢?你说说看，可以还是不可以(提问学生丙).
学生丙：我看应当可以.
师：怎样可以?
学生丙：好像——，好像要把ab换成a+b.
师：太好了，确实应该把ab化成a+b.怎么化呢?(见学生丙没有反应，示意其坐下，自己就接着讲).我们学过二元均值不等式，让我们来回想一下——
下面又是一起回想，一起“探讨”，解题在老师的设问和学生的回答中进行着——
与前一位老师相比，这位老师也是想通过启发诱导让学生积极思考，从而达到自主解题的目的.从表面上看，课堂气氛也确实不错.但是，老师的指点太全面而且超前，学生的思维深度远远不够.可以说，尽管这个题目顺利解决了，这样的解题指导却是失败的.
3.解答书写：宜规范不宜随意
许多老师习惯于“只提思路，不写解法”，因为这样可以节省时间.应当说这是允许的，但是必须有一个前提，那就是学生对这个(类)问题的解答已经能够熟练而完备地书写出来.如果是讲授新课，还是应该把解答完整地写出来，而且要写得规范.我就曾见识过一位特级教师，他在讲函数单调性的那节新课上，写出了用定义证明函数y=3x+1在R上为增函数的完整证明.那已经是十几年前的事了，提起这件事，当时参与听课的老师仍然印象清晰、态度肃然.
对例题的解答给出规范而严谨的书写，最起码有下面的几点好处：
一是在书写时给学生切身的示范，作为他们解题时的样本，并培养他们一丝不苟的学风；
二是通过书写，以较慢的速度重现思维的全过程，加强思维严谨性的要求；
三是在学生听的同时还要看和抄，调动他们的耳、目、脑、手等多种感官，提高感知和记忆的效率；
四是学生的规范化解答是形成解题模式的前提，而解题模式的形成对解题能力的提高是至关重要的.
当然并不是说每次的例题都要按规范化的要求书写，比如在复习课上就不可能也不必要这样做.但是，即使这样，书写也要避免随意性.比如复习课或者试卷讲评的例题，可能只写其中的关键步骤.对于这个关键步骤，就应该很规范地写出来，并尽可能使它完整.因为，既然你认为这个步骤需要板书，就正说明学生在这个步骤上存在缺陷，那么对这个步骤的板书做规范化的呈现也就是必要的了.
综上所述，书写全部解答，就应该保证全部的规范化；书写局部解答，就应该保证局部的规范化.要尽量避免简单随意的书写，就是版面布置也要追求整齐美观、突出重点，这应当是一个数学教师的基本功夫.
4.解后反思：宜强调通法不宜渲染技巧
解题后的反思是解题教学的重要环节，对教师而言是点睛之笔，对学生而言是从感性到理性的必由之路.所以从教与学双方来说，解后反思的环节都是需要特别给予关注的.
那么，反思应该反思什么呢?什么样的反思才算是较为成功的反思呢?
就笔者的思考来说，反思大致可分为下面三个不同的层次：
第一，从同水平上说， 应总结解题成功的经验和失败的教训，形成较强的解题技能；
第二，从高一层次来说，应注重总结一般性的方法，形成解决同类问题的迁移能力；
第三，从更高层面来说，应上升到方法论的高度，并对以后的解题行为形成有指导价值的理论.
这当然是比较粗浅的分析，一个教师或学生解后反思水平的高低，依赖于他元认知水平的高低，依赖于解题经验的多寡和概括抽象能力的强弱.是学生学习能力强弱的直接体现，还将决定他们学业水平提高幅度的大小.
所以，解后反思应着眼于一般性方法的总结与归纳，要跳出就题论题的小圈子，站得高一点，看得远一点.特别不能纠缠于某种特别的技巧，即使这个技巧精妙绝伦，也只是一个技巧而已，在此时此地它很有效，换个环境就可能无法施展.所以，越是精巧而又特效的解法，越不应当反复强调.不论它多么的令人难舍，过分地强调它就难脱就题论题之诟.
当然，反思不但包括总结与概括，更重要的是通过反思，来提升学生认识的档次、加深学生对问题的认识和理解，最终使分析问题和解决问题的能力得到提高.所以，对于一些重点或难点问题的反思，不能停留在理论上的总结，最好能及时地用相关问题给以强化和巩固.常见的方法就是根据对方法的总结，布置几道相应的练习题，可以是原例题的仿照练习，也可以是变式联系，由问题的难度来决定.比如上面的那个例1，留足学生的反思时间以后，老师的反思与总结包含了下面的内容：
一是给出解这种题目的一般思路，即“化成只含有一个三角函数的最基本形式，求最大最小值是这样，求周期、求增区间和减区间也是这样”.
二是给出了几个同式或变式的练习.比如
(1)求y=玸in(x-π3)+玸in玿的最大最小值.
(2)求y=玸in4x-玞os4x的周期和值域.
(3)求y=玞os(2x-π3)玞os2x的周期和单调区间.
(4)若函数y=3玸inωx+3玞osωx(ω>0) 的周期是3π，则ω=，该函数的值域是，增区间是.
有了这样的总结和追加的这几个练习，例1的教学价值得到了开发和落实，学生所学到的决不仅仅是这一个例题，而是这一类问题的普遍解法.甚至不止于此!他们学到了数学的思想，学会了怎样学习——学习能力的培养才是“终身学习”所必须的.所以，这样的反思与总结，有高度、有落实，可以认为是成功的.
总之，习题讲解是灵活性很大、发挥余地很充足的教学活动，老师应当眼中有学生，而不能是眼中只有题目.应当以学生的现实为出发点，以学生的发展为目的，通过数学思想的揭示、数学方法的巩固、数学能力的提高，使学生学会分析、学会学习.
习题讲解在什么时候讲?讲到什么程度?又如何去讲?讲过以后又如何安排好学生的学习活动，让他们及时巩固习题讲解的效果呢?等等.这些细节都将直接影响到解题教学的成败，所以值得我们密切关注.在实际教学中，笔者总结出解题的“四宜四不宜”，罗列如下，供同行 们参考.
1.思路点拨：宜拖后不宜提前
解题，首先遇到的就是思维起点的选取和解题途径的设计，这是解题最重要也是最困难的地方，同时也是最能考验学生能力的地方.解题遇阻主要的就是受阻于此.相应地，讲解也多由此处切入，因为思路的点拨是效率最高的讲解形式.那么，在何时、以何种形式进行思路点拨呢?我们认为：思路点拨宜拖后不宜提前.
例1 求函数y=玸in(x+π3)玸in玿的最大和最小值.
分析：在目前的课程标准下研究三角函数的性质，思路只有一个，那就是化成只含有一个三角函数的最基本形式，即化为y=A玸in(ωx+φ)+b的形式.为此，可作如下的变形：y=玸in(x+π3)玸in玿=(12玸in玿+32玞os玿)玸in玿后，再使用二倍角公式和降幂公式，即可化为y=12玸in(2x-π6)+14，最大值和最小值都是显而易见的.
问题是，老师应当在何时用何种方式对学生进行思路提示呢?我们认为，正确的做法是：先让学生有足够的时间自主思考，如果能思考出来当然很好.否则，也应当让他们有切身的经历，而在他们欲进不能、欲罢不忍的“苦闷”时刻给予恰当的援助，使他们在豁然开朗之余感受“醍醐贯顶”的震撼.孔子云“不愤不启，不悱不发”，盖此之谓也.即思路点拨，宜拖后不宜提前.
虽然，相对于其它的课型，习题课(或习题讲解的时段)比较容易突出学生的主体地位，学生的思维也较为活跃，但这时老师更要注意引导的时机和技巧.有的老师对学生不放心，喜欢在题目刚出来时就先进行提示或分析，那样做，看起来课堂的效率高了，讲的题目多了，但实际上是扼杀了学生的自主思维能力，剥夺了学生自由创造空间.在学生还没有来得及思考的时候，老师硬是用固定的思路框定他们的头脑，使他们服从于已有的模式，这对他们思维能力的形成是个不小的打击.毫地疑问地，老师所提示的思路可能是最佳的，老师所提供的思考模式也可能是非常有价值的.但是，这多少带有强加的意味.虽然好像是节省了时间，但实际是把本该属于学生主动思考的时间变成了老师灌输的时间，把本该由学生主动建构的过程变成了被动接受的过程.如果采用当堂检测的方法进行目标达成测试，也完全可能得到较好的卷面成绩(特别是中下等成绩的同学合格率还可能很高)，但笔者仍然认为这种做法是应该坚决予以抛弃的.
2.类比联想：宜引导不宜包办
伟大的数学教育家波利亚在他著名的“怎样解题表”中给出这样的思维提示：你见过类似的题目吗?回想你曾解过的、类似的而又较为简单的问题.
这就是让学生在解题时要善于联想，联想的目的大致有二：其一，寻找可以适用的解题模式，在此模式下按部就班地进行操作；其二，借用以前的解题经验，为新题的解决提供借鉴.不论哪个目的能够达到，则解题即可顺利进行.遗憾的是，学生很容易正是在联想时受阻，这时候，老师该采取什么措施呢?笔者的意见是：我们绝不可以把可用的模式一股脑儿地告诉给学生，也不可以把一个几乎相同的问题端出来给学生看.因为老师这样包办代替以后，学生所需要做的工作就太有限了.
例2 已知a,b∈R+，且ab+a+b=24，求a+b的取值范围.
甲老师的讲解是这样的：
师：a+b中a和b都在变化.那么，对于二元变量的最值问题，你能处理吗?(停顿)
学生甲：二元变量不好处理，所以应该消元，变成一元变量问题.
师：能说具体一点吗?
学生甲：就是把条件中的b解出来，得b=24-aa+1，再代入a+b中，就变成关于a的一个函数a+b=a+24-aa+1=(a+1)+25a+1-2，联想到可以用不等式法求它的值域，此问题已经可以解决了.
老师顺手就在黑板上写下了学生们不断“冒”出来的想法.(后来标为“解法一”).
师(面向全体)：大家做的很好，它所体现的是什么数学思想?
学生齐答：化归思想!
师：对，这就是化归思想的应用.还有其它的想法吗?
学生乙：可以不消元，就保留两个变量，用二元均值不等式来做，即：∵a,b∈R+，∴ab≤(a+b2)2，代入ab+a+b=24，得(a+b2)2+(a+b)≥24，令t=a+b,得t2+4t≥96，从而t≤-12或t≥8，又显然0老师又写出了新的解法，(后来标为“解法二”).
应当说学生的回答相当精彩，老师的点拨确是顺势而为，恰到好处.相应地，另一位老师作了如下的处理：
(写完题目后，让学生思考了一下，没什么反应，于是——)
师：这是两个变量的问题，我们所熟悉的是函数类型的问题，而函数类型只能一个自变量，现在有两个变量，怎么办呢?
学生(齐答)：消去一个!
师：对，消去一个后，就变成一个变量了，一个变量就是函数类型，我们当然能够处理，我们一起试试看.
然后，老师和学生一起，共同完成了问题的解答，课堂气氛也很热烈，学生思维也很活跃.
师：上面，我们把二元问题转化为一元问题，利用函数的方法解决了本来比较难的问题，是不是一定要这样做呢?就保留二个变量可不可以呢?你说说看，可以还是不可以(提问学生丙).
学生丙：我看应当可以.
师：怎样可以?
学生丙：好像——，好像要把ab换成a+b.
师：太好了，确实应该把ab化成a+b.怎么化呢?(见学生丙没有反应，示意其坐下，自己就接着讲).我们学过二元均值不等式，让我们来回想一下——
下面又是一起回想，一起“探讨”，解题在老师的设问和学生的回答中进行着——
与前一位老师相比，这位老师也是想通过启发诱导让学生积极思考，从而达到自主解题的目的.从表面上看，课堂气氛也确实不错.但是，老师的指点太全面而且超前，学生的思维深度远远不够.可以说，尽管这个题目顺利解决了，这样的解题指导却是失败的.
3.解答书写：宜规范不宜随意
许多老师习惯于“只提思路，不写解法”，因为这样可以节省时间.应当说这是允许的，但是必须有一个前提，那就是学生对这个(类)问题的解答已经能够熟练而完备地书写出来.如果是讲授新课，还是应该把解答完整地写出来，而且要写得规范.我就曾见识过一位特级教师，他在讲函数单调性的那节新课上，写出了用定义证明函数y=3x+1在R上为增函数的完整证明.那已经是十几年前的事了，提起这件事，当时参与听课的老师仍然印象清晰、态度肃然.
对例题的解答给出规范而严谨的书写，最起码有下面的几点好处：
一是在书写时给学生切身的示范，作为他们解题时的样本，并培养他们一丝不苟的学风；
二是通过书写，以较慢的速度重现思维的全过程，加强思维严谨性的要求；
三是在学生听的同时还要看和抄，调动他们的耳、目、脑、手等多种感官，提高感知和记忆的效率；
四是学生的规范化解答是形成解题模式的前提，而解题模式的形成对解题能力的提高是至关重要的.
当然并不是说每次的例题都要按规范化的要求书写，比如在复习课上就不可能也不必要这样做.但是，即使这样，书写也要避免随意性.比如复习课或者试卷讲评的例题，可能只写其中的关键步骤.对于这个关键步骤，就应该很规范地写出来，并尽可能使它完整.因为，既然你认为这个步骤需要板书，就正说明学生在这个步骤上存在缺陷，那么对这个步骤的板书做规范化的呈现也就是必要的了.
综上所述，书写全部解答，就应该保证全部的规范化；书写局部解答，就应该保证局部的规范化.要尽量避免简单随意的书写，就是版面布置也要追求整齐美观、突出重点，这应当是一个数学教师的基本功夫.
4.解后反思：宜强调通法不宜渲染技巧
解题后的反思是解题教学的重要环节，对教师而言是点睛之笔，对学生而言是从感性到理性的必由之路.所以从教与学双方来说，解后反思的环节都是需要特别给予关注的.
那么，反思应该反思什么呢?什么样的反思才算是较为成功的反思呢?
就笔者的思考来说，反思大致可分为下面三个不同的层次：
第一，从同水平上说， 应总结解题成功的经验和失败的教训，形成较强的解题技能；
第二，从高一层次来说，应注重总结一般性的方法，形成解决同类问题的迁移能力；
第三，从更高层面来说，应上升到方法论的高度，并对以后的解题行为形成有指导价值的理论.
这当然是比较粗浅的分析，一个教师或学生解后反思水平的高低，依赖于他元认知水平的高低，依赖于解题经验的多寡和概括抽象能力的强弱.是学生学习能力强弱的直接体现，还将决定他们学业水平提高幅度的大小.
所以，解后反思应着眼于一般性方法的总结与归纳，要跳出就题论题的小圈子，站得高一点，看得远一点.特别不能纠缠于某种特别的技巧，即使这个技巧精妙绝伦，也只是一个技巧而已，在此时此地它很有效，换个环境就可能无法施展.所以，越是精巧而又特效的解法，越不应当反复强调.不论它多么的令人难舍，过分地强调它就难脱就题论题之诟.
当然，反思不但包括总结与概括，更重要的是通过反思，来提升学生认识的档次、加深学生对问题的认识和理解，最终使分析问题和解决问题的能力得到提高.所以，对于一些重点或难点问题的反思，不能停留在理论上的总结，最好能及时地用相关问题给以强化和巩固.常见的方法就是根据对方法的总结，布置几道相应的练习题，可以是原例题的仿照练习，也可以是变式联系，由问题的难度来决定.比如上面的那个例1，留足学生的反思时间以后，老师的反思与总结包含了下面的内容：
一是给出解这种题目的一般思路，即“化成只含有一个三角函数的最基本形式，求最大最小值是这样，求周期、求增区间和减区间也是这样”.
二是给出了几个同式或变式的练习.比如
(1)求y=玸in(x-π3)+玸in玿的最大最小值.
(2)求y=玸in4x-玞os4x的周期和值域.
(3)求y=玞os(2x-π3)玞os2x的周期和单调区间.
(4)若函数y=3玸inωx+3玞osωx(ω>0) 的周期是3π，则ω=，该函数的值域是，增区间是.
有了这样的总结和追加的这几个练习，例1的教学价值得到了开发和落实，学生所学到的决不仅仅是这一个例题，而是这一类问题的普遍解法.甚至不止于此!他们学到了数学的思想，学会了怎样学习——学习能力的培养才是“终身学习”所必须的.所以，这样的反思与总结，有高度、有落实，可以认为是成功的.
总之，习题讲解是灵活性很大、发挥余地很充足的教学活动，老师应当眼中有学生，而不能是眼中只有题目.应当以学生的现实为出发点，以学生的发展为目的，通过数学思想的揭示、数学方法的巩固、数学能力的提高，使学生学会分析、学会学习.
