注重“消元”思维训练 发展学生数学素养

    叶媛媛

    [摘? 要] “消元”作为一种重要的数学思想方法,贯穿在整个初高中的数学学习中,也是近几年中高考的命题热点,其地位不言而喻. 文章结合七年级学生的学情特征,针对七年级教学,就“消元”思维训练要达到的层次目标和日常教学抓手进行简单的探讨.

    [关键词] 消元;层次目标;教学抓手

    时下,“核心素养”“立德树人”等教育理念和目标成了我们日常教学和教研的研讨主题. 数学核心素养的教学直指学生数学能力的培养. 学生数学能力是否得到发展,在很大程度上反映了学科核心素养教学的有效性. 学生数学能力的培养,往往回归到数学思想方法的教学. “消元”作为一种重要的数学思想方法,贯穿整个初高中的数学学习,其地位不言而喻. 这一点,从近几年的福建数学中考试题就可以看出端倪. 因此,学生如果能够具备“消元”意识,掌握相关方法,或许就能像我们期许的那样,在数学之路走得更远. 那我们该怎么做呢?其实,“消元”的思维训练在学生刚入初中时就应着手进行. 在此,笔者针对七年级学生的数学教学,就如何进行相关训练,谈几点自己的心得. 简言之,就是做到“两个明确”,找准“两个抓手”.

    做到“两个明确”

    1. 明确七年级学生的学情特征

    正所谓“知己知彼,百战百胜”. 要想在“消元”思维训练中取得预期的效果,我们就要明确七年级学生的学情特征. 学生在七年级的学习中需要完成从数到式的过渡. 小学阶段的数学较为具体形象,初中数学开始往抽象发展. 抽象思维要求学生学会从数学的角度发现问题和提出问题,并综合运用数学知识解决相关问题,这对学生的要求较高,而“参数”恰好又是一个很抽象的东西,所以学生遇到相关问题时普遍会觉得困难.

    教学上的难点,往往也是思维的生长点. “含参”类题目虽然难度较大,但是如果学生在解决此类题目的过程中,能够获得良好的数学体验和成就感,就能逐渐建立解决此类问题的信心,这也是在七年级进行“消元”思维训练得天独厚的优势. 因此,作为教师,我们要 善于利用这些思维的生长点,在教学中把握好节奏,由浅入深、由易到难,层层推进.

    2. 明确“消元”思维训练要达成的三个层次目标

    对于“消元”,如果我们能够明确“消元”思维训练要达成的层次目标,就能在日常教学中有的放矢、事半功倍.

    第一层次:学生初步拥有“消元”意识,在遇到含参问题时能够从“消元”的角度寻找解题突破口. 培养学生的“消元”意识,其实是要求学生初步学会从数学的角度发现问题,尝试运用数学的思维方式来思考和解决问题,这是发展学生应用意识的前提.?摇

    第二层次:学生掌握有效的“消元”方法. 在人教版教材中明确提到“将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想,叫作消元思想”,也就是说学生在“消元”过程中,要明确一个原则——由多化少、逐一解决. 把握住这个原则,学生就能获得分析和解决含未知数问题的一些基本方法.

    第三层次:“无中生有”——学生在遇到问题时通过主动设元的方式寻求解题途径. 如果题目条件含有未知数,学生能够捕捉到相关信息,并顺着“消元”这条路走下去,这其实可以通过长年累月的训练和积累达成,只是学生在这个过程中收获得更多的是方法,还停留在技能形成层面,属于前两个层次. “无中生有”,顾名思义,就是题目条件不含未知数或者情境新颖,表面与“消元”关联不大. 在这种情况下,学生还能主动设元,探索解题方向,就意味着学生的推理能力、数学建模、应用意识和创新思维等数学素养,都得到了一定的发展.

    找准“两个抓手”

    明确了七年级学生的学情特征和“消元”思维训练要达成的三个层次目标,我们就可以立足于日常教学,从两方面入手:典型章节教学和典型题目剖析.

    1. 精心设计典型章节教学

    七年级要想有效培养学生的“消元”思维,应特别注意两个章节的教学:“一元一次方程”和“二元一次方程(组)”.

    初中阶段正式涉及“消元”的教学内容应该是“一元一次方程”,只是教材内容没有明确出现类似“消元”的字词. 学生在这个章节的学习中需要掌握三个内容:一元一次方程的概念,解一元一次方程的依据及步骤,列方程解决实际问题. 由于小学已经学过“简易方程”,很多學生自然会把“一元一次方程”的学习视为“简易方程”的规范和延伸,但是教师在教学时,绝不能只停留在这个层面. 如果我们在教学过程中有意识地引导学生去感悟——解一元一次方程就是“消元”,列方程解决实际问题其实是一个“从无到有”,先设元再消元的过程——那么,我们就能在孩子的心中埋下一颗“消元”的种子,为日后的教学做好准备. 因此,在进行这个章节的教学设计时,我们应精选恰当时机抛出两个问题:通过“设元”解决问题的优势在哪里?什么情况下可以通过“设元”解决问题?前者可以通过与小学的算术方法进行对比,让学生感悟;后者则需让学生明白一个原则——当题目中含有未知量时,即可“设元”. 如果这类引导能够反复出现在章节教学中,我们就成功把握住了一个培养学生“消元”意识的契机.

    如果“一元一次方程”帮助学生勾勒出了“消元”的雏形,那么“二元一次方程(组)”的教学就应该是“消元”学习中浓墨重彩的一笔. 在本章节教材中(人教版七年级下册教材91页)明确提出了“未知数的个数由多化少、逐一解决的思想,叫作消元思想”. 这句话统领了后续“代入消元法”和“加减消元法”的教学. 但是从以往学习效果来看,大部分学生往往只记住了“代入”和“加减”两个词,解题技能是掌握了,却忽略了“消元”的本质. “消元”二字对学生而言如同蜻蜓点水、雁过无痕. 想要最大限度地发挥这部分内容的教学价值,就必须让学生对“消元”印象深刻,这意味着我们在进行教学设计时,必须突出代入消元法和加减消元法内含的“消元”本质. 结合自身的实践探索和教学效果,笔者建议将“代入消元法”的第一课时分为以下四个步骤来帮助学生感悟“消元”思想.

    首先,抛砖引玉. 对于一个结构特征明显的二元一次方程组,学生在没有学习特定解法的情况下,完全能够自行求解,只是大部分学生在求解过程中依赖的是感觉和经验. 以求解二元一次方程组y=x-1①,x+y=1②.为例,学生马上能够想到将①式代入②式,他们的心中已有“代入”,却无“消元”. 这个时候教师只需要适时地提点一句:“你们知道将①式代入②式这件事有一个什么‘高大上的名称吗?”便能引发学生的兴趣和思考,从而引出“消元”这个主题.

    其次,剥茧抽丝. 上述例题的解题过程并不复杂,学生在解题的时候心中只有一个念头——“把未知数解出来”——只是他们并不知道正在做的事就是“消元”. 可见,学生早已具备简单的消元技能,教师要做的就是引导他们反思总结. 因此,教师可以通过层层追问的方式,引导学生思考:“为什么会想到将①式代入②式?”“化简后得到的是什么?”“与原方程组比,有何区别?”……最后,拨云见日,剥离出解题步骤背后的指导思想——消元,让这两个字在他们心中留下不可磨灭的印象.

    再次,融会贯通. 总结归纳是思维上的点拨,“消元”的价值主要还是体现在解题过程中. 要训练学生的“消元”思维,让他们体会解方程的本质就是消元,配套练习的设置就显得尤为重要. 作为“代入消元法”的第一课时,除了相应的题型外,我们还应该有意识地设置一些题目来增加本节课的深度. 例如,解二元一次方程组x+y=1①,2x+y=2②.学生在独立完成、合作讨论的基础上一般会得到三种解法:选择①式或②式变形,代入另一个方程求解;将①式与②式相减求解;将①式整体代入②式求解. 第一种方法就是本节课所学内容,不需要赘述. 后面两种方法却是宝贵的课堂资源,可以借机引导学生思考:“这样做可不可行?”“为什么会想到这样做?”“用意是什么?”……有了这样的分析,学生就能进一步感受到解方程的本质就是“消元”,不管是代入消元法,还是后续要学的加减消元法,只是“消元”的策略不同而已. 那么,只要能达到“消元”的目的,将未知数由多变少,无论采用何种方式,都是可行的. 有了这样直指本质的剖析,后续加减消元法的教学也就水到渠成了.

    最后,画龙点睛. 完成上述教学步骤后,授课教师可以让学生回归教材,翻阅课本91页至92页,标记出自己觉得重要的内容. 相信还有一部分孩子会漏了“消元思想”的相关描述,此时,教师再重申一下它的地位,能让更多孩子印象深刻.

    有了这样的教学过程,相信学生对于代入消元法的感悟,就不仅仅只是停留在技能层面.?摇“消元”的种子一旦在学生心中生根发芽,在相关题目中,他们就能迅速判断出解题方向,体验获得成功的乐趣,建立信心.

    2. 利用典型题目渗透“消元”训练

    涉及“消元”的题目纷繁复杂,在七年级比较典型的大致有两类:一是题目条件含有多个未知数,需要通过消元解决问题;二是题目没有直接给出未知数,但是通过设元能够大大缩短思维链条,优化解题过程.

    对于前者,教师在分析题目时应从题目特征和解题策略两个角度引导. 题目特征:此类题目的共性是含有多个未知数,这些未知数往往能够通过已知条件构建等量关系,并借助代换等方式实现化归和统一. 解题策略:学生可以通过观察结构特征、挖掘已知条件、分析题目设问等方式找到消元的顺序和途径,达成“消元”目的. 因为此类题目“消元”的指向性比较明确,教师可以通过变式训练等形式在日常教学中渗透,帮助学生达成“消元”过程自动化、程序化,从技能层面进行固化.

    第二类题目是消元训练中的重难点,此类题目情境丰富,指向性不明确,对于学生而言,最难的就是“我怎么能想到要设未知数?”因此,在遇到此类题目时,教师要舍得花时间让学生充分经历解题过程,并通过对比等方式丰富学生的体验内容,帮助他们感悟“设元”解决问题的优越性,体會数学的魅力. 现在举一个例子加以说明:现对某商品降价20%促销,为了使销售总金额不变,销售量要比按原价销售时增加百分之几?

    这道题学生很轻易就能设出销售量增加的百分比为x,并寻找到等量关系:原售价×原销量=现售价×现销量. 但是售价和销量题目均未给出,学生进行到列方程这一步就会遇到困难,用小学的算术方法也无法解决. 在讲解这道题时,教师可以让学生进行多种尝试,最后将原售价设为a,原销量设为b,列出方程ab=(1-20%)a(1+x)b(a≠0且b≠0),再根据等式的性质化简得到1=(1-20%)(1+x),进而完成解答. 有了这样的过程体验,学生就能充分感受到“设元”解决问题的优越性,只有当他们心中有了这样的感受——“哇!这种方法真是太棒了!”——才会愿意去模仿和尝试.

    学生愿意尝试只是开端,教师必须指导学生明白:只要题目含有未知量就能“设元”;参数的个数可以不唯一;所设的“元”最终不一定能求解出来,却能帮助我们梳理题目条件,简化思维过程;当题干中有一些特殊的条件,如比例关系、倍数关系等,往往能通过“设元”解决问题……这些总结能够帮助学生明确什么问题情境适合“设元”求解.?摇

    总之,“消元”思想是学生能力形成的必备环节,如果我们在初中起始阶段就能未雨绸缪,帮助学生打好基础、树立信心,那么随着教学的推进,学生或许就能像我们期望的那样在能力形成的路上越走越顺,在素养发展的路上越走越好!

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