数学教学要让学生学会“探索”
张 超
倡导积极主动、勇于探索的学习方式是新课程标准的基本理念之一，《普通高中数学课程标准(实验)》指出：“数学学习不仅仅是记忆一些重要的数学结论，更要发展数学思维能力和积极的情感态度，这就需要学习者有积极主动、勇于探索的精神，需要有自主探索的过程.”
在数学教学中，教师要善于引导学生主动探索，积极开展思维活动，在大量的探索中提高独立思维的能力.本文试图从观察、试算、归纳、联想、类比等探索过程的基本思维活动，谈谈引导学生进行“探索”的做法和体会.
1.观察
观察是思想的起点，数学观察则是人们对数学问题在客观情景下考察其数量关系及其图形性质的方法.解决数学问题首先要从观察开始，通过观察已得到的信息，联系已有知识，经过思维分析，求出未知信息.因此在数学教学中，教师应引导学生掌握数学观察的方法，培养学生良好的数学观察品质，进而形成敏锐的观察能力.
1.1 观察隐含条件，培养观察的严密性
“隐含条件”是指题中若明若暗、含而不露的已知条件，往往不易被发现，如：函数的定义域；一元二次方程的二次项系数a=0情形；应用均值不等式求最值的“一正、二定、三相等 ”的相等条件；等差数列公差为0、等比数列公比为1的情形等.教学中应引导学生观察时全面、细致、充分挖掘，使解题圆满而无“杂、漏”.
1.2 观察内在规律，培养观察的敏锐性
有时条件中蕴含了非常巧妙的内在规律，这些规律往往反映了问题的本质，令人拍案叫绝，而这些规律的发现，需要我们用敏锐的目光去观察，去挖掘.
例1 设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)=x2，若对任意x∈［t,t+2］，不等式f(x+t)≥2f(x)恒成立，则实数t的取值范围是 .
解析：因f(x)是分段函数，一般用分类讨论的方法求解，但过程繁冗.深入观察发现：2f(x)=f(2x)，化为f(x+t)≥f(2x),利用f(x)在R上单调递增即可获解.
1.3 观察数式，联想图形，树立学生数形结合的思想意识，培养观察的全面性
数和形是数学知识体系中两大基础概念，把刻划数量关系的数和具体直观的图形有机结合，将抽象思维与形象思维有机结合，根据研讨问题需要，把数量关系的比较转化为图形性质或其位置关系的讨论，或把图形间的待定关系转化为相关元素的数量计算，由数想形，以形助数，引导学生树立数形结合的意识，进而培养观察的全面性.
1.4 观察参变量关系，培养观察的独特性
许多数学问题，都含有常量、参量和变量(统称为元素)，这些元素中，必有某个元素在问题中处于突出的、主导的地位，这样的元素叫主元.但在处理含有参数与主变量的有关问题时，我们往往突破思维定势，选取参变量为主元，而视原来的“主元”为参量，反客为主，化难为易，化繁为简.
例2 设方程x2+ax+b-2=0(a,b∈R)在(-∞，-2］∪［2，+∞)上有实根，求a2+b2的取值范围.
解析：本题若直接由条件出发，利用实根分布条件求出a,b满足的条件，即在aOb坐标平面内表示的区域，再视a2+b2为区域内点与原点距离的平方，以此数形结合方法，亦可获解，但过程很繁琐.考虑到变量a,b是我们要面对的主变量，故我们反客为主，视方程x2+ax+b-2=0(a,b∈R)为aOb坐标平面上的一条直线l:xa+b+x2-2=0,P(a,b)为直线上的点，则a2+b2即为|PO|2，设d为点O到直线l的距离，由几何条件知：|PO|2≥d2=|x2-2|x2+12=(x2+1-3)2x2+1=(x2+1)+9x2+1-6,∵x∈(-∞,-2］∪［2,+∞)，令t=x2+1,∴t∈［5,+∞),且函数t+9t在［5,+∞)上递增，∴|PO|2≥(x2+1)+9x2+1-6=t+9t-6≥45,等号成立的条件是|PO|=d,
x2+1=5,即x=±2.故当x=2,a=-45,b=-25或x=-2,a=45,b=-25时，(a2+b2)玬in=45.
在一个含有多个变量的问题中，“主”和“客”是相对而言的，“客随主便”理所当然，但“喧宾夺主”也未尝不可.
1.5 观察结构特征，培养观察的深刻性
例3 已知x,y,z∈R且x+y+z=π，x2+y2+z2=π22.求证：0≤x,y,z≤23π.
解析：本题含3个变量，超出了学生的“承受极限”，但观察后发现，条件可化为：x+y=π-z和x2+y2=π22-z2，分别表示直线和圆，而点(x,y)是他们的公共点，利用直线与圆的位置关系立得所证结论.
将“三元”化为“二元”是结构特征的改变，而观察“二元”式的结构特征，用数形结合思想求解则体现了观察的深刻性.
2.试算
有时人们为解决一个问题不是一下子就找到了办法，而是要经过一些尝试的步骤，对每一种尝试都要伴随着一些试算.
2.1 通过试算寻找条件与结论之间的数量关系
某些问题中，条件与结论之间的数量关系“深藏不露”，仅靠观察还不能“识破庐山真面目”，只有通过计算才能“一语道破天机”.
例4(2002年高考题)已知函数f(x)=x21+x2，则f(1)+f(2)+f(12)+f(3)+f(13)+f(4)+f(14)= .
解析：通过试算，发现隐含在条件和结论之间的数量关系：f(x)+f(1x)=1,从而使问题简捷获解.
2.2 通过试算寻求解决问题的方法
例5 已知a≥1，n≥3，证明或否定：an-2+an-1≥12n-1［(1+a)n-an+1］.
解析：这其实是一个未知命题，结果难以判断.可先用特殊试算：当n=3时，不等式变成a2+a≥14［(1+a)3-a3+1］，整理得a2+a-2≥0，即(a-1)(a+2)≥0,由a≥1知，上式显然成立；再令n=4，不等式变成：a3+a2≥18［(1+a)4-a4+1］，整理得2a3+a2-2a-1≥0，即(a2-1)(2a+1)≥0,同样由a≥1知，上式也成立；再令n=5,不等式变成a4+a3≥116［(1+a)5-a5+1］，整理得11a4+6a3-10a2-5a-2≥0，因式分解不易，把负的移到右边去呢?11a4+6a3≥10a2+5a+2终于有了发现，左右两边的系数和是相等的，是17.如果把左边缩小为17a3，而右边正好可以扩大为17a3，岂不妙哉!
回头看看n=3和n=4，同样如此!
证明：原不等式赼n-2+an-1≥12n-1(2+C1na+C2na2+…+Cn-1猲an-1)(1-Cn-1猲2n-1)?an-1+(1-Cn-2猲2n-1)an-2≥12n-1(Cn-3猲an-3+Cn-4猲an-4+…+C1na+2),∵a≥1,n≥3,∴1-Cn-1猲2n-1>0,1-Cn-2猲2n-1>0,左边≥(1-Cn-1猲2n-1)?an-2+(1-Cn-2猲2n-1)an-2=S,右边≤12n-1?(Cn-3猲an-2+Cn-4猲an-2+…+C1nan-2+2an-2)=T,S-T=an-2［(1-Cn-1猲2n-1)+(1-Cn-2猲2n-1)-12n-1(Cn-3猲+Cn-4猲+…+C1n+2)］=an-2［2-12n-1(1+Cn-1猲+…+C1n+1)］=0.
故左边≥右边，于是不等式得证.
通过试算特殊值，寻求问题的一般解法，体现了从特殊到一般的过程；通过试算，可以激发学生兴趣，开阔眼界，更重要的是能培养学生不墨守成规，敢于尝试，大胆发现的进取精神.
2.3 通过试算找出反例否定一些错误论断
费马猜想是数学史上著名的案例：1640年，费马验证当n=1,2,3,4时22n+1均为素数，于是得出了22n+1为素数的猜想，但一个世纪后，欧拉指出225+1=4294967297=6700417×641，从而推翻了费马的猜想.
3.归纳
归纳是观察某一类事物在某一性质上有明显相似之处，若能构成一种判断，则说我们对这类事物经过归纳发现某种性质.归纳法有完全归纳法和不完全归纳法之分.后者虽说是不严格的，但常常是发现真理的桥梁.
如中学课本中有8个同角三角函数的基本关系式：①玸inα?玞scα=1,②玞osα?玸ecα=1;③玹anα?玞otα=1;④玹anα=玸inα玞osα;⑤玞otα=玞osα玸inα;⑥玞os2α+玸in2α=1;⑦1+玹an2α=玸ec2α;⑧1+玞ot2α=玞sc2α，在此后可编造成千上万的同角三角函数的恒等式.比如课本中就有几个证恒等式的问题：玞ot2α(玹an2α-玸in2α)=玸in2α;(1-玸in2α)(玸ec2α-1)=玸in2α(玞sc2α-玞ot2α);玹an2θ-玸in2θ=玹an2θ玸in2θ;玞osα1-玸inα=1+玸inα玞osα.
我们作一个对换：在上述任一恒等式中将玹an换成玞ot,玞ot换成玹an,玸in换成玞os,玞os换成玸in,玸ec换成玞sc,玞sc换成玸ec，经过这样变换后所得式子仍是恒等式：玹an2α(玞ot2α-玞os2α)=玞os2α;(1-玞os2α)(玞sc2α-1)=玞os2α(玸ec2α-玹an2α);玞ot2θ-玞os2θ=玞ot2θ玞os2θ;玸inα1-玞osα=1+玞osα玸inα.
至此是否可以归纳出一个命题呢?注意到在诱导公式中这样的变换并不能得恒等式，例如玸in(-α)=-玸inα但玞os(-α)≠-玞osα，但我们可谨慎地归纳出下面 的定理：
“凡是由8个三角函数基本关系式所导出的恒等式中，同时将玸in与玞os互换，玸ec与玞sc互换，玹an与玞ot互换，所得式子仍是一个恒等式.”其证明也很简单，将上述互换施行到基本恒等式中恰有：①茛冢②茛伲③茛郏④茛荩⑤茛埽⑥茛蓿⑦茛啵⑧茛.故定理对基本恒等式是成立的，对由此导出的任一恒等式也应成立.
4.联想
波利亚说过，在陌生中寻找熟悉，这个寻找的过程其实就是联想的过程.所谓联想，是由当前感知或思考的事物想起有关的另一事物，或由此再想起其他事物的心理活动.联想是一种自觉的或有目的想象，它在我们数学活动中无处不在，运用联想我们可以进行数形转换，将代数问题转化为几何问题，或者将几何问题转化为代数问题；运用联想，对数式结构进行想象，联系有关的概念，公式、定理等，可以化未知为已知.
4.1 接近联想——把握问题探究的“分水岭”
数学问题的探究有时需要一个环节一个环节地进行，进行到某一个环节时，会出现不同的探究方向，即所谓的问题探究的“分水岭”，把握好这个“分水岭”，能使问题的探究少走弯路，减少不必要的干扰.把握好这个“分水岭”，接近联想是我们选用的方法之一.接近联想主要是由概念、原理、法则、策略的接近而产生的联想，一般教材在学习定理、法则和公式之后的巩固和练习题中，大都借助了这种联想.灵活地运用接近联想，可提高解题技巧和创新能力.
例6(2003江苏) 已知长方形四个顶点A(0，0)，B(2，0)，C(2，1)和D(0，1).一顶点从AB的中点P0沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4(入射角等于反射角).设P4的坐标为(x4,0).若1
C.(25，12) D.(25，23)
解析：本题的难点在于如何找出由θ的变化而引起的入射点位置的变化，这两者之间的关系若通过列出x4与θ的关系式，经过运算去解决，不但时间花费多，而且又不易得到正确的解答.
画出图形，取BC中点E，CD中点F，AD中点G，通过接近联想，联想物理学中的光学原理，若从P0发出的光线射到E，由入射角等于反射角，容易得到光线的路线为：P0→E→F→G→P0；若从P0发出的光线射到BE之间，按题意可画出线路图，得x4在以(1，2)之间，若从P0发出的光线射到EC之间，用同样的思考方式，得x4在(0，1)之间.经计算得玹anθ<12，结合选项选C.
4.2 关系联想——弄清所探究问题的“本质”
在探索数学问题的过程中，我们往往通过抓住问题的有关部分的特征，以及它们之间的某种联系，根据知识之间的从属关系、一般关系、因果关系进行的一种联想，这种联想称之为关系联想.通过关系联想，弄清问题的本质，使问题明朗化.例如，从一个抽象问题通过关系联想转化为一个具体问题；从一个有数量关系问题通过关系联想转化为一个几何图形问题，由一个特殊性问题通过关系联想转化为一个一般问题等等.
4.3 逆向联想——寻求问题探究的“蹊径”
我们在解决有关问题时，时常会出现正面解决有困难，联想到从它反面去思考，从而使问题 妥善解决.这就是我们常说的反证法、同一法等间接策略，它们所表现出来的思维方式就叫 做逆向联想.利用逆向联想探究问题，其表现方式不仅仅局限于此，例如，不等式证明中的分析法、立体几何中“割与补”、“展与折”等所表现出来的思维方式都是逆向联想.
4.4 横向联想——寻找问题探究的“法宝”
横向联想，是指数学各分支之间，数学与物理、化学、生物、地理等学科之间的联想.由于各种知识之间有着一定的关联和相互渗透，这为横向联想提供了可行的条件，利用横向联想，使所探究的问题“举一反三”、“由此及彼”、“触类旁通”.
5.类比
将不同类事物进行比较，找出不同类事物之间的某种类似之处，从而由一类事物所具有的某种规律导致发现另一类事物也具有类似的规律，这种思维活动叫类比.
5.1 概念上的类比
有些数学概念可以通过类比旧概念来得到，这样获取新知识自然，能有效培养学生的学习能力.这样的问题在高考中屡见不鲜，如：2004年北京高考卷关于“等和数列”的定义及2008年 全国高考湖南卷关于“组合数”的“新”定义：设［x］表示不超过x的最大整数，对于给定的n∈N*，定义：Cxn=n(n-1)…(n-［x］+1)x(x-1)…(x-［x］+1),x∈［1,+∞)，则当x∈［32,3)时，函数Cxn的值域是 .
这些“新”定义令人耳目一新，但在方法上却是“老曲新唱”，只要与相应的“旧”定义进行类比，稍作调整便可得解.
5.2 解题方法上的类比
数学中很多问题在解决方法上非常相似，只要进行恰当的类比，探究其本质，便可化归为同 一类问题.如Fibonacci数列的递推数列为：a1=1,a2=1，an+2=an+1+an，以下均可类比转化为Fibonacci数列问题：
(1)走台阶问题：某处有n级台阶，某人从下往上走，若每次只能跨一级或两级，问他从地面走到第n级有多少种方法?
(2)覆盖问题：用n张1×2的长方形骨牌完全覆盖2×n的棋盘，有多少种方法?
(3)粘邮票问题：用一元和二元的两种邮票粘贴成一排，求粘满n元的不同方法数?
(4)排数字问题：用数字1和2排成n位数，且要求数字1，1不相邻，则有多少种不同的排法?
不同的问题可以用同一类方法解决，属于多题归一问题，再拓展迁移，就可以类似研究一题多解、一题多变的问题.如果能将所学的具有典型性的问题或题目多方变化与发散，必能大大提高学习效率，优化知识结构.
5.3 结构上的类比
利用待解决问题中的式子与学过的数学公式结构上的相似联想到解题思路.
例7 设a,b,c为非零实数，且a+b+c=abc.求证：(1-a2)(1-b2)ab+(1-b2)(1-c2)bc+(1-c2)(1-a2)ca=4.
解析：本题用代数法证明繁冗.观察条件式联想到用三角中的结论：玹anα+玹anβ+玹anγ=玹anα玹anβ玹anγ代换a+b+c=abc，其中a=玹anα,b=玹anβ,c=玹anγ,α+β+γ=π再观察求证式左边三项，它们与玹an2α=2a1-a2,玹an2β=2b1-b2,玹an2γ=2c1-c2密切相关，因此求证式左边可化为玹an2α,玹an2β,玹an2γ的表达式，若
又能联想到用公式：玹an2α+玹an2β+玹an2γ=玹an2α玹an2β玹an2γ化简表达式，则本题简洁得证.
5.4 结论上的类比
数学上很多结论，通过探索与研究，可以延伸与推广，有利于将一类问题整体把握.对一些命题类比迁移，通常可以将条件或结论进行相似变换，留同增异，如由低级推向高级，由静态推向动态.这种对知识和方法的延伸与推广，有利于思维的变异和发散，通过类比、猜想、探索和发现将知识和方法进行迁移，易于思维品质的提高和知识结构的优化.
我们在教学实践中体会到，不失时机地引导学生自主探索，通过亲身实践发现问题、寻找客观规律，然后采取适应事物规律的方法因势利导去解决问题，有助于学生养成独立思维的习惯，培养创造性地解决问题的能力，体验“山重水复疑无路”的迷茫，享受“柳暗花明又一村”的喜悦.
倡导积极主动、勇于探索的学习方式是新课程标准的基本理念之一，《普通高中数学课程标准(实验)》指出：“数学学习不仅仅是记忆一些重要的数学结论，更要发展数学思维能力和积极的情感态度，这就需要学习者有积极主动、勇于探索的精神，需要有自主探索的过程.”
在数学教学中，教师要善于引导学生主动探索，积极开展思维活动，在大量的探索中提高独立思维的能力.本文试图从观察、试算、归纳、联想、类比等探索过程的基本思维活动，谈谈引导学生进行“探索”的做法和体会.
1.观察
观察是思想的起点，数学观察则是人们对数学问题在客观情景下考察其数量关系及其图形性质的方法.解决数学问题首先要从观察开始，通过观察已得到的信息，联系已有知识，经过思维分析，求出未知信息.因此在数学教学中，教师应引导学生掌握数学观察的方法，培养学生良好的数学观察品质，进而形成敏锐的观察能力.
1.1 观察隐含条件，培养观察的严密性
“隐含条件”是指题中若明若暗、含而不露的已知条件，往往不易被发现，如：函数的定义域；一元二次方程的二次项系数a=0情形；应用均值不等式求最值的“一正、二定、三相等 ”的相等条件；等差数列公差为0、等比数列公比为1的情形等.教学中应引导学生观察时全面、细致、充分挖掘，使解题圆满而无“杂、漏”.
1.2 观察内在规律，培养观察的敏锐性
有时条件中蕴含了非常巧妙的内在规律，这些规律往往反映了问题的本质，令人拍案叫绝，而这些规律的发现，需要我们用敏锐的目光去观察，去挖掘.
例1 设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)=x2，若对任意x∈［t,t+2］，不等式f(x+t)≥2f(x)恒成立，则实数t的取值范围是 .
解析：因f(x)是分段函数，一般用分类讨论的方法求解，但过程繁冗.深入观察发现：2f(x)=f(2x)，化为f(x+t)≥f(2x),利用f(x)在R上单调递增即可获解.
1.3 观察数式，联想图形，树立学生数形结合的思想意识，培养观察的全面性
数和形是数学知识体系中两大基础概念，把刻划数量关系的数和具体直观的图形有机结合，将抽象思维与形象思维有机结合，根据研讨问题需要，把数量关系的比较转化为图形性质或其位置关系的讨论，或把图形间的待定关系转化为相关元素的数量计算，由数想形，以形助数，引导学生树立数形结合的意识，进而培养观察的全面性.
1.4 观察参变量关系，培养观察的独特性
许多数学问题，都含有常量、参量和变量(统称为元素)，这些元素中，必有某个元素在问题中处于突出的、主导的地位，这样的元素叫主元.但在处理含有参数与主变量的有关问题时，我们往往突破思维定势，选取参变量为主元，而视原来的“主元”为参量，反客为主，化难为易，化繁为简.
例2 设方程x2+ax+b-2=0(a,b∈R)在(-∞，-2］∪［2，+∞)上有实根，求a2+b2的取值范围.
解析：本题若直接由条件出发，利用实根分布条件求出a,b满足的条件，即在aOb坐标平面内表示的区域，再视a2+b2为区域内点与原点距离的平方，以此数形结合方法，亦可获解，但过程很繁琐.考虑到变量a,b是我们要面对的主变量，故我们反客为主，视方程x2+ax+b-2=0(a,b∈R)为aOb坐标平面上的一条直线l:xa+b+x2-2=0,P(a,b)为直线上的点，则a2+b2即为|PO|2，设d为点O到直线l的距离，由几何条件知：|PO|2≥d2=|x2-2|x2+12=(x2+1-3)2x2+1=(x2+1)+9x2+1-6,∵x∈(-∞,-2］∪［2,+∞)，令t=x2+1,∴t∈［5,+∞),且函数t+9t在［5,+∞)上递增，∴|PO|2≥(x2+1)+9x2+1-6=t+9t-6≥45,等号成立的条件是|PO|=d,
x2+1=5,即x=±2.故当x=2,a=-45,b=-25或x=-2,a=45,b=-25时，(a2+b2)玬in=45.
在一个含有多个变量的问题中，“主”和“客”是相对而言的，“客随主便”理所当然，但“喧宾夺主”也未尝不可.
1.5 观察结构特征，培养观察的深刻性
例3 已知x,y,z∈R且x+y+z=π，x2+y2+z2=π22.求证：0≤x,y,z≤23π.
解析：本题含3个变量，超出了学生的“承受极限”，但观察后发现，条件可化为：x+y=π-z和x2+y2=π22-z2，分别表示直线和圆，而点(x,y)是他们的公共点，利用直线与圆的位置关系立得所证结论.
将“三元”化为“二元”是结构特征的改变，而观察“二元”式的结构特征，用数形结合思想求解则体现了观察的深刻性.
2.试算
有时人们为解决一个问题不是一下子就找到了办法，而是要经过一些尝试的步骤，对每一种尝试都要伴随着一些试算.
2.1 通过试算寻找条件与结论之间的数量关系
某些问题中，条件与结论之间的数量关系“深藏不露”，仅靠观察还不能“识破庐山真面目”，只有通过计算才能“一语道破天机”.
例4(2002年高考题)已知函数f(x)=x21+x2，则f(1)+f(2)+f(12)+f(3)+f(13)+f(4)+f(14)= .
解析：通过试算，发现隐含在条件和结论之间的数量关系：f(x)+f(1x)=1,从而使问题简捷获解.
2.2 通过试算寻求解决问题的方法
例5 已知a≥1，n≥3，证明或否定：an-2+an-1≥12n-1［(1+a)n-an+1］.
解析：这其实是一个未知命题，结果难以判断.可先用特殊试算：当n=3时，不等式变成a2+a≥14［(1+a)3-a3+1］，整理得a2+a-2≥0，即(a-1)(a+2)≥0,由a≥1知，上式显然成立；再令n=4，不等式变成：a3+a2≥18［(1+a)4-a4+1］，整理得2a3+a2-2a-1≥0，即(a2-1)(2a+1)≥0,同样由a≥1知，上式也成立；再令n=5,不等式变成a4+a3≥116［(1+a)5-a5+1］，整理得11a4+6a3-10a2-5a-2≥0，因式分解不易，把负的移到右边去呢?11a4+6a3≥10a2+5a+2终于有了发现，左右两边的系数和是相等的，是17.如果把左边缩小为17a3，而右边正好可以扩大为17a3，岂不妙哉!
回头看看n=3和n=4，同样如此!
证明：原不等式赼n-2+an-1≥12n-1(2+C1na+C2na2+…+Cn-1猲an-1)(1-Cn-1猲2n-1)?an-1+(1-Cn-2猲2n-1)an-2≥12n-1(Cn-3猲an-3+Cn-4猲an-4+…+C1na+2),∵a≥1,n≥3,∴1-Cn-1猲2n-1>0,1-Cn-2猲2n-1>0,左边≥(1-Cn-1猲2n-1)?an-2+(1-Cn-2猲2n-1)an-2=S,右边≤12n-1?(Cn-3猲an-2+Cn-4猲an-2+…+C1nan-2+2an-2)=T,S-T=an-2［(1-Cn-1猲2n-1)+(1-Cn-2猲2n-1)-12n-1(Cn-3猲+Cn-4猲+…+C1n+2)］=an-2［2-12n-1(1+Cn-1猲+…+C1n+1)］=0.
故左边≥右边，于是不等式得证.
通过试算特殊值，寻求问题的一般解法，体现了从特殊到一般的过程；通过试算，可以激发学生兴趣，开阔眼界，更重要的是能培养学生不墨守成规，敢于尝试，大胆发现的进取精神.
2.3 通过试算找出反例否定一些错误论断
费马猜想是数学史上著名的案例：1640年，费马验证当n=1,2,3,4时22n+1均为素数，于是得出了22n+1为素数的猜想，但一个世纪后，欧拉指出225+1=4294967297=6700417×641，从而推翻了费马的猜想.
3.归纳
归纳是观察某一类事物在某一性质上有明显相似之处，若能构成一种判断，则说我们对这类事物经过归纳发现某种性质.归纳法有完全归纳法和不完全归纳法之分.后者虽说是不严格的，但常常是发现真理的桥梁.
如中学课本中有8个同角三角函数的基本关系式：①玸inα?玞scα=1,②玞osα?玸ecα=1;③玹anα?玞otα=1;④玹anα=玸inα玞osα;⑤玞otα=玞osα玸inα;⑥玞os2α+玸in2α=1;⑦1+玹an2α=玸ec2α;⑧1+玞ot2α=玞sc2α，在此后可编造成千上万的同角三角函数的恒等式.比如课本中就有几个证恒等式的问题：玞ot2α(玹an2α-玸in2α)=玸in2α;(1-玸in2α)(玸ec2α-1)=玸in2α(玞sc2α-玞ot2α);玹an2θ-玸in2θ=玹an2θ玸in2θ;玞osα1-玸inα=1+玸inα玞osα.
我们作一个对换：在上述任一恒等式中将玹an换成玞ot,玞ot换成玹an,玸in换成玞os,玞os换成玸in,玸ec换成玞sc,玞sc换成玸ec，经过这样变换后所得式子仍是恒等式：玹an2α(玞ot2α-玞os2α)=玞os2α;(1-玞os2α)(玞sc2α-1)=玞os2α(玸ec2α-玹an2α);玞ot2θ-玞os2θ=玞ot2θ玞os2θ;玸inα1-玞osα=1+玞osα玸inα.
至此是否可以归纳出一个命题呢?注意到在诱导公式中这样的变换并不能得恒等式，例如玸in(-α)=-玸inα但玞os(-α)≠-玞osα，但我们可谨慎地归纳出下面 的定理：
“凡是由8个三角函数基本关系式所导出的恒等式中，同时将玸in与玞os互换，玸ec与玞sc互换，玹an与玞ot互换，所得式子仍是一个恒等式.”其证明也很简单，将上述互换施行到基本恒等式中恰有：①茛冢②茛伲③茛郏④茛荩⑤茛埽⑥茛蓿⑦茛啵⑧茛.故定理对基本恒等式是成立的，对由此导出的任一恒等式也应成立.
4.联想
波利亚说过，在陌生中寻找熟悉，这个寻找的过程其实就是联想的过程.所谓联想，是由当前感知或思考的事物想起有关的另一事物，或由此再想起其他事物的心理活动.联想是一种自觉的或有目的想象，它在我们数学活动中无处不在，运用联想我们可以进行数形转换，将代数问题转化为几何问题，或者将几何问题转化为代数问题；运用联想，对数式结构进行想象，联系有关的概念，公式、定理等，可以化未知为已知.
4.1 接近联想——把握问题探究的“分水岭”
数学问题的探究有时需要一个环节一个环节地进行，进行到某一个环节时，会出现不同的探究方向，即所谓的问题探究的“分水岭”，把握好这个“分水岭”，能使问题的探究少走弯路，减少不必要的干扰.把握好这个“分水岭”，接近联想是我们选用的方法之一.接近联想主要是由概念、原理、法则、策略的接近而产生的联想，一般教材在学习定理、法则和公式之后的巩固和练习题中，大都借助了这种联想.灵活地运用接近联想，可提高解题技巧和创新能力.
例6(2003江苏) 已知长方形四个顶点A(0，0)，B(2，0)，C(2，1)和D(0，1).一顶点从AB的中点P0沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4(入射角等于反射角).设P4的坐标为(x4,0).若1
C.(25，12) D.(25，23)
解析：本题的难点在于如何找出由θ的变化而引起的入射点位置的变化，这两者之间的关系若通过列出x4与θ的关系式，经过运算去解决，不但时间花费多，而且又不易得到正确的解答.
画出图形，取BC中点E，CD中点F，AD中点G，通过接近联想，联想物理学中的光学原理，若从P0发出的光线射到E，由入射角等于反射角，容易得到光线的路线为：P0→E→F→G→P0；若从P0发出的光线射到BE之间，按题意可画出线路图，得x4在以(1，2)之间，若从P0发出的光线射到EC之间，用同样的思考方式，得x4在(0，1)之间.经计算得玹anθ<12，结合选项选C.
4.2 关系联想——弄清所探究问题的“本质”
在探索数学问题的过程中，我们往往通过抓住问题的有关部分的特征，以及它们之间的某种联系，根据知识之间的从属关系、一般关系、因果关系进行的一种联想，这种联想称之为关系联想.通过关系联想，弄清问题的本质，使问题明朗化.例如，从一个抽象问题通过关系联想转化为一个具体问题；从一个有数量关系问题通过关系联想转化为一个几何图形问题，由一个特殊性问题通过关系联想转化为一个一般问题等等.
4.3 逆向联想——寻求问题探究的“蹊径”
我们在解决有关问题时，时常会出现正面解决有困难，联想到从它反面去思考，从而使问题 妥善解决.这就是我们常说的反证法、同一法等间接策略，它们所表现出来的思维方式就叫 做逆向联想.利用逆向联想探究问题，其表现方式不仅仅局限于此，例如，不等式证明中的分析法、立体几何中“割与补”、“展与折”等所表现出来的思维方式都是逆向联想.
4.4 横向联想——寻找问题探究的“法宝”
横向联想，是指数学各分支之间，数学与物理、化学、生物、地理等学科之间的联想.由于各种知识之间有着一定的关联和相互渗透，这为横向联想提供了可行的条件，利用横向联想，使所探究的问题“举一反三”、“由此及彼”、“触类旁通”.
5.类比
将不同类事物进行比较，找出不同类事物之间的某种类似之处，从而由一类事物所具有的某种规律导致发现另一类事物也具有类似的规律，这种思维活动叫类比.
5.1 概念上的类比
有些数学概念可以通过类比旧概念来得到，这样获取新知识自然，能有效培养学生的学习能力.这样的问题在高考中屡见不鲜，如：2004年北京高考卷关于“等和数列”的定义及2008年 全国高考湖南卷关于“组合数”的“新”定义：设［x］表示不超过x的最大整数，对于给定的n∈N*，定义：Cxn=n(n-1)…(n-［x］+1)x(x-1)…(x-［x］+1),x∈［1,+∞)，则当x∈［32,3)时，函数Cxn的值域是 .
这些“新”定义令人耳目一新，但在方法上却是“老曲新唱”，只要与相应的“旧”定义进行类比，稍作调整便可得解.
5.2 解题方法上的类比
数学中很多问题在解决方法上非常相似，只要进行恰当的类比，探究其本质，便可化归为同 一类问题.如Fibonacci数列的递推数列为：a1=1,a2=1，an+2=an+1+an，以下均可类比转化为Fibonacci数列问题：
(1)走台阶问题：某处有n级台阶，某人从下往上走，若每次只能跨一级或两级，问他从地面走到第n级有多少种方法?
(2)覆盖问题：用n张1×2的长方形骨牌完全覆盖2×n的棋盘，有多少种方法?
(3)粘邮票问题：用一元和二元的两种邮票粘贴成一排，求粘满n元的不同方法数?
(4)排数字问题：用数字1和2排成n位数，且要求数字1，1不相邻，则有多少种不同的排法?
不同的问题可以用同一类方法解决，属于多题归一问题，再拓展迁移，就可以类似研究一题多解、一题多变的问题.如果能将所学的具有典型性的问题或题目多方变化与发散，必能大大提高学习效率，优化知识结构.
5.3 结构上的类比
利用待解决问题中的式子与学过的数学公式结构上的相似联想到解题思路.
例7 设a,b,c为非零实数，且a+b+c=abc.求证：(1-a2)(1-b2)ab+(1-b2)(1-c2)bc+(1-c2)(1-a2)ca=4.
解析：本题用代数法证明繁冗.观察条件式联想到用三角中的结论：玹anα+玹anβ+玹anγ=玹anα玹anβ玹anγ代换a+b+c=abc，其中a=玹anα,b=玹anβ,c=玹anγ,α+β+γ=π再观察求证式左边三项，它们与玹an2α=2a1-a2,玹an2β=2b1-b2,玹an2γ=2c1-c2密切相关，因此求证式左边可化为玹an2α,玹an2β,玹an2γ的表达式，若
又能联想到用公式：玹an2α+玹an2β+玹an2γ=玹an2α玹an2β玹an2γ化简表达式，则本题简洁得证.
5.4 结论上的类比
数学上很多结论，通过探索与研究，可以延伸与推广，有利于将一类问题整体把握.对一些命题类比迁移，通常可以将条件或结论进行相似变换，留同增异，如由低级推向高级，由静态推向动态.这种对知识和方法的延伸与推广，有利于思维的变异和发散，通过类比、猜想、探索和发现将知识和方法进行迁移，易于思维品质的提高和知识结构的优化.
我们在教学实践中体会到，不失时机地引导学生自主探索，通过亲身实践发现问题、寻找客观规律，然后采取适应事物规律的方法因势利导去解决问题，有助于学生养成独立思维的习惯，培养创造性地解决问题的能力，体验“山重水复疑无路”的迷茫，享受“柳暗花明又一村”的喜悦.
