把握中考问题考向,深度探究突破方法

    张凤梅

    

    

    

    [摘? 要] 分析近几年的中考试题,考查锐角三角函数的方式较为多样,侧重于知识综合,无论是命题背景,还是解法特点均具有一定的探究价值.文章将对锐角三角函数的考查方向进行举例探析,总结问题特点,归纳解题方法,并开展相应的教学反思,提出几点学习建议,以期对师生的教学备考有所帮助.

    [关键词] 锐角三角函数;中考;概念;网格;应用;综合

    三角函数是中学数学的重要分支,其知识内容贯穿初中和高中数学,因此具有特殊的地位.在初中阶段需要掌握锐角三角函数的相关内容,包括其概念、特殊值求法,并能合理应用相关知识解决问题.同时近几年各地中考出现了考查锐角三角函数的试题,问题类型多样、考向各异、难度适中,下面进行考向分析,举例探究解题思路.

    关于锐角三角函数的考查举例

    分析各地考题,锐角三角函数的考查内容主要集中在其基本概念、模型构建和实际应用三方面,而实际考查时常借助直角三角形,融合特殊网格,侧重实际应用,综合抛物线等知识背景,下面进行深入探究.

    考向一:借助直角三角形考查其概念

    锐角三角函数编排在勾股定理内容之后,是对直角三角形边角关系的进一步探究.锐角三角函数的概念是依托直角三角形而构建的,中考常结合几何图形来考查其概念,在实际解析时需要充分利用直角三角形的特性.

    例1? (2019年江苏省淮安市中考卷第16题)如图1所示,在矩形ABCD中,AB=3,BC=2,H是AB的中点,将△CBH沿CH折叠,点B落在矩形内点P处,连接AP,则tan∠HAP=______.

    解析? 求∠HAP的正切值需要将其放在直角三角形中,由于∠HAP所在的△APH为一般三角形,无法直接构建锐角三角函数的比值关系,需要进行等角转化.

    连接BP,与CH的交点为点E.△CBH折叠后得到了△CPH,由折叠特性可知PB⊥CH,PE=BE.进一步分析可知∠APB=90°,于是有AP∥CH,所以∠HAP=∠CHB.在Rt△CHB中,BC=2,HB=■,所以tan∠CHB=■=■,即tan∠HAP=■.

    评析? 上述求锐角的正切值,利用两线平行的性质实现了等角转化,从而将所涉角度转化到直角三角形中.等角转化的途径有很多,比如相似转化、全等转化等.

    考向二:融合网格考查其拓展变式

    网格是几何的重要表达形式,可融合线段长和空间几何关系,结合三角函数可以综合考查学生观察分析、几何特性提取等技能,其问题类型具有一定的创新性.实际求解时需要把握几何特性,合理添加辅助线构建模型.

    例2? (2019年山东省中考模拟题)如图2,在边长为1的小正方形网格中,点A,B,C,D均位于这些小正方形的顶点上,AB,CD相交于点O,则tan∠AOD=______.

    解析? 本题目以网格为背景求∠AOD的正切值,需要充分利用正方形的特性.而∠AOD的顶点位置较为一般,不利于构建直角模型,需要进行等角转化.

    连接BE,与CD的交点为点F,分析可知BF=CF,同时BE⊥CD,则可以借助对顶角将∠AOD转化到Rt△BFO中.分析可证△ACO∽△BKO,则KO ∶ CO=BK ∶ AC=1 ∶ 3,所以KO=OF=■CF=■BF.在Rt△BFO中,tan∠BOF=■=2,即tan∠AOD=2.

    评析? 上述三角函数问题的特点是融合了网格,对于网格需要充分利用其中的两大条件:一是网格的几何特性,如正方形网格的四边相等,对角线垂直平分等,二是网格问题一般会给出图形的边长,实则可求其中的特殊线段长.

    考向三:应用视角下考查模型构建

    利用锐角的三角函数解决实际问题是其重要的应用考向,实则就是解直角三角形.问题常结合仰角、俯角、坡度、方位角等,求解时需要合理构建数学模型,利用勾股定理和三角函数.

    例3? (2019年江苏省徐州市中考卷第15題)如图3所示,无人机于空中A处测得某建筑顶部B处的仰角为45°,测得该建筑底部C处的俯角为17°.若无人机的飞行高度AD为62 m,则该建筑的高度BC为______.

    (参考数据:sin17°≈0.29,cos17°≈0.96,tan17°≈0.31)

    解析? 本题目主要考查直角三角形和三角函数知识,需要理解仰角和俯角的定义,然后在图形中添加辅助线来构建模型.

    过点A作BC的垂线,垂足为点E,则EC=AD=62 m,在Rt△AEC中,tan∠EAC=■,则AE=■≈200. 在Rt△AEB中,已知∠BAE=45°,则BE=AE=200 m,所以BC=BE+CE=262 m,即该建筑的高度BC为262 m.

    评析? 上述求建筑物的高度,给出了观察点距建筑物的水平距离,以及仰角和俯角,求解时在直角三角形中利用三角函数完成了线段推导,这也是求解应用性问题的常用方法.另外还常利用三角函数来解析坡度、航行位置等问题.

    考向四:函数视角下考查综合能力

    抛物线是初中数学的重点内容,也可综合抛物线来考查三角函数知识,问题求解时同样离不开构建直角三角形,其特殊之处在于其中的线段长需要结合点坐标,利用抛物线的特性来确定点位置.

    例4? 如图4所示,已知抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于点A和B,与y轴相交于点C(0,2).现连接AC,若tan∠OAC=2,试回答下列问题.

    (1)求抛物线所对应二次函数的解析式;

    (2)分析抛物线的对称轴上是否存在一点P,使得∠APC=90°?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

    解析? 本题目为二次函数综合题,其中融合了抛物线与三角函数,求解时需要充分利用三角函数来求线段长.

    (1)已知点C坐标,还需求出点A的坐标,只需求OA的长即可.由点C坐标可知OC=2,又知tan∠OAC=2,则可在Rt△OAC中构建模型,即tan∠OAC=■=2,所以OA=1,则点A(1,0),联系点A和C的坐标可求抛物线的解析式为y=x2-3x+2.

    (2)该问属于存在性探究问题,过点C作对称轴l的垂线,垂足为点D.分析可知直线l: x=■,由于∠APC=90°,则tan∠PAE=tan∠CPD,所以■=■,从而可得PE=■或■,所以点P的坐标为■,■或■,■.

    评析? 上述例题为抛物线与三角函数相结合的综合题,所求两问均充分利用了三角函数,其中第(1)问直接利用直角三角形中的三角函数完成线段求解,第(2)问则通过等角的三角函数构建了方程,确定了关键线段的长.上述所呈现的也是该类问题中三角函数知识的常用方法,解析问题时可合理参考,構建思路.

    关于锐角三角函数的学习建议

    上述是中考中三角函数常见的问题类型,分析可知在考查时既注重基本概念,又关注知识融合,而合理构建几何模型是问题突破的关键,下面提出几点建议.

    1. 追本溯源,关注问题核心

    新课标确定了三角函数的考查要求:①探索认识特殊锐角三角函数值,②掌握一般锐角三角函数的转化方法,③灵活运用三角函数来解直角三角形.其中提出了理解概念、构建模型、应用拓展三大学习要求,实则也是中考中三角函数的考查内容.因此在实际学习时,需要学生深入理解锐角三角函数的概念,能够合理利用直角三角形来构建比值模型,同时引导学生掌握等角三角函数转化的方法技巧,形成一般问题的突破思路.

    2. 知识综合,关注知识联系

    中考对三角函数的考查侧重于知识综合,如融合网格、联系实际、结合函数曲线等,呈现的均是三角函数的知识联系点,涉及直角三角形、勾股定理、相似三角形、曲线图像等知识,而问题的求解需要综合关联知识,合理构建思路.因此学生在学习时除了需要打牢基础外,还需注重知识的归类总结,关注知识联系,构建完整的知识体系.而对于其中的知识联系点,教师可以设置相关的问题,通过针对性训练来巩固.

    3. 渗透思想,重视数学思维

    综合性问题的求解过程同样也是数学思想的构建过程,如上述三角函数综合题的突破中,利用转化思想来实现等角转化,结合模型思想来构建数学模型,通过数形结合完成了问题的高效作答,其中涉及数学的转化思想、模型思想、数形结合思想等.思想方法是解题的核心所在,也是数学的精华,对于提升学生的解题思维有着极大的帮助,因此教师在实际教学中需合理渗透数学思想,引导学生感悟思想方法的内涵,充分掌握利用思想方法探究问题的思路,拓展学生思维,培养学生的核心素养.

    总之,锐角三角函数是初中数学的重点知识,在教学中需要对其考查方向和问题类型加以探析,引导学生掌握构建模型求解三角函数的方法.同时,要充分突出锐角三角函数的工具特性,提升学生求解综合问题的能力.

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