解析几何中与斜率有关的综合题
陈玉生
圆锥曲线是高中数学的重要内容，也是高考重点考查的知识点，其中与斜率有关的综合问题是高考题中的“亮点”，倍受命题者青睐.它涉及知识多、方法灵活、综合性强，能有效地考查学生的推理运算能力、理性思维能力.
1.斜率为定值的证明题
例1 如图，曲线G的方程为y2=2x(y≥0)，以原点为圆心，以t(t>0)为半径的圆分别与曲线G和y轴的正半轴相交于点A与点B，直线AB与x轴相交于点C.
(1)求点A的横坐标a与点C的横坐标c的关系式；
(2)设曲线G上点D的横坐标为a+2，求证：直线CD的斜率为定值.
分析：对于(1)只要直接求解即可，对于(2)需要通过(1)求得用a表示的点C的坐标.直接表示出直线CD的斜率，通过运算即可证明此斜率为定值.
解：(1)由题意知，A(a,2a)，因为|OA|=t,所以a2+2a=t2,又t>0,故t=a2+2a(1)，由点B(0，t),C(c,0)的坐标知直线BC的方程为xc+yt=1.又因A在直线BC上，故有ac+2at=1，将(1)代入上式得ac+2aa(a+2)=1,∴c=a+2+2(a+2).
(2)因为D(a+2,2(a+2))，所以直线CD的斜率为k〤D=2(a+2)a+2-c=
2(a+2)a+2-(a+2+2(a+2))=2(a+2)-2(a+2)=-1(定值).
注：本题综合考查运算能力、思维能力及综合分析问题、解决问题的能力.
2.斜率存在的探索题
例2 平面直角坐标系xOy中，过点(0,2)且斜率为k的直线l与椭圆x22+y2=1有两个不同的交点P和Q.
(1)求k的取值范围；
(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于A，B，是否存在常数k，使得向量㎡P+㎡Q哂氇〢B吖蚕?如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由.
分析：联立直线与圆锥曲线方程，将曲线交点转化为方程的解，利用韦达定理，设而不求，整体思维，整体代换，避繁就简，是解决圆锥曲线问题的通性、通法.
解：(1)由已知得直线l的方程为y=kx+2，代入椭圆方程得x22+(kx+2)2=1，即12+k2x2+22kx+1=0①，则△=8k2-4?12+k2=4k2-2>0,解得k<-22或k>22，即k的范围为-∞,-22∪22,+∞.
(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2)，则㎡P+㎡Q=(x1+x2,y1+y2),由方程①，知x1+x2=-42k1+2k2,②，又y1+y2=k(x1+x2)+22,③，而A(2，0)，B(0，1)，〢B=(-2,1)，所以㎡P+㎡Q哂氇〢B吖蚕叩燃塾趚1+x2=-2(y1+y2)，将②③代入上式，解得k=22.由(1)知k<-22或k>22，故没有符合题意的常数k.
3.分类讨论斜率的研究题
例3 我们把由半椭圆x2a2+y2b2=1(x≥0)与半椭圆y2b2+x2c2=1(x≤0)合成的曲线称作为“果圆”，其中a2=b2+c2,a>0,b>c>0，如图，点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点，A1，A2和B1，B2分别是“果圆”与x,y轴的交点.
(1)若△F0F1F2是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程；
(2)当|A1A2|>|B1B2|时，求ba的取值范围；
(3)连接“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”的弦.试研究：是否存在实数k，使斜率为k的“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上?若存在，求出所有可能的k值；若不存在，说明理由.
解：(1)∵F0(c,0),F1(0,-b2-c2),
F2(0，b+2-c+2),∴|F0F2|=(b2-c2)+c2=b=1,|F1F2|=2b2-c2=1,于是c2=34,a2=b2+c2=74，所求“果圆”方程为47x2+y2=1(x≥0)，y2+43x2=1(x≤0).
(2)由题意，得a+c>2b，即a2-b2>2b-a,∵(2b)2>b2+c2=a2,∴a2-b2>(2b-a)2,得ba<45,又b2>c2=a2-b2,∴b2a2>12,∴ba∈(22,45).
(3)设“果圆”方程为x2a2+y2b2=1(x≥0)，y2b2+x2c2=1(x≤0)，记平行弦的斜率为k，当k=0时，直线y=t(-b≤t≤b)与半椭圆x2a2+y2b2=1(x≥0)的交点是P(a1-t2b2,t)，与半椭圆y2b2+x2c2=1(x≤0)的交点是Q(-c?1-t2b2,t).
∴P，Q的中点M(x,y)满足x=a-c2?1-t2b2,
y=t,得x2(a-c2)2+y2b2=1.∵a<2b,∴(a-c2)2-b+2=a-c-2b2?a-c+2b2 ≠0.综上所述，当k=0时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上.
当k>0时，以k为斜率过B1的直线l与半椭圆x2a2+y2b2=1(x≥0)的交点是(2ka2bk2a2+b2,k2a2b-b3k2a2+b2).由此，在直线l右侧，以k为斜率的平行弦的中点轨迹在直线y=-b2ka2x上，即不在某一椭圆上.
当k<0时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上.
4.斜率范围(最值)的综合题
例4 设F1、F2分别是椭圆x24+y2=1的左、右焦点.
(1)若P是该椭圆上的一个动点，求㏄F1?㏄F2叩淖畲笾岛妥钚≈担
(2)设过定点M(0，2)的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角(其中O为坐标原点)，求直线l的斜率k的取值范围.
分析：本题主要考查直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合应用数学知识解决问题及推理计算能力.解题中要求学生能够数形结合、灵活转化.利用判别式、基本不等式、函数方法产生不等式关系，从而求得相关参数的范围，是常用的求范围(最值)方法，要求在
平时学习中练好这一基本功.
解：(1)易知a=2,b=1,c=3，所以F1(-3,0),F2(3,0)，设P(x,y)，则㏄F1?㏄F2=(-3-x,-y),(3-x,-y)=x2+y2-3=x2+1-x24-3=14(3x2-8)，因为x∈［-2，2］，故当x=0，即P为椭圆短轴端点时，┆㏄F1?㏄F2擢有最小 值-2；当x=±2，即点P为椭圆长轴端点时，㏄F1?㏄F2哂凶畲笾1.
(2)显然直线x=0不满足条件，可设直线l:y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2),联立y=kx+2,
x24+y2=1得(k2+14)x2+4kx+3=0,∴x1+x2=-4kk2+14,x1?x2=3k2+14,由△=(4k)2-4(k+14)×3=4k2-3>0得k<32或k>-32.又0°<∠AOB<90°讵玞os∠AOB>0讵㎡A?㎡B>0,∴㎡A?㎡B=x1x2+y1y2>0.又y1y2=(kx1+2)(kx2+2)=k2x1x2+2k?(x1+x2)+4=3k2k2+14+-8k2k2+14=-k2+1k2+14,=∵3k2+14+-k2+1k2+14>0,即k2<4,∴-2
圆锥曲线是高中数学的重要内容，也是高考重点考查的知识点，其中与斜率有关的综合问题是高考题中的“亮点”，倍受命题者青睐.它涉及知识多、方法灵活、综合性强，能有效地考查学生的推理运算能力、理性思维能力.
1.斜率为定值的证明题
例1 如图，曲线G的方程为y2=2x(y≥0)，以原点为圆心，以t(t>0)为半径的圆分别与曲线G和y轴的正半轴相交于点A与点B，直线AB与x轴相交于点C.
(1)求点A的横坐标a与点C的横坐标c的关系式；
(2)设曲线G上点D的横坐标为a+2，求证：直线CD的斜率为定值.
分析：对于(1)只要直接求解即可，对于(2)需要通过(1)求得用a表示的点C的坐标.直接表示出直线CD的斜率，通过运算即可证明此斜率为定值.
解：(1)由题意知，A(a,2a)，因为|OA|=t,所以a2+2a=t2,又t>0,故t=a2+2a(1)，由点B(0，t),C(c,0)的坐标知直线BC的方程为xc+yt=1.又因A在直线BC上，故有ac+2at=1，将(1)代入上式得ac+2aa(a+2)=1,∴c=a+2+2(a+2).
(2)因为D(a+2,2(a+2))，所以直线CD的斜率为k〤D=2(a+2)a+2-c=
2(a+2)a+2-(a+2+2(a+2))=2(a+2)-2(a+2)=-1(定值).
注：本题综合考查运算能力、思维能力及综合分析问题、解决问题的能力.
2.斜率存在的探索题
例2 平面直角坐标系xOy中，过点(0,2)且斜率为k的直线l与椭圆x22+y2=1有两个不同的交点P和Q.
(1)求k的取值范围；
(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于A，B，是否存在常数k，使得向量㎡P+㎡Q哂氇〢B吖蚕?如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由.
分析：联立直线与圆锥曲线方程，将曲线交点转化为方程的解，利用韦达定理，设而不求，整体思维，整体代换，避繁就简，是解决圆锥曲线问题的通性、通法.
解：(1)由已知得直线l的方程为y=kx+2，代入椭圆方程得x22+(kx+2)2=1，即12+k2x2+22kx+1=0①，则△=8k2-4?12+k2=4k2-2>0,解得k<-22或k>22，即k的范围为-∞,-22∪22,+∞.
(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2)，则㎡P+㎡Q=(x1+x2,y1+y2),由方程①，知x1+x2=-42k1+2k2,②，又y1+y2=k(x1+x2)+22,③，而A(2，0)，B(0，1)，〢B=(-2,1)，所以㎡P+㎡Q哂氇〢B吖蚕叩燃塾趚1+x2=-2(y1+y2)，将②③代入上式，解得k=22.由(1)知k<-22或k>22，故没有符合题意的常数k.
3.分类讨论斜率的研究题
例3 我们把由半椭圆x2a2+y2b2=1(x≥0)与半椭圆y2b2+x2c2=1(x≤0)合成的曲线称作为“果圆”，其中a2=b2+c2,a>0,b>c>0，如图，点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点，A1，A2和B1，B2分别是“果圆”与x,y轴的交点.
(1)若△F0F1F2是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程；
(2)当|A1A2|>|B1B2|时，求ba的取值范围；
(3)连接“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”的弦.试研究：是否存在实数k，使斜率为k的“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上?若存在，求出所有可能的k值；若不存在，说明理由.
解：(1)∵F0(c,0),F1(0,-b2-c2),
F2(0，b+2-c+2),∴|F0F2|=(b2-c2)+c2=b=1,|F1F2|=2b2-c2=1,于是c2=34,a2=b2+c2=74，所求“果圆”方程为47x2+y2=1(x≥0)，y2+43x2=1(x≤0).
(2)由题意，得a+c>2b，即a2-b2>2b-a,∵(2b)2>b2+c2=a2,∴a2-b2>(2b-a)2,得ba<45,又b2>c2=a2-b2,∴b2a2>12,∴ba∈(22,45).
(3)设“果圆”方程为x2a2+y2b2=1(x≥0)，y2b2+x2c2=1(x≤0)，记平行弦的斜率为k，当k=0时，直线y=t(-b≤t≤b)与半椭圆x2a2+y2b2=1(x≥0)的交点是P(a1-t2b2,t)，与半椭圆y2b2+x2c2=1(x≤0)的交点是Q(-c?1-t2b2,t).
∴P，Q的中点M(x,y)满足x=a-c2?1-t2b2,
y=t,得x2(a-c2)2+y2b2=1.∵a<2b,∴(a-c2)2-b+2=a-c-2b2?a-c+2b2 ≠0.综上所述，当k=0时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上.
当k>0时，以k为斜率过B1的直线l与半椭圆x2a2+y2b2=1(x≥0)的交点是(2ka2bk2a2+b2,k2a2b-b3k2a2+b2).由此，在直线l右侧，以k为斜率的平行弦的中点轨迹在直线y=-b2ka2x上，即不在某一椭圆上.
当k<0时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上.
4.斜率范围(最值)的综合题
例4 设F1、F2分别是椭圆x24+y2=1的左、右焦点.
(1)若P是该椭圆上的一个动点，求㏄F1?㏄F2叩淖畲笾岛妥钚≈担
(2)设过定点M(0，2)的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角(其中O为坐标原点)，求直线l的斜率k的取值范围.
分析：本题主要考查直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合应用数学知识解决问题及推理计算能力.解题中要求学生能够数形结合、灵活转化.利用判别式、基本不等式、函数方法产生不等式关系，从而求得相关参数的范围，是常用的求范围(最值)方法，要求在
平时学习中练好这一基本功.
解：(1)易知a=2,b=1,c=3，所以F1(-3,0),F2(3,0)，设P(x,y)，则㏄F1?㏄F2=(-3-x,-y),(3-x,-y)=x2+y2-3=x2+1-x24-3=14(3x2-8)，因为x∈［-2，2］，故当x=0，即P为椭圆短轴端点时，┆㏄F1?㏄F2擢有最小 值-2；当x=±2，即点P为椭圆长轴端点时，㏄F1?㏄F2哂凶畲笾1.
(2)显然直线x=0不满足条件，可设直线l:y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2),联立y=kx+2,
x24+y2=1得(k2+14)x2+4kx+3=0,∴x1+x2=-4kk2+14,x1?x2=3k2+14,由△=(4k)2-4(k+14)×3=4k2-3>0得k<32或k>-32.又0°<∠AOB<90°讵玞os∠AOB>0讵㎡A?㎡B>0,∴㎡A?㎡B=x1x2+y1y2>0.又y1y2=(kx1+2)(kx2+2)=k2x1x2+2k?(x1+x2)+4=3k2k2+14+-8k2k2+14=-k2+1k2+14,=∵3k2+14+-k2+1k2+14>0,即k2<4,∴-2
