情境引入过程探究，语言概述深化性质

    郝金良

    

    

    

    [摘? 要] “角平分线的性质”的教学过程对学生知识与能力的提升有极大的帮助，而在实际教学中，需要教师综合学情与知识难度，把握内容核心，精设教学环节. 文章对“角平分线的性质”展开教学探讨，提出相应的建议.

    [关键词] 角平分线;性质;情境;模型;探究;语言

    “角平分线的性质”是初中数学重要的教学内容，该内容是全等三角形知识的延续，可为后续的角相等、线段相等的证明提供全新的思路和方法. 本章节的内容教学，目的是使学生在明晰角平分线性质的基础上能灵活运用，发展学生的推理思维. 角平分线的性质内容具有极强的操作性，因此在实际教学中需要合理设置教学环节，全方位地提升学生的能力，下面展开教学探究.

    情境引入教学，问题自然生成

    学生在理解角平分线的性质时存在一定的难度，不过该内容与全等三角形的知识关联紧密，故在课堂过渡阶段适合采用“情境引入，问题生成”的教学方式，即结合生活情境，让学生联系旧知充分感知角平分线.

    教学中可以从两方面进行：一是利用生活中常见的实物，二是设置动手活动.

    案例1?展示生活中常见的风筝，如图1，利用风筝的特征来展示性质内容：已知AB=AD，BC=DC，让学生思考如下两个问题.

    （1）不采用度量的方式，是否可以确定∠DAC与∠BAC的大小关系？

    （2）AC为∠DAB的平分线，如何证明？能说明其中的道理吗？

    实际教学中，学生能猜想出∠DAC=∠BAC，而要确定AC为∠DAB的平分线，只需要引导学生结合三角形的全等知识来说明：根据条件，利用“SSS”可证明△ADC≌△ABC，再利用全等三角形的性质可得到∠DAC=∠BAC，从而完成新课的内容引入.

    案例2?在课堂中设计折纸活动，通过折纸让学生初步感知角平分线的性质. 课前准备如图2的A4纸，设纸的四个顶点分别为A，B，C，D，然后过顶点B任意折出一条直线BE，接着将△ABE剪下，让学生观察所剩的梯形BCDE，思考如何在不使用工具的情况下将∠EBC分为两个相等的角.

    教学引导环节中让学生通过翻折操作来确定BE与BC在对折重叠的情况下可以满足要求，同时结合三角形全等、翻折特性等知识使学生理解操作的原理所在.

    利用丰富具体的情境设计，学生可以深入理解角平分线的定义、感受角平分线所带来的几何特性，这能为后续的性质探究做铺垫. 另外，学生的积极性在情境教学中得到了充分调动，有利于课堂教学的顺利推进.

    活用数学模型，过程探究教学

    角平分线的性质内容，逻辑性极强，教学中需要引导学生明晰性质定理的条件與结论. 同时，考虑到学生的认知过程是课堂教学成功的关键，故教学中建议采用过程探究的方式，利用相应的数学模型，设计探究活动，引导学生进行严密推理，概括性质定理.

    从实际问题中抽象数学模型、探究模型得出性质定理的方式更为合理，学生经历探究过程后能深刻体会性质的内容. 实际教学时，可采用如下思路：将平分角仪器抽象为数学模型，利用几何知识解释仪器的工作原理，然后结合工作原理进行角平分线作图，通过测量来得出“角平分线上的点到角的两边距离相等”的性质定理，具体教学时可参考如下设计.

    1. 模型引导，实践启发

    活动1? 展示图3的平分角仪器，按图设定点位置. 已知AB=AD，BC=DC，沿AC绘制一条射线AE.

    设问：此时AE就是∠DAB的平分线，请说明原因.

    教学引导：教学中启发学生将实际问题抽象为相应的数学模型，然后利用全等三角形的性质阐释平分角仪器的工作原理，能使学生深刻体会角平分线知识的应用.

    活动2?通过作角的平分线来启发学生：参考平分角仪器绘制平分线，让学生练习利用直尺和圆规作∠AOB的平分线，并详细说明作图过程.

    实际教学时可进行如下设问引导：

    （1）利用平分角仪器绘制平分线时，要将仪器的顶点与角的顶点重合，仪器的侧边与角的两边重合，且确保仪器的两边相等（AB=AD）. 具体作图时如何体现该过程呢？

    （2）在使用平分角仪器的过程中，要确保BC=DC，具体作图时如何体现该过程呢？

    （3）按照图4方式绘制，则射线OC就是∠AOB的平分线，你能说明这样作图的理由吗？

    2. 测量探究，性质证明

    学生利用尺规可以作出具体角的平分线，对于其性质的得出可以采用测量探究的方式，即测量相应的线段长，于是自然可以证明.

    操作活动：在图纸上作∠AOB，然后作出∠AOB的平分线OC，并在OC上取一点P，取点P的三个不同的位置，接着过点P分别作AO和BO的垂线，设垂足分别为D，E，如图5. 分别测量PD和PE的长，将三次测量所得的数据填入表1.

    设问：（1）对比PD和PE的大小关系，可以得出什么结论？

    （2）结合上述测量数据，可以猜想出角平分线的什么性质？

    教学引导：教学中需要引导学生关注两点，一是线段长的大小关系（相等），二是线段在角平分线上的属性（到角两边的距离）. 同时明晰性质中的条件与结论，用几何推理的方式得出角平分线的性质.

    上述探究活动设计充分结合了模型抽象和实际测量，学生经历了性质发现、推理证明的过程，可以深刻体会几何问题证明的基本思路，能进一步培养学生思维的逻辑性和严密性.

    语言命题概括，深入理解性质

    利用语言概括角平分线的性质是教学的核心，有利于学生深刻理解定理. 对于角平分线性质的命题教学，需要引导学生掌握文字概述和几何表述两种方式，教学难点主要有两点：一是学生难以区别命题的条件与结论;二是难以灵活进行文字语言和几何语言之间的转化.

    在角平分线的性质定理中，“条件”“结论”的隐蔽性较强，教学中需要引导学生将其拆分，明晰“角平分线上有一点”为“条件”，“该点到角两边的距离相等”为“结论”. 另外，语言转化的过程中要引导学生结合性质命题来构建几何模型，利用几何语言来描述几何关系，让学生经历由“已知”推理“结論”的过程. 具体教学时可参考如下设计.

    活动1? 结合角平分线的性质内容进行条件与结论的拆分与提取，思考如何用“如果……，那么……”将命题“角平分线上的点到角两边的距离相等”分为两段.

    教学引导：首先引导学生对性质命题进行转化——“一点位于一个角的平分线上，该点到角两边的距离相等”，然后引导学生明确“一点位于一个角的平分线上”为命题的条件，也是结论成立的前提，“该点到角两边的距离相等”为命题的结论.

    活动2? 结合性质命题进行数学语言转化，关注活动1所提炼的条件与结论，思考其中所隐含的几何特性，并用几何语言进行描述.

    教学引导：首先引导学生提取条件中的几何特征，然后结合相应的几何图像来对其加以表述，最后得出相应的几何结论.

    条件：一点位于一个角的平分线上→OC为∠AOB的平分线，点P是OC上任意一点.

    结论：点到角两边的距离相等→过点P作PD⊥OA，垂足为D，PE⊥OB，垂足为E，则PD=PE.

    利用上述几何信息可以绘制如图6的几何图形. 该图形直观地呈现了∠AOB的平分线、点P位于平分线OC上的位置特性，以及点P到角两边的距离. 根据几何图形可以深刻理解性质定理所表达的内容，同时可以进一步开展性质定理的证明. 进行定理证明教学时，同样可结合全等三角形知识，从数学语言角度进行探究，具体如下.

    已知：如图6，在∠AOB中，∠AOC=∠BOC（呈现了OC平分∠AOB的情形），点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.

    求证：PD=PE（角平分线上的点到角两边的距离相等）.

    证明：因为PD⊥OA，PE⊥OB，所以∠PDO=∠PEO=90°. 在Rt△PDO和Rt△PEO中，因为∠PDO=∠PEO，∠DOP=∠EOP，PO=PO， 所以△PDO≌△PEO. 所以PD=PE（全等三角形的对应边相等）.

    完成定理的语言表述和几何证明之后，有必要进一步引导学生对性质定理进行语言对照，从文字语言和几何语言的对比上来理解定理.

    文字语言：角平分线上的点到角两边的距离相等.

    几何语言：已知∠AOC=∠BOC，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，则PD=PE.

    总之，角平分线的性质定理是数学几何的核心内容，在实际教学中需要充分把握学情，从知识与能力两方面展开教学设计. 教学时，可联系旧知情境引入，完成问题的自然引出;抽象数学模型，开展过程探究，引导学生认识性质定理;设计活动语言转化证明，让学生在深刻理解定理的同时提升语言概括能力. 以知识传达、方法指导、情感提升为目标的课堂教学是对当下素质教学的贯彻落实，对学生的长远发展有极大的帮助，值得倡导、借鉴.