圆锥曲线一个有趣的三圆性质
林新建
福建省漳州一中 (363000)
性质1 如图1，抛物线E：y2=2px(p>0)的焦点为F，过焦点F作两条互相垂直的弦AB、CD，设弦AB、CD的中点分别为M、N，则线段MN恒过定点T(3p2，0)，且以AB、CD为直径的两圆公共弦中点的轨迹是以OT为直径的圆.
证明：设AB的方程为：
x=ty+p2，代入y2=2px并整理得y2-2pty-p2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则有y1+y2=2pt,y1y2=-p2,x1+x2=t(y1+y2)+p=2pt2+p,x1x2=(ty1+p2)?(ty2+p2)=p24.所以M(pt2+p2,pt).将t换成-1t得N(pt2+p2,-pt).由两点式得直线MN的方程为x-(t-1t)y=3p2.当y=0时，x=3p2，所以直线MN恒过定点(3p2,0).
以AB为直径的圆M的方程为x2+y2-p(2t2+1)x-2pty-34p2=0 (1)，将t换成-1t得以CD为直径的圆N的方程为x2+y2-p(2t2+1)x+2pty-34p2=0 (2)
(1)-(2)得两圆公共弦直线方程为
(t-1t)x+y=0 (3) 又直线MN的方程为x-(t-1t)y=3p2 (4)
联立(3)(4)，消去t得两圆公共弦中点的轨迹方程为x2+y2-3p2x=0(y≠0)，其轨迹是以OT为直径的圆.
性质2 如图2，椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b
>0)的焦点为F(c,0)(或F(-c,0)),过焦点F作两条互相垂直的弦AB、CD，设弦AB、CD的中点分别为M、N，则线段MN恒过定点T(a2ca2+b2,0)(或(-a2ca2+b2,0))，且以AB、CD为直径的两圆公共弦中点的轨迹是以T为一个直径端点的圆.
证明：设AB的方程为x=ty+c，代入x2a2+y2b2=1并整理得(b2t2+a2)y2+2b2cty-b4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则有y1+y2=-2b2ctb2t2+a2,y1y2=-b4b2t2+a2,x1+x2=t(y1+y2)+2c=2a2cb2t2+a2,x1x2=a2c2-a2b2t2b2t2+a2.所以M(a2cb2t2+a2,-b2ctb2t2+a2).将t换成-1t得N(a2ct2b2+a2t2,b2ctb2+a2t2).由两点式得直线MN的方程为x-a2a2+b2(t-1t)y=a2ca2+b2.当y=0时，x=a2ca2+b2，所以直线MN恒过定点(a2ca2+b2,0).以AB为直径的圆M的方程为x2+y2-2a2cb2t2+a2x+2b2ctb2t2+a2y+a2c2-b4-a2b2t2b2t2+a2=0 (1)
将t换成-1t得以CD为直径的圆N的方程为x2+y2-2a2ct2b2+a2t2x-2b2ctb2+a2t2y+a2c2t2-b4t2-a2b2b2+a2t2=0 (2 )
(1)-(2)得两圆公共弦直线方程为
2a2x+2(a2+b2)1t-1ty-(2a2+b2)c=0 (3) 又直线MN的方程为
x-a2a2+b2(t-1t)y=a2ca2+b2 (4)
联立(3)(4)，消去t得两圆公共弦中点的轨迹方程为(x-a2ca2+b2)［x-(2a2+b2)c2a2］+y2=0，其轨迹是以T为一个直径端点的圆.
性质3 如图3，双曲线E：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的焦点为F(c,0)(或F(-c,0))，过焦点F作两条互相垂直的弦AB、CD，设弦AB、CD的中点分别为M、N，则线段MN恒过定点T(a2ca2-b2,0)(或(-a2ca2-b2,0)),且以AB、CD为直径的两圆公共弦中点的轨迹是以T为一个直径端点的圆.
证明：设AB的方程为x=ty+c,代入x2a2-y2b2=1,并整理得(b2t2-a2)y2+2b2cty+b4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则有y1+y2=-2b2ctb2t2-a2,y1y2=b4b2t2-a2,x1+x2=t(y1+y2)+2c=-2a2cb2t2-a2,x1x2=-a2c2-a2b2t2b2t2-a2.所以M(-a2cb2t2-a2,-b2ctb2t2-a2).将t换成-1t得N(-a2ct2b2-a2t2,b2ctb2-a2t2).由两点式得直线MN的方程为x-a2a2-b2(t-1t)y=a2ca2-b2.当y=0时，x=a2ca2-b2,所以直线MN恒过定点(a2ca2-b2,0).以AB为直径的圆M的方程为x2+y2+2a2cb2t2-a2x+2b2ctb2t2-a2y+-a2c2+b4-a2b2t2b2t2-a2=0 (1)将t换成-1t得以CD为直径的圆N的方程为x2+y2+2a2ct2b2-a2t2x-2b2ctb2-a2t2y-a2c2t2-b4t2+a2b2b2-a2t2=0 (2)
(1)-(2)得两圆公共弦直线方程为2a2x+2(a2-b2)1t-1ty-(2a2-b2)c=0 (3)
又直线MN的方程为
x-a2a2-b2(t-1t)y=a2ca2-b2 (4)
联立(3)(4)，消t得两圆公共弦中点的轨迹方程为(x-a2ca2-b2)［x-(2a2-b2)c2a2］+y2=0，其轨迹是以T为一个直径端点的圆.
福建省漳州一中 (363000)
性质1 如图1，抛物线E：y2=2px(p>0)的焦点为F，过焦点F作两条互相垂直的弦AB、CD，设弦AB、CD的中点分别为M、N，则线段MN恒过定点T(3p2，0)，且以AB、CD为直径的两圆公共弦中点的轨迹是以OT为直径的圆.
证明：设AB的方程为：
x=ty+p2，代入y2=2px并整理得y2-2pty-p2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则有y1+y2=2pt,y1y2=-p2,x1+x2=t(y1+y2)+p=2pt2+p,x1x2=(ty1+p2)?(ty2+p2)=p24.所以M(pt2+p2,pt).将t换成-1t得N(pt2+p2,-pt).由两点式得直线MN的方程为x-(t-1t)y=3p2.当y=0时，x=3p2，所以直线MN恒过定点(3p2,0).
以AB为直径的圆M的方程为x2+y2-p(2t2+1)x-2pty-34p2=0 (1)，将t换成-1t得以CD为直径的圆N的方程为x2+y2-p(2t2+1)x+2pty-34p2=0 (2)
(1)-(2)得两圆公共弦直线方程为
(t-1t)x+y=0 (3) 又直线MN的方程为x-(t-1t)y=3p2 (4)
联立(3)(4)，消去t得两圆公共弦中点的轨迹方程为x2+y2-3p2x=0(y≠0)，其轨迹是以OT为直径的圆.
性质2 如图2，椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b
>0)的焦点为F(c,0)(或F(-c,0)),过焦点F作两条互相垂直的弦AB、CD，设弦AB、CD的中点分别为M、N，则线段MN恒过定点T(a2ca2+b2,0)(或(-a2ca2+b2,0))，且以AB、CD为直径的两圆公共弦中点的轨迹是以T为一个直径端点的圆.
证明：设AB的方程为x=ty+c，代入x2a2+y2b2=1并整理得(b2t2+a2)y2+2b2cty-b4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则有y1+y2=-2b2ctb2t2+a2,y1y2=-b4b2t2+a2,x1+x2=t(y1+y2)+2c=2a2cb2t2+a2,x1x2=a2c2-a2b2t2b2t2+a2.所以M(a2cb2t2+a2,-b2ctb2t2+a2).将t换成-1t得N(a2ct2b2+a2t2,b2ctb2+a2t2).由两点式得直线MN的方程为x-a2a2+b2(t-1t)y=a2ca2+b2.当y=0时，x=a2ca2+b2，所以直线MN恒过定点(a2ca2+b2,0).以AB为直径的圆M的方程为x2+y2-2a2cb2t2+a2x+2b2ctb2t2+a2y+a2c2-b4-a2b2t2b2t2+a2=0 (1)
将t换成-1t得以CD为直径的圆N的方程为x2+y2-2a2ct2b2+a2t2x-2b2ctb2+a2t2y+a2c2t2-b4t2-a2b2b2+a2t2=0 (2 )
(1)-(2)得两圆公共弦直线方程为
2a2x+2(a2+b2)1t-1ty-(2a2+b2)c=0 (3) 又直线MN的方程为
x-a2a2+b2(t-1t)y=a2ca2+b2 (4)
联立(3)(4)，消去t得两圆公共弦中点的轨迹方程为(x-a2ca2+b2)［x-(2a2+b2)c2a2］+y2=0，其轨迹是以T为一个直径端点的圆.
性质3 如图3，双曲线E：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的焦点为F(c,0)(或F(-c,0))，过焦点F作两条互相垂直的弦AB、CD，设弦AB、CD的中点分别为M、N，则线段MN恒过定点T(a2ca2-b2,0)(或(-a2ca2-b2,0)),且以AB、CD为直径的两圆公共弦中点的轨迹是以T为一个直径端点的圆.
证明：设AB的方程为x=ty+c,代入x2a2-y2b2=1,并整理得(b2t2-a2)y2+2b2cty+b4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则有y1+y2=-2b2ctb2t2-a2,y1y2=b4b2t2-a2,x1+x2=t(y1+y2)+2c=-2a2cb2t2-a2,x1x2=-a2c2-a2b2t2b2t2-a2.所以M(-a2cb2t2-a2,-b2ctb2t2-a2).将t换成-1t得N(-a2ct2b2-a2t2,b2ctb2-a2t2).由两点式得直线MN的方程为x-a2a2-b2(t-1t)y=a2ca2-b2.当y=0时，x=a2ca2-b2,所以直线MN恒过定点(a2ca2-b2,0).以AB为直径的圆M的方程为x2+y2+2a2cb2t2-a2x+2b2ctb2t2-a2y+-a2c2+b4-a2b2t2b2t2-a2=0 (1)将t换成-1t得以CD为直径的圆N的方程为x2+y2+2a2ct2b2-a2t2x-2b2ctb2-a2t2y-a2c2t2-b4t2+a2b2b2-a2t2=0 (2)
(1)-(2)得两圆公共弦直线方程为2a2x+2(a2-b2)1t-1ty-(2a2-b2)c=0 (3)
又直线MN的方程为
x-a2a2-b2(t-1t)y=a2ca2-b2 (4)
联立(3)(4)，消t得两圆公共弦中点的轨迹方程为(x-a2ca2-b2)［x-(2a2-b2)c2a2］+y2=0，其轨迹是以T为一个直径端点的圆.
