矩阵方法求一类数列的通项

袁晓静
安徽师范大学 (241000)
矩阵是高中新课程中刚刚引入的高等代数中的部分内容，主要的是以二阶矩阵为主，包括矩阵的运算、逆矩阵、特征值及特征向量等，作为矩阵的一个应用，本文介绍用矩阵方法来求一类数列的通项，下面以一道高考题为例来作出证明.
2007年辽宁卷第20题：
已知数列{a璶},{b璶}满足：a1=2,b1=1，且a璶=34a﹏-1+14b﹏-1+1,
b璶=14a﹏-1+34b﹏-1+1,(n≥2)，求{a璶},{b璶}的通项.
解：不妨设x0=1
1,A=34,14
14,34，则有a璶
b璶=Aa﹏-1
b﹏-1+x0=AAa﹏-2
b﹏-2+x0+x0=A2a﹏-2
b﹏-2+Ax0+x0=A2?Aa﹏-3
b﹏-3+x0+Ax0+x0=A3a﹏-3
b﹏-3+A2x0+Ax0+x0=……=A﹏-1猘1
b1+A﹏-2?x0+A﹏-3獂0+…+Ax0+x0=A﹏-1猘1
b1+(A﹏-2+A﹏-3+…+A+E)x0.
下面我们来求A琻.
λE-A=λ-34-14
-14λ-34，由|λE-A|=0,可得(λ-34)2-116=0，即λ=1或12.
当λ=1时，有E-A=14-14
-1414，则λ=1的一个特征向量为1
1.
当λ=12时，有12E-A=-14-14
-14-14，则λ=12的一个特征向量为1
-1.
于是有11
1-1-1狝11
1-1=1
12，从而11
1-1-1狝琻11
1-1=1
12琻，所以
A琻=11
1-11
12琻11
1-1-1
=11
1-11
12琻1212
12-12=
12+12﹏+112-12﹏+1
12-12﹏+112+12﹏+1.
特别地当n=0时，A0=E,于是A﹏-2+A﹏-3+…+A+E=A﹏-2+A﹏-3+…+A+A0=∑n-2k=012+12﹌+112-12﹌+1
12-12﹌+112+12﹌+1=
n+12-12﹏-1猲-32+12﹏-1
n-32+12﹏-1猲+12-12﹏-1.
所以a璶
b璶=12+12琻12-12琻
12-12琻12+12琻2
1+
n+12-12﹏-1猲-32+12﹏-1
n-32+12﹏-1猲+12-12﹏-11
1=
n+12琻+12
n-12琻+12.
即a璶=n+12琻+12,b璶=n-12琻+12(n≥2).
一般地，若a璶=λa﹏-1+φb﹏-1+m
b璶=ka﹏-1+tb﹏-1+w(n≥2)，其中λ,φ,k,t,m,w∈R且λt-kφ≠0，及初始条件a1,b1,我们都可以用矩阵的方法进行巧妙的求解.