几何条件代数化，思想方法助突破

2023.10.25

杨颖

[摘? 要] “几何特性+函数知识”的综合题是中考的压轴类型题之一，该类题常以函数为背景，融合几何特性来综合考查学生的知识与能力水平. 实际解题时，需要处理好代数与几何联系、问题情形多样、计算分析复杂等多方面的问题. 文章以一道函数综合题为例，开展思路突破、解题思考.

[关键词] 二次函数;平行四边形;动点;代数化;分类讨论

二次函数是初中数学的重要内容，中考对其考查的方向趋于综合. 而综合是多层面的，如知识层面涉及二次函数的基本性质、几何图形、三角函数、方程等，思想层面涉及化归与转化、数形结合、分类讨论、模型构建等. 下面对2019年连云港市中考数学二次函数压轴题展开探究.

考题呈现

考题？摇（2019年连云港市中考数学卷第26题）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L1：y=x2+bx+c經过点C（0，-3），与抛物线L2：y=-■x2-■x+2的一个交点为A，且点A的横坐标为2，P，Q分别是抛物线L1和抛物线L2上的动点.

（1）求抛物线L1对应的函数表达式;

（2）若以A，C，P，Q为顶点的四边形恰为平行四边形，求出点P的坐标;

（3）设点R为抛物线L1上另一个动点，且CA平分∠PCR，若OQ∥PR，求出点Q的坐标.

思路突破

上述二次函数综合题分为三小问，每一问独立存在又联系紧密，下面对其展开思路突破.

（1）待定系数法是求解抛物线解析式的常规方法，突破的关键是确定曲线上点的坐标，且未知系数的个数与所需点的坐标个数一致. 点A和点C均在抛物线L1上，其中点C的坐标已知，而点A为抛物线L1与L2的交点，因此点A的坐标可借助抛物线L2的解析式加以确定.

因为点A的横坐标为2，且点A在抛物线L2的图像上，所以对于y=-■x2-■x+2，令x=2，可求得y=-3. 所以点A的坐标为（2，-3）. 将A（2，-3）和C（0，-3）代入y=x2+bx+c，可得-3=22+2b+c，-3=c，解得b=-2，c=-3，所以抛物线L1的函数表达式为y=x2-2x-3.

深入分析：求解时若关注到点A和点C的纵坐标，则会发现yA=yC，于是根据抛物线的对称性可得-■=■，从而直接确定系数b=-2. 这一解法能简化计算，提高解题效率.

（2）该问以四点为顶点构建了平行四边形，要分析四边形为平行四边形时点P的坐标，可将其视为是与动点相结合的函数几何问题. 求解时，显然需要结合平行四边形的判定定理，并结合直角坐标系的特性来量化条件.

问题中点A和点C的坐标确定，但未确定A，C两点在平行四边形中的关系（两顶点是否相邻），显然需要分类讨论. 总体上来说有以下两种情形：①点A和点C为相邻关系，则AC为平行四边形的一条边;②点A和点C为相对关系，则AC为平行四边形的一条对角线. 具体构建时可结合以下两条判定定理：“一组对边平行且相等的四边形为平行四边形”“对角线互相平分的四边形为平行四边形”. 下面为具体的突破过程.

情形1：当AC为平行四边形的一条边时，PQ为平行四边形的一条边，则AC∥PQ且AC=PQ. 点P和点Q的位置关系还应细分为点Q位于点P左侧和点Q位于点P右侧两种，现由条件设点P的坐标为（x，x2-2x-3）.

①当点Q位于点P左侧时，根据AC=PQ=2，yQ=yP可推知点Q的坐标为（x-2，x2-2x-3）. 又点Q在抛物线L2上，故x2-2x-3=-■（x-2）2-■（x-2）+2，解得x1=3，x2=-■，均满足条件. 所以此时满足条件的点P的坐标为（3，0），-■，■.

②当点Q位于点P右侧时，根据AC=PQ=2，yQ=yP可推知点Q的坐标为（x+2，x2-2x-3）. 又点Q在抛物线L2上，故x2-2x-3=-■（x+2）2-■（x+2）+2，解得x1=0，x2=-1，而当x=0时，点P与点C重合，不符合题意，舍去. 所以此时满足条件的点P的坐标为（-1，0）.

情形2：当AC为平行四边形的一条对角线时，PQ为平行四边形的另一条对角线. 由判定定理可知，只需要确保AC与PQ互相平分即可. 于是只要确保线段AC和线段PQ的中点为同一点即可. 由点A和点C的坐标可知其中点为（1，-3），故线段PQ的中点为（1，-3）. 由条件设点P的坐标为（x，x2-2x-3），则点Q的坐标为（2-x，-x2+2x-3）. 因为点Q在抛物线L2上，故-x2+2x-3=-■（2-x）2-■（2-x）+2，解得x1=0（舍去），x2=-3. 所以此时满足条件的点P的坐标为（-3，12）.

综上可知，以A，C，P，Q为顶点的四边形恰为平行四边形时，点P的坐标为（3，0），-■，■，（-1，0）或（-3，12）.

深入分析：利用方程来求满足条件的点的坐标，其背后隐含的是几何与函数之间的关联. 点的坐标运算可反映几何特性. 另外，上述问题中的直线AC与x轴平行，故当线段AC为平行四边形的一条边时，可以直接由点P的坐标推导出点Q的坐标;若直线AC为一般的直线，则可以引入斜率，利用“平行线的斜率相等”来推导点Q的纵坐标.

（3）该问分析CA平分∠PCR、OQ∥PR时点Q的坐标，其中融合了几何角平分线和两线平行，需要结合相应的性质来构建方程. 具体求解时可采用数形结合的方法降低思维难度. 对于点P的位置，需要讨论其位于y轴左侧和y轴右侧两种情形. 显然，当点P位于y轴左侧时，抛物线L1上不存在点R使得CA平分∠PCR，故只需要讨论点P位于y轴右侧的情形. 突破思路为，结合条件“CA平分∠PCR”建立点R与点P的坐标关联，然后结合条件“OQ∥PR”构建点P与点Q的坐标关联，从而建立完整的坐标联系，通过解方程来求解.

当点P位于y轴右侧时，设点P位于直线CA上方，则点R位于直线CA下方. 如图2，分别过点P和点R作y轴的垂线，垂足分别为S和T，然后过点P作TR的垂线，垂足为H. 显然∠PSC=∠RTC=90°，又CA为∠PCR的平分线，所以∠PCS=∠RCT. 所以△PSC∽△RTC. 所以■=■. 由条件设点P的坐标为（x1，x■-2x1-3），点R的坐标为（x2，x■-2x2-3），则■=■，整理后得x1+x2=4. 过点Q作QK⊥x軸，垂足为K. 因为OQ∥PR，所以∠QOK=∠PRH. 所以tan∠QOK=tan∠PRH. 在Rt△PRH中，tan∠PRH=■=x1+x2-2=2. 由条件设点Q的坐标为m，-■m2-■m+2，则■=2，解得m=■. 均满足条件，所以此时满足条件的点Q的坐标为■，■-7或■ ，-■-7.

当点P位于直线CA下方时，点R位于直线CA上方. 同理可求出满足条件的点Q的坐标为■，■-7或■，-■-7.

综上可知，满足条件的点Q的坐标为■，■-7或■，-■-7.

深入分析：从问题来看，此小问属于动点问题，核心条件为两大几何条件——角平分线和两线平行，与涉及几何条件的函数坐标问题的转化思路是一致的，即结合几何特性来建立代数方程或建立关于问题的函数关系. 上述呈现的是几何条件向代数转化的典型代表，即角平分线→相似性质→代数比例式，平行线→对应角的三角函数值相等→代数式.

解后思考

1. 关注典型问题的突破思路

上述是一道与几何相关的二次函数考题，其中涉及平行四边形的判定、角平分线、两线平行等几何内容，属于中考的代表性问题. 剖析问题特点、总结突破思路是提升解题能力的关键. 对于该类问题，需要掌握问题的基本转化思路，一般利用几何条件中的代数内容，将问题转化为研究函数性质或破解代数方程，而完成代数求解分析后还需要结合图像来进一步确定所得解是否满足条件，即“由形转数，用形析数”，这是问题突破的总体思路，也是确保高效求解的有效途径.

2. 归纳几何特性向代数转化的技巧

几何特性向代数转化是上述考题突破的基本思路，因此在具体学习时需注意归纳两者的转化技巧. 例如上述利用相似性质构建代数比例式，利用等角的三角函数值相等来构建方程. 另外，常用的转化技巧还包括勾股定理、等面积方法等. 而在教学该内容时，需引导学生关注知识定理的隐含内容，把握知识间的关联点，以此为基础进行综合性问题的突破方法探讨. 另外，还可以将代数问题转化为几何问题，利用直观的图像及几何特性来简化代数问题.

3. 剖析问题突破的思想方法

上述考题的突破过程利用了数形结合、分类讨论、化归与转化及构建模型的思想方法，正是在众多思想方法的配合下达到了降低思维难度、简化解题思路的效果. 因此，开展考题探究时需要关注解题的思想方法，剖析思想方法解题的使用技巧，如利用数形结合思想解题时，综合使用以数助形、以形辅数、数形对照等技巧;利用分类讨论思想解题时，结合参数取值、几何位置等内容来设定讨论标准. 在思想方法教学中，教师应引导学生分步剖析突破过程，思考其中的数学思想及内涵，围绕数学思想开展思维拓展，提升学生的思维水平.