牛顿运动定律中图象问题的把握和应用
冯兰
利用图象考查牛顿运动定律主要分两类动力学问题：1、若已知v-t图象，则利用图象确定不同阶段的a、v、t.然后由牛顿定律求解相关问题；2、若已知F-t图象，则利用图象确定不同时段的受力，然后由牛顿定律求出加速度再由运动定律求解相关问题.下面我们分三个层次来分析、处理该类考题.
一、与牛顿运动定律相关的v-t图象问题
该类问题处理的关键是：1、会应用牛顿运动定律分析物理模型；2、理解加速度与速度的关系；3、v-t图象中某点斜率的意义——加速度，斜率为正说明速度与加速度同向，斜率为负说明速度与加速度反向，关注斜率有突变的点；某段时间内图线与t轴围成的面积——位移.
例1 以不同的初速度将两个物体同时竖直向上抛出并开始计时，一个物体所受空气阻力可以忽略，另一个物体所受空气阻力大小与物体的速率成正比，下列分别用虚线和实线描述两物体运动的v-t图象可能正确的是
（）
解析 本题考查v-t图象.当不计阻力上抛物体时，物体做匀减速直线运动，图象为一条倾斜直线，因加速度a=-g，故该倾斜直线的斜率的绝对值等于g.当上抛物体受空气阻力的大小与速率成正比时，对上升过程，由牛顿第二定律得-mg-kv=ma，可知物体做加速度逐渐减小的减速运动，通过图象的斜率比较，A错误，从公式推导可知上升过程中|a|>g，当v=0时，物体运动到最高点，此时a=-g，而B、C图象的斜率的绝对值均小于g，故BC错误，D正确.
点拨 有阻力上抛运动中的动力学问题，图象特殊点的斜率.
例2 如图l（a），一物块在t=0时刻滑上一固定斜面，其运动的v-t图线如图（b）所示.若重力加速度及图中的vo、v1、t1均为已知量，则可求出
（）
A.斜面的倾角
B.物块的质量
C.物块与斜面间的动摩擦因数
D.物块沿斜面向上滑行的最大高度
解析 设物块的质量为m、斜面的倾角为0，物块与斜面间的动摩擦因数为μ，物块沿斜面上滑和下滑时的加速度大小分别为a1和a2，根据牛顿第二定律有：mgsinθ+μmgcosθ=ma1，mgsinθ-μmgcosθ=ma2.再结合v-t图线斜率的物理意义有：a1-vo/t1，a2=v1/tl.由上述四式可见，无法求出m，可以求出θ、μ，故B错，A、C均正确.o～t1时间内的v-t图线与横轴包围的面积大小等于物块沿斜面上滑的最大距离，θ已求出，故可以求出物块上滑的最大高度，故D正确，本题答案：ACD.
点拨：1.能对斜面上物体受力分析，会用牛顿第二定律列出表达式；2.图线斜率大小等于加速度大小，图线与横轴包围的面积大小等于位移的大小.
二、与牛顿运动定律相关的F-t图象问题
该类问题处理的关键是：除了在第一点中提到的要求外，还要能熟练地将F-t图、a-t图、v-t图联系起来.
例3 一质量为m=40kg的小孩在电梯内的体重计上，电梯从t=0时刻由静止开始上升，在o到6s内体重计示数F的变化如图所示.试问：在这段时间内电梯上升的高度是多少？取重力加速度g=10m/S?.
解析 由图2可知，在O-2s内，体重计的示数大于mg，故电梯应做向上的加速运动.设在这段时间内体重计作用于小孩的力为Ⅳ.，电梯及小孩的加速度为a1，根据牛顿第二定律，得
Nl-mg=ma1
在这段时间内电梯上升的高度
在2-5s内，体重计的示数等于mg，故电梯应做匀速上升运动，速度为t1时刻的电梯的速度，即v1=a1t1，在这段时间内电梯上升的高度h2=v1t2
在5-6s内，体重计的示数小于mg，故电梯应做减速上升运动.设这段时间内体重计作用于小孩的力为N2，电梯及小孩的加速度为a2，由牛顿第二定律，得：
mg-f2=ma2
在这段时间内电梯上升的高度
电梯上升的总高度h=h1+h2+h3
代人数据解得h=9m
点拨：由F随时间的变化知道a随时间的变化进一步联系到速度随时间的变化.
解法二：这题可以根据F、a、v间的关系得到a-t图、v-t图（如图3所示），解题思路可以更清晰，解题过程也会更加简洁.
例4将力传感器A固定在光滑水平桌面上，测力端通过轻质水平细绳与滑块相连，滑块放在较长的小车上，如图4甲所示.传感器与计算机相连接，可获得力随时间变化的规律.一水平轻质细绳跨过光滑的定滑轮，一端连接小车，另一端系沙桶，整个装置开始处于静止状态.在滑块与小车分离前缓慢向沙桶里倒细沙，力传感器采集的F-t图象如图乙所示.则
（）
A.2.5s前小车做变加速运动
B.2.5s后小车做变加速运动
C.2.5s前小车所受摩擦力不变
D.2.5s后小车所受摩擦力不变
解析 对滑块进行受力分析，由图象求出传感器对滑块的拉力，由平衡条件求出滑块受到的摩擦力，然后由牛顿第三定律判断小车的受力情况；根据图象可知，2.5s前滑块所受摩擦力随沙桶和细沙重力的增加而增加，可见此过程小车静止不动，故A、C均错；2.5s之后传感器拉力不变，说明此时小车开始运动，传感器拉力大小等于滑动摩擦力大小，因此2.5s后小车所受摩擦力不变，由于沙桶质量不断增加，2.5s后小车做变加速运动，故B、D正确.
点拨：找到传感器测得的F与小车受力的关系，理解F-t图象中力变化的意义.
三、与牛顿运动定律相关的F-t、v-t、a-t、x-t等图象的综合应用
要解决好此类综合问题，需要具有将物理现象转化为图象问题的能力.在综合题中由图象语言、函数语言和文字语言，我们要能够在任意两种语言间转换，并将语言与物理情景结合，以确立准确的解题方向，顺利地解决问题.
例5 固定光滑细杆与地面成一定倾角，在杆上套有一个光滑小环，如图5所示，小环在沿杆方向的推力F作用下向上运动，推力F与小环速度v随时间变化规律如图6所示，取重力加速度g=10m/S?.求：
（1）小环的质量m；
（2）细杆与地面间的倾角a.
解析 由图得a=v/t=0.5m/S?
前2s有 F1-mg sina=ma
2s后有F2=mg sina
代人数据可解得m=1kg，a=30°
点拨：理解两张图之间对应的关系.
例6 物体A、B、C均静止在同一水平面上，它们的质量分别为mA、mB、mc，与水平面间的动摩擦因数分别为μA、μB、μC，用平行于水平面的拉力F分别拉物体A、B、C，所得加速度a与拉力F的关系如图7所示，4、B两直线平行，则以下关系正确的是（）
A.mA
D.μA<μB=μC
解析 根据牛顿第二定律有：
F-μmg=ma
所以有：a=F/m-μg
由此可知：图象斜率为质量的倒数，在纵轴上的截距大小为：μg
故由图象可知：μA<μB=μC，mA=mB
例7 如图8所示，足够长的粗糙斜面固定在地面上，某物块以初速度vo从底端沿斜面上滑至最高点后又回到底端.上述过程中，若用h、x、v和a分别表示物块距水平地面的高度、位移大小、速度大小和加速度大小，t表示运动时间.下来图象中可能正确的是
（）
解析 物理模型与实例2是一样的，但考查的图象知识、能力更全面.
A.上滑时做匀减速运动，故h-t图线斜率先大后小，且平均速度大，运动时间短；下滑时做匀加速运动，故h-t图线先小后大，且平均速度小，运动时间长；故A正确.
B.上滑时x-t图线斜率先大后小，下滑时x-t图线斜率先小后大，故B错误.
C.由于上滑时合外力为重力分力和摩擦力之和，加速度大小不变，沿斜面向下；下滑时合外力为重力分力和摩擦力之差，加速度大小不变，方向沿斜面向下；所以上滑时加速度大，所以v-t图线斜率大；下滑时加速度小，所以v-t图线斜率小，且此过程中，摩擦力做功，使物块到达底端的速率变小，故C正确.
D.因上滑过程中、下滑过程中的加速度大小均不变，且上滑时加速度大于下滑时的加速度，故加速度应该为两条水平短线，故D错误.
故选：AC.
点拨：牛顿第二定律的应用，能分析个各物理量间的联系及变化，各图象间的联系.
例8 如图9（a）所示，质量m=1kg的物体由静止开始沿倾角θ=37°的固定粗糙斜面向下运动，风对物体的作用力沿水平方向向右，其大小与风速v成正比，比例系数用k表示，物体加速度a与风速v的关系如图（b）所示（sin37°=0.6，cos37°=0.8，g取10m/S?）.求：
（1）物体与斜面间的动摩擦因数μ；
（2）比例系数k.
解析 （1）由题图知v=0时，ao=
上述解法在解决本题时用了特殊值法，现在假设无法直接知道这两组特殊值，只知道截距和斜率，能解题吗？可以.就这个物理模型，对小物块进行受力分析，应用牛顿第二定律列出表达式：
mgsinθ-kvcosθ-μ（mgcosθ+kvsinθ）=ma
代人数据得a与v的函数表达式：
a=6-8μ-（0.8+0.6μ）kv
由截距的值b=6-8μ，斜率的值
|K|=（0.8+0.6μ）k
不难求出μ和k.
点拨：解决好此类问题的关键是找到图象中物理量的函数表达式.
物理公式与物理图象的结合是中学物理的重要题型，也是近年高考的热点，特别是v-t图象在考题中出现频率极高，对于已知图象求解相关物理量的问题，往往是结合物理过程从分析图象的横、纵轴所对应的物理量的函数人手，分析图象的斜率、截距所代表的物理意义得出所求结果.解决这类问题的核心是分析图象，我们应特别关注v-t图中的斜率（加速度）和力的图线与运动的对应关系.
利用图象考查牛顿运动定律主要分两类动力学问题：1、若已知v-t图象，则利用图象确定不同阶段的a、v、t.然后由牛顿定律求解相关问题；2、若已知F-t图象，则利用图象确定不同时段的受力，然后由牛顿定律求出加速度再由运动定律求解相关问题.下面我们分三个层次来分析、处理该类考题.
一、与牛顿运动定律相关的v-t图象问题
该类问题处理的关键是：1、会应用牛顿运动定律分析物理模型；2、理解加速度与速度的关系；3、v-t图象中某点斜率的意义——加速度，斜率为正说明速度与加速度同向，斜率为负说明速度与加速度反向，关注斜率有突变的点；某段时间内图线与t轴围成的面积——位移.
例1 以不同的初速度将两个物体同时竖直向上抛出并开始计时，一个物体所受空气阻力可以忽略，另一个物体所受空气阻力大小与物体的速率成正比，下列分别用虚线和实线描述两物体运动的v-t图象可能正确的是
（）
解析 本题考查v-t图象.当不计阻力上抛物体时，物体做匀减速直线运动，图象为一条倾斜直线，因加速度a=-g，故该倾斜直线的斜率的绝对值等于g.当上抛物体受空气阻力的大小与速率成正比时，对上升过程，由牛顿第二定律得-mg-kv=ma，可知物体做加速度逐渐减小的减速运动，通过图象的斜率比较，A错误，从公式推导可知上升过程中|a|>g，当v=0时，物体运动到最高点，此时a=-g，而B、C图象的斜率的绝对值均小于g，故BC错误，D正确.
点拨 有阻力上抛运动中的动力学问题，图象特殊点的斜率.
例2 如图l（a），一物块在t=0时刻滑上一固定斜面，其运动的v-t图线如图（b）所示.若重力加速度及图中的vo、v1、t1均为已知量，则可求出
（）
A.斜面的倾角
B.物块的质量
C.物块与斜面间的动摩擦因数
D.物块沿斜面向上滑行的最大高度
解析 设物块的质量为m、斜面的倾角为0，物块与斜面间的动摩擦因数为μ，物块沿斜面上滑和下滑时的加速度大小分别为a1和a2，根据牛顿第二定律有：mgsinθ+μmgcosθ=ma1，mgsinθ-μmgcosθ=ma2.再结合v-t图线斜率的物理意义有：a1-vo/t1，a2=v1/tl.由上述四式可见，无法求出m，可以求出θ、μ，故B错，A、C均正确.o～t1时间内的v-t图线与横轴包围的面积大小等于物块沿斜面上滑的最大距离，θ已求出，故可以求出物块上滑的最大高度，故D正确，本题答案：ACD.
点拨：1.能对斜面上物体受力分析，会用牛顿第二定律列出表达式；2.图线斜率大小等于加速度大小，图线与横轴包围的面积大小等于位移的大小.
二、与牛顿运动定律相关的F-t图象问题
该类问题处理的关键是：除了在第一点中提到的要求外，还要能熟练地将F-t图、a-t图、v-t图联系起来.
例3 一质量为m=40kg的小孩在电梯内的体重计上，电梯从t=0时刻由静止开始上升，在o到6s内体重计示数F的变化如图所示.试问：在这段时间内电梯上升的高度是多少？取重力加速度g=10m/S?.
解析 由图2可知，在O-2s内，体重计的示数大于mg，故电梯应做向上的加速运动.设在这段时间内体重计作用于小孩的力为Ⅳ.，电梯及小孩的加速度为a1，根据牛顿第二定律，得
Nl-mg=ma1
在这段时间内电梯上升的高度
在2-5s内，体重计的示数等于mg，故电梯应做匀速上升运动，速度为t1时刻的电梯的速度，即v1=a1t1，在这段时间内电梯上升的高度h2=v1t2
在5-6s内，体重计的示数小于mg，故电梯应做减速上升运动.设这段时间内体重计作用于小孩的力为N2，电梯及小孩的加速度为a2，由牛顿第二定律，得：
mg-f2=ma2
在这段时间内电梯上升的高度
电梯上升的总高度h=h1+h2+h3
代人数据解得h=9m
点拨：由F随时间的变化知道a随时间的变化进一步联系到速度随时间的变化.
解法二：这题可以根据F、a、v间的关系得到a-t图、v-t图（如图3所示），解题思路可以更清晰，解题过程也会更加简洁.
例4将力传感器A固定在光滑水平桌面上，测力端通过轻质水平细绳与滑块相连，滑块放在较长的小车上，如图4甲所示.传感器与计算机相连接，可获得力随时间变化的规律.一水平轻质细绳跨过光滑的定滑轮，一端连接小车，另一端系沙桶，整个装置开始处于静止状态.在滑块与小车分离前缓慢向沙桶里倒细沙，力传感器采集的F-t图象如图乙所示.则
（）
A.2.5s前小车做变加速运动
B.2.5s后小车做变加速运动
C.2.5s前小车所受摩擦力不变
D.2.5s后小车所受摩擦力不变
解析 对滑块进行受力分析，由图象求出传感器对滑块的拉力，由平衡条件求出滑块受到的摩擦力，然后由牛顿第三定律判断小车的受力情况；根据图象可知，2.5s前滑块所受摩擦力随沙桶和细沙重力的增加而增加，可见此过程小车静止不动，故A、C均错；2.5s之后传感器拉力不变，说明此时小车开始运动，传感器拉力大小等于滑动摩擦力大小，因此2.5s后小车所受摩擦力不变，由于沙桶质量不断增加，2.5s后小车做变加速运动，故B、D正确.
点拨：找到传感器测得的F与小车受力的关系，理解F-t图象中力变化的意义.
三、与牛顿运动定律相关的F-t、v-t、a-t、x-t等图象的综合应用
要解决好此类综合问题，需要具有将物理现象转化为图象问题的能力.在综合题中由图象语言、函数语言和文字语言，我们要能够在任意两种语言间转换，并将语言与物理情景结合，以确立准确的解题方向，顺利地解决问题.
例5 固定光滑细杆与地面成一定倾角，在杆上套有一个光滑小环，如图5所示，小环在沿杆方向的推力F作用下向上运动，推力F与小环速度v随时间变化规律如图6所示，取重力加速度g=10m/S?.求：
（1）小环的质量m；
（2）细杆与地面间的倾角a.
解析 由图得a=v/t=0.5m/S?
前2s有 F1-mg sina=ma
2s后有F2=mg sina
代人数据可解得m=1kg，a=30°
点拨：理解两张图之间对应的关系.
例6 物体A、B、C均静止在同一水平面上，它们的质量分别为mA、mB、mc，与水平面间的动摩擦因数分别为μA、μB、μC，用平行于水平面的拉力F分别拉物体A、B、C，所得加速度a与拉力F的关系如图7所示，4、B两直线平行，则以下关系正确的是（）
A.mA
D.μA<μB=μC
解析 根据牛顿第二定律有：
F-μmg=ma
所以有：a=F/m-μg
由此可知：图象斜率为质量的倒数，在纵轴上的截距大小为：μg
故由图象可知：μA<μB=μC，mA=mB
例7 如图8所示，足够长的粗糙斜面固定在地面上，某物块以初速度vo从底端沿斜面上滑至最高点后又回到底端.上述过程中，若用h、x、v和a分别表示物块距水平地面的高度、位移大小、速度大小和加速度大小，t表示运动时间.下来图象中可能正确的是
（）
解析 物理模型与实例2是一样的，但考查的图象知识、能力更全面.
A.上滑时做匀减速运动，故h-t图线斜率先大后小，且平均速度大，运动时间短；下滑时做匀加速运动，故h-t图线先小后大，且平均速度小，运动时间长；故A正确.
B.上滑时x-t图线斜率先大后小，下滑时x-t图线斜率先小后大，故B错误.
C.由于上滑时合外力为重力分力和摩擦力之和，加速度大小不变，沿斜面向下；下滑时合外力为重力分力和摩擦力之差，加速度大小不变，方向沿斜面向下；所以上滑时加速度大，所以v-t图线斜率大；下滑时加速度小，所以v-t图线斜率小，且此过程中，摩擦力做功，使物块到达底端的速率变小，故C正确.
D.因上滑过程中、下滑过程中的加速度大小均不变，且上滑时加速度大于下滑时的加速度，故加速度应该为两条水平短线，故D错误.
故选：AC.
点拨：牛顿第二定律的应用，能分析个各物理量间的联系及变化，各图象间的联系.
例8 如图9（a）所示，质量m=1kg的物体由静止开始沿倾角θ=37°的固定粗糙斜面向下运动，风对物体的作用力沿水平方向向右，其大小与风速v成正比，比例系数用k表示，物体加速度a与风速v的关系如图（b）所示（sin37°=0.6，cos37°=0.8，g取10m/S?）.求：
（1）物体与斜面间的动摩擦因数μ；
（2）比例系数k.
解析 （1）由题图知v=0时，ao=
上述解法在解决本题时用了特殊值法，现在假设无法直接知道这两组特殊值，只知道截距和斜率，能解题吗？可以.就这个物理模型，对小物块进行受力分析，应用牛顿第二定律列出表达式：
mgsinθ-kvcosθ-μ（mgcosθ+kvsinθ）=ma
代人数据得a与v的函数表达式：
a=6-8μ-（0.8+0.6μ）kv
由截距的值b=6-8μ，斜率的值
|K|=（0.8+0.6μ）k
不难求出μ和k.
点拨：解决好此类问题的关键是找到图象中物理量的函数表达式.
物理公式与物理图象的结合是中学物理的重要题型，也是近年高考的热点，特别是v-t图象在考题中出现频率极高，对于已知图象求解相关物理量的问题，往往是结合物理过程从分析图象的横、纵轴所对应的物理量的函数人手，分析图象的斜率、截距所代表的物理意义得出所求结果.解决这类问题的核心是分析图象，我们应特别关注v-t图中的斜率（加速度）和力的图线与运动的对应关系.
