初中数学教学中学生元认知 驱动逻辑推理能力提升的研究

    姚进

    

    [摘? 要] 逻辑推理本质上是一个认知过程，认知规律是受人的元认知支配的，元认知就是逻辑推理能力养成的重要驱动力. 逻辑推理是数学学科核心素养的要素之一，元认知是认知心理学的基本概念，将两者结合起来，说明了初中数学教学要坚持一个基本观点，那就是包括逻辑推理能力培养在内的数学学科核心素养的落地，要置于心理學的视角之下，这样才能让教学过程更加符合科学规律.

    [关键词] 初中数学;元认知;逻辑推理;能力提升

    笔者一直高度重视初中数学教学中学生逻辑推理能力的培养，这是因为逻辑推理在初中数学教学中一直占有非常重要的位置，无论是“双基”时代的初中数学教学，课程改革中的初中数学教学，对逻辑推理都非常重视，而在核心素养的视角之下，数学学科核心素养更是将逻辑推理作为其中的一个重要元素. 笔者梳理了长期以来初中数学教学对逻辑推理的认识，发现更多时候学生逻辑推理能力的养成，只在于逻辑推理本身，对逻辑推理发生的条件似乎重视不够. 这一点引起了笔者的高度重视，于是开始梳理哪些因素对逻辑推理过程的影响比较明显. 在梳理的过程当中，笔者发现逻辑推理本质上是一个认知过程，而认知过程就一定是遵守认知规律的，认知规律是受人的元认知支配的，这样就可以发现逻辑推理能力的培养实际上与元认知高度相关. 某种程度上讲，元认知就是逻辑推理能力养成的重要驱动力. 本文试以浙教版“切线长定理”为例，谈谈笔者的一些浅见.

    逻辑推理能力的培养不能忽视元认知

    关于认知心理学的研究表明，逻辑推理与元认知都是人在信息加工过程中表现出来的重要的心理机制. 所谓元认知，简单地说，就是对认知的认知，其实质就是人们对认知活动的自我意识和自我调节. 教育实践和实验研究表明，元认知与思维品质存在因果关系，而所谓的数学元认知，指的是人们对数学认知活动的认识和控制. 逻辑推理的过程需不需要这样的认识与控制？这个问题的答案是显而易见的. 逻辑推理有两个关键词：一是逻辑，二是推理. 在人们的生活中，或者说在数学学习过程中，除了逻辑推理之外，还有合情推理等等，合情推理不需要理由，符合直觉与经验事实即可;逻辑推理则不行，逻辑推理强调逻辑性，环环相扣的逻辑推理，每一次推理的时候，“因为”与“所以”的关系都是成立的，也只有如此才能称之为合乎逻辑.

    比如在“切线长定理”的教学中，当学生用全等三角形的知识，一步步推理出“过圆外一点所作的圆的两条切线长相等”时，就要经过多次“因为”“所以”配合的推理，因而这个过程就是逻辑推理过程.

    那么在逻辑推理的过程中，中学生的元认知是如何发挥作用的呢？有经验的教师都知道，在初中数学证明题解决的过程中，学生经常会问一个问题：老师，你是怎么想到这么做的呢？回答这个问题，其实就需要元认知. 举一个简单的例子，要证明“过圆外一点所作的圆的两条切线长相等”，就必须认识到这实际上是要证明两条线段相等，而要证明两条线段相等最直接的方法就是三角形全等，因此就必须去构造两个三角形，那么在看到图1之后，构造出来的三角形必然如图2所示. 这里的每一步之所以进行得那么自然，其实就是元认知在发挥着作用，由此可见，元认知对于逻辑推理能力的培养来说是不可或缺的.

    元认知视角下学生逻辑推理能力的培养

    要培养学生的逻辑推理能力，首先要解决的一个问题是何为逻辑推理能力，专业的说法是数学中的逻辑推理能力是指正确地运用思维规律和形式对数学对象的属性或数学问题进行分析综合、推理证明的能力;其次要解决的一个问题就是元认知如何保证学生逻辑推理能力的培养. 这里仍然以上述切线长定理为例来进行分析.

    在上面提到一个说法，就是对于教师来说，切线长定理的证明思路是“自然而然”的，之所以觉得自然除了因为教师自身多次重复之外，还因为教师自身有着比较好的元认知. 在实际教学中，教师不妨拓宽学生的思路，让学生自由思考可以构造什么样的三角形并证明全等，这个时候学生很容易发现：一个现成的圆心摆在那儿，自然就是三角形的一个顶点. 在有些教师的眼里，这只是作一两条辅助线，但在笔者的眼里就是利用了学生的元认知. 因为在笔者看来，元认知的起点实际上就是学生的直觉，就是学生第一眼看到的那个条件.

    除此之外，元认知还体现在引导学生思维步步深入上，引导学生发现逻辑的存在，然后去进行推理，这就是逻辑推理的本质，这个逻辑推理本质的体现，也离不开元认知发挥的作用.

    在“切线长定理”的证明过程中，学生在作了辅助线之后，逻辑推理的第一步转换，就是将“PA=PB”转换成“Rt△AOP≌Rt△BOP”;第二步推理就是在自己掌握的全等三角形判定法则中，寻找合适的判定法则;第三步就是用准确的数学语言将推理过程书写出来.

    从难度的角度来看，这样的三步逻辑推理都不困难，也正是因为这三步逻辑推理都不困难，所以就有了一个引导学生反思自己原认知的机会. 这个时候将学生常常问的问题——“老师，你是怎么想到这么做的呢？”再反问给学生：“我们应该怎么想，才知道应该这么做呢？”譬如上面的第一步推理，很显然“要证明两条线段相等，可以考虑利用三角形的全等”这样的认识，是有效推理的关键，而这是一个经验性认识，常常是在学习反思的过程中形成的. 与此类似，第二步推理过程中，“PA=PB”要顺利转换成“Rt△AOP≌Rt△BOP”，关键在于“PA，PB要出现在相应的两个三角形当中”认识的形成，这也是一个经验性的认识，同样形成于学生的学习反思过程中.

    由此可见，学习反思实际上是提升了学生的元认知水平，反过来再以元认知驱动学生逻辑推理的过程. 在教学中，教师要努力让学生“自己想到怎么做”，只有学生自己知道在推理的过程中应当怎么做，才能说明学生的逻辑是清晰的，那才说明学生的逻辑推理能力形成过程是顺利的. 从上述分析来看，引导学生形成学习反思的意识，尤其是在问题解决之后，梳理问题解决的过程，重点思考“怎么思考才对”，那元认知就可以驱动学生的逻辑推理顺利进行.

    逻辑推理能力培养须置于心理视角下

    逻辑推理是数学学科核心素养的要素之一，元认知是认知心理学的基本概念，将两者结合起来，说明了初中数学教学要坚持一个基本观点，那就是包括逻辑推理能力培养在内的数学学科核心素养的落地，要置于心理学的视角之下，这样才能让教学过程更加符合科学规律.

    对于逻辑推理而言，教师一方面要认识到数学相较于其他学科有着烦琐严谨的特点，培养学生的逻辑思维能力对于提高他们的学习效率与数学素养来说，具有十分重要的意义;另一方面也要认识到只有遵循学生的学习规律，才能将学生的能力培养置于科学的轨道之上. 对于逻辑推理能力的培养而言，元认知可以说是一个“火车头”，而传统教学中教师忽视的恰恰就是这个火车头，因此学生在学习过程中往往是知其然不知其所以然. 大量的习题训练只可以让学生熟悉常规问题的解决，而要培养学生的元认知能力，并使其成为逻辑推理能力提升的驱动力，就必须在最基本的数学概念和规律的教学中，尤其是相对简单的概念与规律的教学中，让学生经历学习反思的过程，将推理过程变得简洁，这样学生的直觉就容易形成，直觉水平提升了，元认知能力也就上来了. 笔者所研究过的多个案例，都表明这样的教学策略，可以有效地让元认知成为逻辑推理能力培养的驱动力.

    很显然这是一种科学教学的思路，而教学的科学就是学生学习过程中表现出来的认知规律，就是用心理规律来阐述的. 所以说核心素养的培育并不纯粹是一个核心素养要素落地的问题，更是一个在教学中寻找能够为核心素养要素落地提供支撑的问题，只有解决了这些基础性的问题，才能让包括逻辑推理在内的数学学科核心素养要素真正落到实处.