一道２００７北方数学奥林匹克试题的推广
邹守文
2007第三届北方数学奥林匹克第8题为
设△ABC的内切圆半径为1，三边长BC=a,CA=b,AB=c.若a、b、c都是整数，求证：△ABC为直角三角形.
文［1］中刘康宁先生指出，该题曾刊登于《数学教学》2000年第1期“数学问题”栏.其实该题曾作为1988年四川省赛题［2］，笔者在文［2］中给出下面的问题：
求所有满足条件的三角形的三边长：(1)三角形的三边长为整数；(2)三角形的内切圆半径为2.
上述两题分别等价于：
△ABC的周长是面积的2倍和△ABC的周长等于面积.
下面给出此类问题的一般性结论有：
求满足下列条件的三角形的三边长：(1)三边长是整数；(2)周长是面积的整数倍.
解：设三角形的三边长为a,b,c，周长是面积的k(k为整数)倍，由海伦公式，知
a+b+c=k?a+b+c2?a+b-c2?b+c-a2?c+a-b2,则4?a+b+c2=k2?b+c-a2?c+a-b2?a+b-c2①
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
2007第三届北方数学奥林匹克第8题为
设△ABC的内切圆半径为1，三边长BC=a,CA=b,AB=c.若a、b、c都是整数，求证：△ABC为直角三角形.
文［1］中刘康宁先生指出，该题曾刊登于《数学教学》2000年第1期“数学问题”栏.其实该题曾作为1988年四川省赛题［2］，笔者在文［2］中给出下面的问题：
求所有满足条件的三角形的三边长：(1)三角形的三边长为整数；(2)三角形的内切圆半径为2.
上述两题分别等价于：
△ABC的周长是面积的2倍和△ABC的周长等于面积.
下面给出此类问题的一般性结论有：
求满足下列条件的三角形的三边长：(1)三边长是整数；(2)周长是面积的整数倍.
解：设三角形的三边长为a,b,c，周长是面积的k(k为整数)倍，由海伦公式，知
a+b+c=k?a+b+c2?a+b-c2?b+c-a2?c+a-b2,则4?a+b+c2=k2?b+c-a2?c+a-b2?a+b-c2①
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
