促进学生数学理解的教学规范性实践探究
季冬青
在数学教学活动中，我们常会发现这样的现象：教师总是一个劲的抱怨学生连课堂上做过的习题，在考试中仍然做不出来，真所谓：教师把知识“抛”得越快，学生忘得越快(马明).因此笔者认为衡量教学的标志就是要看学生在课堂上理解了多少，正如文［1］中指出的“教得好=一定学得好”，而规范性恰是衡量课堂教学的一个指标.美国课程专家Grant Wiggins & Jay Mctighe 在著作《Understanding by Design》围绕“课程的逆向设计”展开研究，为课堂规范性实践提供了诸多具有实践性的课题［2］.美国国家研究协会在为期两年的高中学生研修计划中提出了七个有效促进学生理解性学习的课堂规范性操作的基本原则.
而Fennema和Sowder、Carpenter在《Creating Classroom that Promote Understanding》的研究论文中有一方面就是要“建立相关的课堂规范性实践，这种规范包括两种：把理解作为学数学和做数学的主要特征；要学生详述问题解决和思维过程”.文［3］中指出学生对知识的理解除了要有一定的心理基础之外，还必须选择和调动起相称的认知图式，而只有规范性教学方能使得学生合理建构知识.在文［4］中，建构主义理论认为教师的一项重要的工作就是要从学生实际出发，规范我们的课堂教学行为，让学生通过其主动参与建构起新的认知结构.
所以，笔者认为，为了促进在课堂上学生对数学的理解，完全有必要让我们的教学具有规范性，本文就课堂规范性实践，主要谈下面三个方面的教学尝试.
1 教师合理搭建脚手架，促进学生对数学概念的理解
教师要以大多数学生“跳一跳，能拿到”的水平为教学起点，将教学目标按由易到难，由水平要求到能力要求，分解为若干层次逐步教学，合理搭建脚手架，降低学生的失败感，使他们既认识到问题的难度，又可以在动手解决问题的过程中，尝到成功的喜悦，树立学习的信心.
例如笔者在复习数列{an}的通项与函数之间的关系时，作了设计如下：
(1)若数列{an}的通项an=2n-1(n∈N*)，试在坐标系中作出其图像，并说明这个数列的单调性；
(2)若数列{an}的通项an=1n-72(n∈N+*)，问数列中有无最大项，最小项?
(3)设递增数列{an}的通项an=n2+λn(n∈N*)，求实数λ的取值范围；
(4)某工厂2007年生产利润逐月增加，且每月增加的利润相同，但由于厂方正在改造建设，1月份投入建设资金恰好与该月的利润相等，随着投入资金的逐月增加，且每月增加投入的百分率相同，到12月份投入建设资金又恰好与12月的生产利润相同，则该厂2007年全年总利润M与全年总投入N的大小关系如何?
2 教师注重培养学生探究问题的能力，通过解题教学促进对数学的理解
南京师范大学的喻平教授在其博士论文《数学问题解决认知模式及教学理论研究》中，提出了“CPFS结构理论”模型，重点探究了“数学解题迁移研究”，G·玻利亚和罗增儒教授在其各自的著作中通过详实的例子揭示了解题对于学生对数学知识的理解有巨大的推动作用，而文［7］中关于“变式教学”研究更是从一个时代的高度解释了华人在数学上取得优异成绩的原因所在.故此，笔者在高中数学课堂中，针对解题教学作为促进学生对数学的理解的有效途径之一，进行了以下两个方面的尝试.
2.1 主题训练
所谓“主题训练”就是围绕一个数学主题而进行的解题训练，比如以“等差数列前n项和Sn”这节习题课为例，笔者围绕这一主题展开教学.
题目 已知{an}为等差数列，Sn=m,Sm=n(m≠n,m,n∈N*)，求Sm+n.
结合所学知识，引导学生围绕Sn给出了五种常用的方法：
解法一：(方程思想)
m=na1+n(n-1)d2
n=ma1+m(m-1)d2解得a1,d代入Sm+n=(m+n)a1+(m+n)(m+n-1)d2可求.
解法二：(整体代换)在上述联立方程中，两式作差得出a1+m+n-12d=-1，再整体代入Sm+n可求.
解法三：(巧用通项)不妨设m>n,则Sm-Sn=an+1+an+2+…+am-1+am=n-m=(m-n)(an+1+am)2,则a1+am+n=an+1+am=2(n-m)m-n=-2,故Sm+n=(m+n)(a1+am+n)2=-(m+n).
解法四：(活用性质)Am2+Bm=n
An2+Bn=m
A(n+m)+B=-1Sm+n=(m+n)［A(m+n)+B］=-(m+n).
解法五：(数形结合)根据(n,Snn),(m,Smm)，(m+n,Sm+nm+n)三点共线求解.
通过这样的教学设计，可以让学生的知识由点到面有机整合，从而促进他们对前n项和Sn的理解.
2.2 变式教学
例如复习抛物线时，采用了六个变式，深化了学生对“顶点弦问题”的理解.
题目 设A、B是抛物线y2=2px(p>0)上的两点，且OA⊥OB，
(1)求A、B两点的横坐标之积和纵坐标之积；
(2)求证：直线AB经过一定点；
(2)求弦AB的中点轨迹方程；
(4)求△AOB面积的最小值.
变式1 如何求顶点O在直线AB上的射影D的轨迹方程.
变式2 如改为以OA，OB为直径作圆，求两圆异于原点的另一交点M的轨迹.
变式3 设AB是抛物线y2=2px(p>0)过焦点的弦，O是抛物线顶点，
(1)证明∠AOB是钝角；
(2)证明p∈R时，所有抛物线的∠AOB的最大值都相等.
变式4 设△AOB为抛物线y2=2px(p>0)的内接三角形(指其各顶点都在抛物
线上)，问直线AB在x轴上的截距在什么范围内变化时，顶角∠AOB为锐角?
变式5 设A、B是抛物线y2=2px(p>0)上两个动点(原点除外)，O为坐标原点，直线OA，OB对x轴的倾角分别为α，β，且满足α+β=135°，作OP⊥AB，求垂足P的轨迹方程.
变式6 已知两条抛物线y=a1x2(a1>0)与y=a2x2(a2>0)，经过原
点O引与这两条抛物线都相交的直线OA2A1，OB2B1，OC2C1，与这两条抛物线的交点分别为A1，A2，B1，B2，C1，C2.
(1)求证：△A1B1C1∽△A2B2C2；
(2)求上述两三角形面积之比.
3 教师要善于创造机会，让学生在错误辨析中加深对数学的理解
李善良先生在其博士论文《现代认知观下的数学概念学习与教学研究》中专门深入研究了“数学概念学习中的错误分析”，他指出，数学概念学习中常见错误有：过程性错误和“合理性”错误.文［8］中对学生大脑里的概念表征做了归纳，分析了学生数学学习中错误的认知心理学原因以及错误的类型，提出数学教师要积极看待学生的错误，探询学生理解概念时的视角和认知方式，通过学生与他人或教师的互动，以及学生对已有表征进行精致化加工和改造——从而达到正确建构概念的目的.所以，笔者认为，任何一个学生即使是一个学习数学有困难的学生，也可以在他的内部知识建构中看到一定的进步，应该给予鼓励和支持.故笔者创造机会，让学生大胆发言，通过对话，表述自己的思维过程，让他们在相互交流中认识错误，改正错误，从而加深对数学的理解.
题目：设函数y=f(x)的定义域为R，则函数y=f(x-1)与y=f(1-x)的图像关于().
A.直线y=0对称 B.直线x=0对称
C.直线y=1对称 D.直线x=1对称
以下是实际课堂教学情景：
首先，笔者问一个选B的学生甲，他说：我看x-1和1-x是相反数，那么就是自变量取相反数的时候，函数值相等，所以为偶函数，而偶函数图像关于y轴对称，y轴的方程就是x=0，因此选B.女同学乙的解释是：根据结论：若f(a+x)=f(b-x),x∈R恒成立，则y=f(x)的图像关于直线x=a+b2成轴对称图形，那么就是关于x=(x-1)+(1-x)2=0对称.
接着，笔者作启发：能否借助特殊的函数来考虑，有几个同学想到了二次函数，他们说：用f(x)=x2，则f(x-1)=(x-1)2,f(1-x)=(x-1)2，显然两者的图像重合，关于直线x=1对称，只有D正确.由此几个学生发现，乙女生的错误在于她用了结论，而本题不能套用这结论的!因为上述所用的结论的假设对象是对一个函数而言，而题中y=f(x-1)与y=f(1-x)显然不一定是同一函数，而如果改为：函数y=f(a+x)与y=f(b-x),x∈R的图像关于直线x=12(a-b)对称，则无疑就正确了.
课讲到这里，笔者见有两个女生一边在纸上画着什么，一边在小声嘀咕什么，于是就叫起其中一个女生，她脸涨得通红，小心翼翼地说：能否利用图像平移来做?于是笔者问她如何考虑，她说：因为函数y=f(x)与y=f(-x)的图像关于y轴对称，而y=f(x-1)就是把y=f(x)的图像向右移一个单位得到，而y=f(1-x)就是把y=f(-x)的图像向左平移一个单位得到的，所以函数y=f(x-1)与y=f(1-x)的图像还是关于y轴对称.笔者一看，此女生对函数图像平移中的“左加右减”的四字诀印象颇深，但是其中犯了一个错误，应该把y=f(1-x)表达式改写成y=f(1-x)=f［-(x-1)］，因为“左加右减”的四字诀是从移轴公式x′=x-hy′=y-k得出的，而变换公式中仅对x,y作用，其前面系数为1，所以单纯叫学生记住“左加右减”的四字诀是不够的，在练习中应强调函数表达式的改写问题.这时有个学生站起来说：用换元法也可以的，令t=x-1，则原来两函数解析式就可以表示为y=f(t)与y=f(-t)，那就是在新坐标系中关于t=0对称，即在原坐标系中关于直线x=1对称.最后，笔者表扬了他们大胆发言的勇气，随即引导学生完成本道题的证明，本节习题讲解课上，通过这样的分析过程，使得学生对有关函数图像的相关知识就有了深入的理解.
高中新课程标准［9］实施以来，教师的职业发展面临巨大的挑战，同时也蕴藏着更多的机遇，正如文［3］［10］所讲，我们教师只有不断地学习，更新原有的认知结构［11］，提高教学能力，采用行动研究的方法，规范我们的课堂这一教学主阵地，才能使我们的教育事业生机蓬勃.教师的任务，不仅仅是让学生从外部欣赏数学家们创造的成果，接受它们的逻辑与意义，而且要让学生进入数学，感受数学［12］，去理解数学知识产生和形成的内部动态过程，弄清楚其生长的动力、原因和方法，把握数学的精神与实质.另外学生虽然不是数学家，但是他们可以建构自己眼中的数学，所以数学课堂或许应该看作是动态的、开放的甚至允许学生“犯错”的数学活动的场所［3］，教师应该让学生根据自己的个性和体验来理解数学，规范自己的教学，力争让不同的学生发挥主体性，以期建构不同的数学，也许这样更能体现新课程的理念.
参考文献
［1］马复.设计合理的数学教学.高等教育出版社，2003，8.
［2］吕林海.数学理解性学习与教学研究.华东师范大学2005年博士论文.
［3］李士钅奇.PME：数学教育心理.华东师范大学出版社，2001，6.
［4］袁振国主编.当代教育学.教育科学出版社，2004年修订版.
［5］G·玻利亚.怎样解题.科学出版社，1984.
［6］罗增儒.数学解题学引论.陕西师范大学出版社，1997，6.
［7］范良火.华人如何学习数学(中文版).江苏教育出版社，2005，7.
［8］吕林海.错误分析与数学理解：基于心智表征的分析.全球教育展望.2004，11.
［9］教育部.普通高中数学课程标准(实验).人民教育出版社.，2003，4.
［10］王林全、刘美伦、张安庆主编.高中数学新课程实验与探索.高等教育出版社，2004，10.
［11］郑毓信、梁贯成.认知科学建构主义与数学教育.上海教育出版社，2002，12.
［12］唐瑞芬主编.数学教学理论选讲.华东师范大学出版社，2001，1.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
在数学教学活动中，我们常会发现这样的现象：教师总是一个劲的抱怨学生连课堂上做过的习题，在考试中仍然做不出来，真所谓：教师把知识“抛”得越快，学生忘得越快(马明).因此笔者认为衡量教学的标志就是要看学生在课堂上理解了多少，正如文［1］中指出的“教得好=一定学得好”，而规范性恰是衡量课堂教学的一个指标.美国课程专家Grant Wiggins & Jay Mctighe 在著作《Understanding by Design》围绕“课程的逆向设计”展开研究，为课堂规范性实践提供了诸多具有实践性的课题［2］.美国国家研究协会在为期两年的高中学生研修计划中提出了七个有效促进学生理解性学习的课堂规范性操作的基本原则.
而Fennema和Sowder、Carpenter在《Creating Classroom that Promote Understanding》的研究论文中有一方面就是要“建立相关的课堂规范性实践，这种规范包括两种：把理解作为学数学和做数学的主要特征；要学生详述问题解决和思维过程”.文［3］中指出学生对知识的理解除了要有一定的心理基础之外，还必须选择和调动起相称的认知图式，而只有规范性教学方能使得学生合理建构知识.在文［4］中，建构主义理论认为教师的一项重要的工作就是要从学生实际出发，规范我们的课堂教学行为，让学生通过其主动参与建构起新的认知结构.
所以，笔者认为，为了促进在课堂上学生对数学的理解，完全有必要让我们的教学具有规范性，本文就课堂规范性实践，主要谈下面三个方面的教学尝试.
1 教师合理搭建脚手架，促进学生对数学概念的理解
教师要以大多数学生“跳一跳，能拿到”的水平为教学起点，将教学目标按由易到难，由水平要求到能力要求，分解为若干层次逐步教学，合理搭建脚手架，降低学生的失败感，使他们既认识到问题的难度，又可以在动手解决问题的过程中，尝到成功的喜悦，树立学习的信心.
例如笔者在复习数列{an}的通项与函数之间的关系时，作了设计如下：
(1)若数列{an}的通项an=2n-1(n∈N*)，试在坐标系中作出其图像，并说明这个数列的单调性；
(2)若数列{an}的通项an=1n-72(n∈N+*)，问数列中有无最大项，最小项?
(3)设递增数列{an}的通项an=n2+λn(n∈N*)，求实数λ的取值范围；
(4)某工厂2007年生产利润逐月增加，且每月增加的利润相同，但由于厂方正在改造建设，1月份投入建设资金恰好与该月的利润相等，随着投入资金的逐月增加，且每月增加投入的百分率相同，到12月份投入建设资金又恰好与12月的生产利润相同，则该厂2007年全年总利润M与全年总投入N的大小关系如何?
2 教师注重培养学生探究问题的能力，通过解题教学促进对数学的理解
南京师范大学的喻平教授在其博士论文《数学问题解决认知模式及教学理论研究》中，提出了“CPFS结构理论”模型，重点探究了“数学解题迁移研究”，G·玻利亚和罗增儒教授在其各自的著作中通过详实的例子揭示了解题对于学生对数学知识的理解有巨大的推动作用，而文［7］中关于“变式教学”研究更是从一个时代的高度解释了华人在数学上取得优异成绩的原因所在.故此，笔者在高中数学课堂中，针对解题教学作为促进学生对数学的理解的有效途径之一，进行了以下两个方面的尝试.
2.1 主题训练
所谓“主题训练”就是围绕一个数学主题而进行的解题训练，比如以“等差数列前n项和Sn”这节习题课为例，笔者围绕这一主题展开教学.
题目 已知{an}为等差数列，Sn=m,Sm=n(m≠n,m,n∈N*)，求Sm+n.
结合所学知识，引导学生围绕Sn给出了五种常用的方法：
解法一：(方程思想)
m=na1+n(n-1)d2
n=ma1+m(m-1)d2解得a1,d代入Sm+n=(m+n)a1+(m+n)(m+n-1)d2可求.
解法二：(整体代换)在上述联立方程中，两式作差得出a1+m+n-12d=-1，再整体代入Sm+n可求.
解法三：(巧用通项)不妨设m>n,则Sm-Sn=an+1+an+2+…+am-1+am=n-m=(m-n)(an+1+am)2,则a1+am+n=an+1+am=2(n-m)m-n=-2,故Sm+n=(m+n)(a1+am+n)2=-(m+n).
解法四：(活用性质)Am2+Bm=n
An2+Bn=m
A(n+m)+B=-1Sm+n=(m+n)［A(m+n)+B］=-(m+n).
解法五：(数形结合)根据(n,Snn),(m,Smm)，(m+n,Sm+nm+n)三点共线求解.
通过这样的教学设计，可以让学生的知识由点到面有机整合，从而促进他们对前n项和Sn的理解.
2.2 变式教学
例如复习抛物线时，采用了六个变式，深化了学生对“顶点弦问题”的理解.
题目 设A、B是抛物线y2=2px(p>0)上的两点，且OA⊥OB，
(1)求A、B两点的横坐标之积和纵坐标之积；
(2)求证：直线AB经过一定点；
(2)求弦AB的中点轨迹方程；
(4)求△AOB面积的最小值.
变式1 如何求顶点O在直线AB上的射影D的轨迹方程.
变式2 如改为以OA，OB为直径作圆，求两圆异于原点的另一交点M的轨迹.
变式3 设AB是抛物线y2=2px(p>0)过焦点的弦，O是抛物线顶点，
(1)证明∠AOB是钝角；
(2)证明p∈R时，所有抛物线的∠AOB的最大值都相等.
变式4 设△AOB为抛物线y2=2px(p>0)的内接三角形(指其各顶点都在抛物
线上)，问直线AB在x轴上的截距在什么范围内变化时，顶角∠AOB为锐角?
变式5 设A、B是抛物线y2=2px(p>0)上两个动点(原点除外)，O为坐标原点，直线OA，OB对x轴的倾角分别为α，β，且满足α+β=135°，作OP⊥AB，求垂足P的轨迹方程.
变式6 已知两条抛物线y=a1x2(a1>0)与y=a2x2(a2>0)，经过原
点O引与这两条抛物线都相交的直线OA2A1，OB2B1，OC2C1，与这两条抛物线的交点分别为A1，A2，B1，B2，C1，C2.
(1)求证：△A1B1C1∽△A2B2C2；
(2)求上述两三角形面积之比.
3 教师要善于创造机会，让学生在错误辨析中加深对数学的理解
李善良先生在其博士论文《现代认知观下的数学概念学习与教学研究》中专门深入研究了“数学概念学习中的错误分析”，他指出，数学概念学习中常见错误有：过程性错误和“合理性”错误.文［8］中对学生大脑里的概念表征做了归纳，分析了学生数学学习中错误的认知心理学原因以及错误的类型，提出数学教师要积极看待学生的错误，探询学生理解概念时的视角和认知方式，通过学生与他人或教师的互动，以及学生对已有表征进行精致化加工和改造——从而达到正确建构概念的目的.所以，笔者认为，任何一个学生即使是一个学习数学有困难的学生，也可以在他的内部知识建构中看到一定的进步，应该给予鼓励和支持.故笔者创造机会，让学生大胆发言，通过对话，表述自己的思维过程，让他们在相互交流中认识错误，改正错误，从而加深对数学的理解.
题目：设函数y=f(x)的定义域为R，则函数y=f(x-1)与y=f(1-x)的图像关于().
A.直线y=0对称 B.直线x=0对称
C.直线y=1对称 D.直线x=1对称
以下是实际课堂教学情景：
首先，笔者问一个选B的学生甲，他说：我看x-1和1-x是相反数，那么就是自变量取相反数的时候，函数值相等，所以为偶函数，而偶函数图像关于y轴对称，y轴的方程就是x=0，因此选B.女同学乙的解释是：根据结论：若f(a+x)=f(b-x),x∈R恒成立，则y=f(x)的图像关于直线x=a+b2成轴对称图形，那么就是关于x=(x-1)+(1-x)2=0对称.
接着，笔者作启发：能否借助特殊的函数来考虑，有几个同学想到了二次函数，他们说：用f(x)=x2，则f(x-1)=(x-1)2,f(1-x)=(x-1)2，显然两者的图像重合，关于直线x=1对称，只有D正确.由此几个学生发现，乙女生的错误在于她用了结论，而本题不能套用这结论的!因为上述所用的结论的假设对象是对一个函数而言，而题中y=f(x-1)与y=f(1-x)显然不一定是同一函数，而如果改为：函数y=f(a+x)与y=f(b-x),x∈R的图像关于直线x=12(a-b)对称，则无疑就正确了.
课讲到这里，笔者见有两个女生一边在纸上画着什么，一边在小声嘀咕什么，于是就叫起其中一个女生，她脸涨得通红，小心翼翼地说：能否利用图像平移来做?于是笔者问她如何考虑，她说：因为函数y=f(x)与y=f(-x)的图像关于y轴对称，而y=f(x-1)就是把y=f(x)的图像向右移一个单位得到，而y=f(1-x)就是把y=f(-x)的图像向左平移一个单位得到的，所以函数y=f(x-1)与y=f(1-x)的图像还是关于y轴对称.笔者一看，此女生对函数图像平移中的“左加右减”的四字诀印象颇深，但是其中犯了一个错误，应该把y=f(1-x)表达式改写成y=f(1-x)=f［-(x-1)］，因为“左加右减”的四字诀是从移轴公式x′=x-hy′=y-k得出的，而变换公式中仅对x,y作用，其前面系数为1，所以单纯叫学生记住“左加右减”的四字诀是不够的，在练习中应强调函数表达式的改写问题.这时有个学生站起来说：用换元法也可以的，令t=x-1，则原来两函数解析式就可以表示为y=f(t)与y=f(-t)，那就是在新坐标系中关于t=0对称，即在原坐标系中关于直线x=1对称.最后，笔者表扬了他们大胆发言的勇气，随即引导学生完成本道题的证明，本节习题讲解课上，通过这样的分析过程，使得学生对有关函数图像的相关知识就有了深入的理解.
高中新课程标准［9］实施以来，教师的职业发展面临巨大的挑战，同时也蕴藏着更多的机遇，正如文［3］［10］所讲，我们教师只有不断地学习，更新原有的认知结构［11］，提高教学能力，采用行动研究的方法，规范我们的课堂这一教学主阵地，才能使我们的教育事业生机蓬勃.教师的任务，不仅仅是让学生从外部欣赏数学家们创造的成果，接受它们的逻辑与意义，而且要让学生进入数学，感受数学［12］，去理解数学知识产生和形成的内部动态过程，弄清楚其生长的动力、原因和方法，把握数学的精神与实质.另外学生虽然不是数学家，但是他们可以建构自己眼中的数学，所以数学课堂或许应该看作是动态的、开放的甚至允许学生“犯错”的数学活动的场所［3］，教师应该让学生根据自己的个性和体验来理解数学，规范自己的教学，力争让不同的学生发挥主体性，以期建构不同的数学，也许这样更能体现新课程的理念.
参考文献
［1］马复.设计合理的数学教学.高等教育出版社，2003，8.
［2］吕林海.数学理解性学习与教学研究.华东师范大学2005年博士论文.
［3］李士钅奇.PME：数学教育心理.华东师范大学出版社，2001，6.
［4］袁振国主编.当代教育学.教育科学出版社，2004年修订版.
［5］G·玻利亚.怎样解题.科学出版社，1984.
［6］罗增儒.数学解题学引论.陕西师范大学出版社，1997，6.
［7］范良火.华人如何学习数学(中文版).江苏教育出版社，2005，7.
［8］吕林海.错误分析与数学理解：基于心智表征的分析.全球教育展望.2004，11.
［9］教育部.普通高中数学课程标准(实验).人民教育出版社.，2003，4.
［10］王林全、刘美伦、张安庆主编.高中数学新课程实验与探索.高等教育出版社，2004，10.
［11］郑毓信、梁贯成.认知科学建构主义与数学教育.上海教育出版社，2002，12.
［12］唐瑞芬主编.数学教学理论选讲.华东师范大学出版社，2001，1.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
