数学直觉思维能力的培养
林明成
我国数学教育长期以来以逻辑性、严密性、系统性为首要原则，这对数学教育的影响是深刻的.但过份强调逻辑性，就难免产生一些消极因素.特别是直觉思维长期得不到重视，学生在学习过程中认为数学是枯燥乏味的，从而丧失学习的兴趣.因而过多地注重逻辑思维能力的培养，这就不利于思维能力的整体发展.令人欣喜的是《全日制中学数学教学大纲》(试验修订本)已将培养学生的三大能力之一的“逻辑思维能力”改为“思维能力”，虽然只是去掉了两个字，但却反映了我国数学教育者在实践中已经认识到在注重逻辑思维能力培养的同时，还应注重观察力、直觉力、想象力的培养.下面就直觉思维能力的培养，谈谈个人的认识和做法，以见教于同仁.
一、对数学直觉的认识
1.数学直觉的含义
庞加莱认为，直觉应该是逻辑的对立概念，数学直觉是人脑对于数学对象(结构及其关系)的某种直接的领悟和洞察，是一种“非同寻常的洞察力”.可见，数学直觉是指思维者对一个问题不受某种固定的逻辑规则约束，不是按部就班、步步为营地推理，而是对思维对象从整体上进行考察，调动自身的全部知识经验，跳过若干中间步骤或放过个别细节，依据数学对象内在的和谐与关系，直接洞察，敏锐而迅速地作出假设，猜想或判断，或者在对疑难问题百思不得其解之时，突然有了“灵感”和“顿悟”，甚至对未来事物的结果有“预感”等.
2.数学直觉的特点
从数学直觉的含义中我们可以看出，它在时间上表现为快速性(在一刹那间完成)，在过程上表现为跳跃性(跳过若干中间步骤或放过个别细节，是缺乏语言媒介的直接过程)，在形式上表现为简约 性(直觉意味着笼统式综合，与分析法相对立)，在本质上是一种归纳推理(直觉意味着不完全)，在结果上表现为可见性(产生某种直观形象)、不可靠性(没有证明的似真性，带有主观性的特点)、整体性(清楚地表现了事物的“本质”或“关键”，但某些细节可能是模糊的).
数学直觉是基于数学对象整体上的把握，不专注于细节的推敲，是思维的大手笔.正是由于思维的无意识性，它的想象才是丰富的，发散的，使人的认知结构向外扩展，因而还具有反常规的独创性.
如果教师把证明过程过分的严格化、程序化，用僵硬的逻辑外壳掩盖住直觉的光环，学生就只能把成功归功于逻辑，而丧失“可靠的直觉”，那将是我们教育的失败.迪瓦多内明确指出：“任何水平的数学教学的最终目的，无疑是使学生对他要处理的数学对象有一个可靠的‘直觉.”因此，教师应当着眼于通过一定的可操作方式，促进学生获得创造性直觉发生的可能性.
3.数学直觉是发明的源泉
从很多科学家的切身经验中可以看出，直觉是发明的源泉.伟大的数学家、物理学家和天文学家彭加勒说：“逻辑用于证明，直觉用于发明.”爱因斯坦说：“真正有价值的是直觉.”前苏联科学家德洛夫更明确地说：“没有任何一个创造性行为能离开直觉活动.”
从数学发展史上的一些重大发现中可以看出，直觉是发明的源泉.如欧几里德建立几何学，笛卡儿创立解析几何，牛顿发明微积分，彭加勒发明富克斯函数，高斯对一个算术定理的证明，无一不是直觉思维的杰作.可以说，数学的发展大都是借助于数学家的直觉去推进的.
4.数学直觉是必不可少的思维形式
庞加莱明确指出“没有直觉，年轻人在理解数学时便无从着手；他们不可能学会热爱它，他们从中看到的只是空洞的玩弄词藻的争论；尤其是，没有直觉，他们永远也不会有应用数学的能力.”事实上，数学推理中的每一步，直觉都是不可缺少的，数学中的发现创造很多都是直觉思维的结果.正如富克斯所说：“伟大的发现，都不是按逻辑的法则发现的，而都是由猜测得到的.换句话说，大都是凭创造性的直觉得到的.”在数学学习过程中，直觉思维常常会给学生带来意想不到的结论或是令自己吃惊的好的解题方法，让学生尝到“发现”的乐趣.
二、数学直觉能力的培养
“我以为获得直觉的过程，必须经历一个纯形式表面理解的时期，然后逐步将理解提高、深化”，迪瓦多内一语道破了直觉的产生过程.“直觉”不是靠“机遇”.直觉的获得虽然具有偶然性，但决不是无缘无故地凭空臆想.徐利治教授指出：“数学直觉是可以后天培养的，实际上每个人的数学直觉也是不断提高的.”其实，直觉思维并不神秘，现代脑科学研究表明它是由于自由联想或思维活动在有关某个问题的意识边缘持续活动，当大脑功能处于最佳状态时，旧神经联系突然沟通形成链接，是左脑的逻辑思维力量协同右脑的直觉式反应后形成的思维.因此，在课堂教学中，我们应该做更多的工作，去发挥右脑的天资，形成左右脑真正的协同沟通，发展学生的直觉思维，努力使他们达到“真懂”或“彻悟”的境界.
1.培养学生敏锐的观察力
数学解题过程的实质，从某种意义来说，就是从题设信息到结论之间的逻辑沟通过程，而题设和结论中的数、式、形、表等特征又为这种逻辑沟通的实现提供了暗示和导向.观察既包括信息的输入，又包括信息加工的初步过程，是有目的、有计划地考察和描述客观对象的方法.“跟着感觉走”是我们经常讲的一句话，这里的感觉就是观察产生的直觉判断.因此观察是数学解题产生直觉思维的起步器，是智力活动的源泉，是数学学习和创新必不可少的素质.在教学中，应该引导学生动笔之前先观察题设和结论中的数、式、形、表等特征，观察是否有隐含条件，观察问题的整体结构等等.
例1 求玸in280°+玸in255°-2玸in80°?玸in55°的值.
分析：在三角问题中一些“特殊数值”，诸如1、12、22、32、2、3、33等，常出现在公式、定理、运算式中.基于细致观察，我们产生这样直觉：本题中2是一个特殊数值，可能对解题有帮助.这个直觉也许不对，但至少提供了一个思路.
将原式变形为玸in280°+玸in255°-2×玸in80°?玸in55°?玞os45°，注意到数值特征：80°+55°+45°=180°，及式子结构特征，不难联想到余弦定理，至此我们已意识到直觉可靠.下面只是完成逻辑推演：
构造△ABC，使其外接圆直径2R=1,A=80°,B=55°,C=45°.
由正弦定理，得a=玸in80°,b=玸in55°,c=玸in45°,∴玸in280°+玸in255°-2×玸in80°?玸in55°?玞os45°=a2+b2-2×ab玞os45°=c2=玸in2C=12.
2.培养学生对数学美的鉴赏力
纵观古今，科学上的许多发现和创造，无论从宏观还是微观上看无不遵循美的创造规律.爱因斯坦看重宇宙的“统一与和谐”，法国数学家和天文学家拉普拉斯从牛顿力学中“感受到数学的完美性”，英国物理学家狄拉克从“数学形式的美”中发现了“物理世界的真”.
数学知识蕴含着丰富多彩的美的因素，数学概念的简单性、统一性，结构系统的协调性、对称性，数学命题和数学模型的概括性、典型性和普遍性，还有数学中的奇异性等都是美的具体内容.难怪数学大师阿达玛认为，数学直觉的本质是某种“美感”或“美的意识”.美感和美的意识是数学直觉的本质.
戴维斯与赫尔胥在《数学的经验》中指出：“数学中的审美判断是可以培养的，可以由上一代传递给下一代，由教师传递给学生，由作者传递给读者.”因此，在教学中要充分利用数学美，形成“事物间存在着和谐关系及秩序”的审美意识，调动学生直觉思维的积极性.
例2 已知点A为椭圆C1:x24+y23=1上任意一点，点B为椭圆C2：(x+3)23+(y-3)24=1上任意一点，求|AB|的最小值.
分析：本题常规思路是根据所给的条件建立二元目标函数求解，但计算复杂.
如图1，注意到C1与C2关于直线y=x+3对称，因此原问题可转化为求A到直线y=x+3的最近距离的2倍.
基于对称性的审美直觉，我们反常规地思考，渡过了难关，不难求得
|AB|┆玬in=32-14.
3.培养学生丰富的联想力
联想是指一种心理过程引起与之相联的另一种心理过程的现象.巴甫洛夫指出：思维就是联想，一切数学都是各种联想的形式.对某些数学问题，若能联想一些形式相同的、思考方法类似的、结构类似的熟悉问题或常规问题，通过迁移将会悟出解决问题的思路.常见的联想方法有：接近联想、相似联想、对比联想和关系联想.养成“一叶落而知天下秋”的联想习惯，对培养直觉思维大有益处.
例3 求证：若对于常数m和任意的x，等式f(x+m)=1+f(x)1-f(x)成立，则f(x)是周期函数.
分析：从式子的特点能很快凭直觉联想到玹an(x+π4)=1+玹an玿1-玹an玿，而玹an玿的周期为π，因而直觉判断：只需证明f(x+4m)=f(x)即可.
基于结构相似的关联直觉，我们快速地打通了思路.
4.培养数形结合的运用力
数与形是数学知识的两个基本范畴，数与形的完美结合是数学的最高境界.数学家华罗庚曾十分精辟地论述：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”从某种意义上可以说，直觉思维则相当于图像把握，而逻辑思维相当于符号把握.因此，对数学问题的直观理解是头等重要的事，引导学生通过深入的观察、联想，由形思数，由数想形，利用图形的直观诱发直觉.通过数形结合的有效使用频率形成人脑的优势链接，产生优势直觉，对数学学习和数学创造都是大有益处的.
例4 已知i为虚数单位，设A={z|z=2+2a+(2-2a)i,a∈R}，B={ω|ω=玸inθ-i玞osθ,θ∈R}，若z1∈A，z2∈B，求|z1-z2|的最小值.
分析：此题直接从代数角度难以下手，换一个角度，由数想形，利用图形的直观诱发直觉.
A表示直线l:x+y=4,∵ω=玸inθ-i玞osθ,∴|ω|=1,∴B表示以原点为圆心，1为半径的圆.
至此，原形毕露，不禁心头为之一喜，我们已经来到了成功的彼岸，因为|z1-z2|的最小值就是圆周上的点到直线l的最短距离.
如图2，作OH⊥直线l，垂足H，易得|z1-z2|┆玬in=22-1.
上面解题过程表明，数学解题中存在着数与形的双向沟通，存在着直觉选择与逻辑分析的相互推动.在教学中，我们的主要力量就在于直觉和严格性巧妙地结合在一起.
5.培养学生大胆的猜想力
猜想是由已知原理、事实，对未知现象及其规律所作出的一种假设性的命题.科学上的许多“发现”都是凭直觉作出猜想，而后才加以证明或验证的.从数学发展的宏观过程来看，猜想推动了数学的发展.“先猜测后证明”几乎是一条规律，不论是歌德巴赫还是费马，都是从有限的经验教材出发，通过思维作出了大胆的直觉
判断，提出了猜想.而这些著名的猜想又成为众多数学家的激励，成为他们论证的目标.于是在证明或否定这些猜想的过程中，数学得到了发展.
波利亚提出了“合情推理”的概念，明确指出：“在你证明一个数学定理之前，你必须猜想这个定理，在你搞清楚证明细节之前你必须猜想出证明的主导思想”，号召：“让我们教猜想吧!”，因此，教师在教学中要“教学生证明问题”，也要“教他们猜想问题”.要帮助学生学会合理的猜想方法，创设使学生积极猜想的氛围.让学生猜想问题的结论，猜想问题的反面，猜想解题的方向，猜想由特殊到一般的可能，猜想极端化的情形，猜想知识间的有机联系，甚至猜想定理的发现过程，猜想证明的获得过程.让学生把各种各样的想法都讲出来，推动其思维的主动性.还可以编制一些变换结论，缺少条件的“藏头露尾”的题目，引发学生猜想的愿望和猜想的积极性.当学生被直觉引入歧途时，教师应鼓励学生：这并不可怕，在明显失败的尝试之后，会突然闪出一个“好直觉”.及时因势利导，解除学生心中的疑惑，使学生对自己的直觉产生成功的喜悦感.这样有利于激发他们的数学直觉思维，并使数学直觉思维从表层、低层向深层、高层发展.
综上所述，直觉是人类基本的思维形式，培养学生的数学直觉能力是科学性与创造性的工作.在数学教学中，只要认真观察、留意捕捉、善于联想、数形结合、归纳猜测，就一定能提高学生的数学直觉能力.
参考文献
［1］张广祥著.数学中的问题探究.上海：华东师范大学出版社，2003.
［2］马忠林主编.数学学习论.广西：广西教育出版社，1999.
［3］雷瑞鹏.科学创造中的直觉.广西：广西教育学院学报，2001，2.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
我国数学教育长期以来以逻辑性、严密性、系统性为首要原则，这对数学教育的影响是深刻的.但过份强调逻辑性，就难免产生一些消极因素.特别是直觉思维长期得不到重视，学生在学习过程中认为数学是枯燥乏味的，从而丧失学习的兴趣.因而过多地注重逻辑思维能力的培养，这就不利于思维能力的整体发展.令人欣喜的是《全日制中学数学教学大纲》(试验修订本)已将培养学生的三大能力之一的“逻辑思维能力”改为“思维能力”，虽然只是去掉了两个字，但却反映了我国数学教育者在实践中已经认识到在注重逻辑思维能力培养的同时，还应注重观察力、直觉力、想象力的培养.下面就直觉思维能力的培养，谈谈个人的认识和做法，以见教于同仁.
一、对数学直觉的认识
1.数学直觉的含义
庞加莱认为，直觉应该是逻辑的对立概念，数学直觉是人脑对于数学对象(结构及其关系)的某种直接的领悟和洞察，是一种“非同寻常的洞察力”.可见，数学直觉是指思维者对一个问题不受某种固定的逻辑规则约束，不是按部就班、步步为营地推理，而是对思维对象从整体上进行考察，调动自身的全部知识经验，跳过若干中间步骤或放过个别细节，依据数学对象内在的和谐与关系，直接洞察，敏锐而迅速地作出假设，猜想或判断，或者在对疑难问题百思不得其解之时，突然有了“灵感”和“顿悟”，甚至对未来事物的结果有“预感”等.
2.数学直觉的特点
从数学直觉的含义中我们可以看出，它在时间上表现为快速性(在一刹那间完成)，在过程上表现为跳跃性(跳过若干中间步骤或放过个别细节，是缺乏语言媒介的直接过程)，在形式上表现为简约 性(直觉意味着笼统式综合，与分析法相对立)，在本质上是一种归纳推理(直觉意味着不完全)，在结果上表现为可见性(产生某种直观形象)、不可靠性(没有证明的似真性，带有主观性的特点)、整体性(清楚地表现了事物的“本质”或“关键”，但某些细节可能是模糊的).
数学直觉是基于数学对象整体上的把握，不专注于细节的推敲，是思维的大手笔.正是由于思维的无意识性，它的想象才是丰富的，发散的，使人的认知结构向外扩展，因而还具有反常规的独创性.
如果教师把证明过程过分的严格化、程序化，用僵硬的逻辑外壳掩盖住直觉的光环，学生就只能把成功归功于逻辑，而丧失“可靠的直觉”，那将是我们教育的失败.迪瓦多内明确指出：“任何水平的数学教学的最终目的，无疑是使学生对他要处理的数学对象有一个可靠的‘直觉.”因此，教师应当着眼于通过一定的可操作方式，促进学生获得创造性直觉发生的可能性.
3.数学直觉是发明的源泉
从很多科学家的切身经验中可以看出，直觉是发明的源泉.伟大的数学家、物理学家和天文学家彭加勒说：“逻辑用于证明，直觉用于发明.”爱因斯坦说：“真正有价值的是直觉.”前苏联科学家德洛夫更明确地说：“没有任何一个创造性行为能离开直觉活动.”
从数学发展史上的一些重大发现中可以看出，直觉是发明的源泉.如欧几里德建立几何学，笛卡儿创立解析几何，牛顿发明微积分，彭加勒发明富克斯函数，高斯对一个算术定理的证明，无一不是直觉思维的杰作.可以说，数学的发展大都是借助于数学家的直觉去推进的.
4.数学直觉是必不可少的思维形式
庞加莱明确指出“没有直觉，年轻人在理解数学时便无从着手；他们不可能学会热爱它，他们从中看到的只是空洞的玩弄词藻的争论；尤其是，没有直觉，他们永远也不会有应用数学的能力.”事实上，数学推理中的每一步，直觉都是不可缺少的，数学中的发现创造很多都是直觉思维的结果.正如富克斯所说：“伟大的发现，都不是按逻辑的法则发现的，而都是由猜测得到的.换句话说，大都是凭创造性的直觉得到的.”在数学学习过程中，直觉思维常常会给学生带来意想不到的结论或是令自己吃惊的好的解题方法，让学生尝到“发现”的乐趣.
二、数学直觉能力的培养
“我以为获得直觉的过程，必须经历一个纯形式表面理解的时期，然后逐步将理解提高、深化”，迪瓦多内一语道破了直觉的产生过程.“直觉”不是靠“机遇”.直觉的获得虽然具有偶然性，但决不是无缘无故地凭空臆想.徐利治教授指出：“数学直觉是可以后天培养的，实际上每个人的数学直觉也是不断提高的.”其实，直觉思维并不神秘，现代脑科学研究表明它是由于自由联想或思维活动在有关某个问题的意识边缘持续活动，当大脑功能处于最佳状态时，旧神经联系突然沟通形成链接，是左脑的逻辑思维力量协同右脑的直觉式反应后形成的思维.因此，在课堂教学中，我们应该做更多的工作，去发挥右脑的天资，形成左右脑真正的协同沟通，发展学生的直觉思维，努力使他们达到“真懂”或“彻悟”的境界.
1.培养学生敏锐的观察力
数学解题过程的实质，从某种意义来说，就是从题设信息到结论之间的逻辑沟通过程，而题设和结论中的数、式、形、表等特征又为这种逻辑沟通的实现提供了暗示和导向.观察既包括信息的输入，又包括信息加工的初步过程，是有目的、有计划地考察和描述客观对象的方法.“跟着感觉走”是我们经常讲的一句话，这里的感觉就是观察产生的直觉判断.因此观察是数学解题产生直觉思维的起步器，是智力活动的源泉，是数学学习和创新必不可少的素质.在教学中，应该引导学生动笔之前先观察题设和结论中的数、式、形、表等特征，观察是否有隐含条件，观察问题的整体结构等等.
例1 求玸in280°+玸in255°-2玸in80°?玸in55°的值.
分析：在三角问题中一些“特殊数值”，诸如1、12、22、32、2、3、33等，常出现在公式、定理、运算式中.基于细致观察，我们产生这样直觉：本题中2是一个特殊数值，可能对解题有帮助.这个直觉也许不对，但至少提供了一个思路.
将原式变形为玸in280°+玸in255°-2×玸in80°?玸in55°?玞os45°，注意到数值特征：80°+55°+45°=180°，及式子结构特征，不难联想到余弦定理，至此我们已意识到直觉可靠.下面只是完成逻辑推演：
构造△ABC，使其外接圆直径2R=1,A=80°,B=55°,C=45°.
由正弦定理，得a=玸in80°,b=玸in55°,c=玸in45°,∴玸in280°+玸in255°-2×玸in80°?玸in55°?玞os45°=a2+b2-2×ab玞os45°=c2=玸in2C=12.
2.培养学生对数学美的鉴赏力
纵观古今，科学上的许多发现和创造，无论从宏观还是微观上看无不遵循美的创造规律.爱因斯坦看重宇宙的“统一与和谐”，法国数学家和天文学家拉普拉斯从牛顿力学中“感受到数学的完美性”，英国物理学家狄拉克从“数学形式的美”中发现了“物理世界的真”.
数学知识蕴含着丰富多彩的美的因素，数学概念的简单性、统一性，结构系统的协调性、对称性，数学命题和数学模型的概括性、典型性和普遍性，还有数学中的奇异性等都是美的具体内容.难怪数学大师阿达玛认为，数学直觉的本质是某种“美感”或“美的意识”.美感和美的意识是数学直觉的本质.
戴维斯与赫尔胥在《数学的经验》中指出：“数学中的审美判断是可以培养的，可以由上一代传递给下一代，由教师传递给学生，由作者传递给读者.”因此，在教学中要充分利用数学美，形成“事物间存在着和谐关系及秩序”的审美意识，调动学生直觉思维的积极性.
例2 已知点A为椭圆C1:x24+y23=1上任意一点，点B为椭圆C2：(x+3)23+(y-3)24=1上任意一点，求|AB|的最小值.
分析：本题常规思路是根据所给的条件建立二元目标函数求解，但计算复杂.
如图1，注意到C1与C2关于直线y=x+3对称，因此原问题可转化为求A到直线y=x+3的最近距离的2倍.
基于对称性的审美直觉，我们反常规地思考，渡过了难关，不难求得
|AB|┆玬in=32-14.
3.培养学生丰富的联想力
联想是指一种心理过程引起与之相联的另一种心理过程的现象.巴甫洛夫指出：思维就是联想，一切数学都是各种联想的形式.对某些数学问题，若能联想一些形式相同的、思考方法类似的、结构类似的熟悉问题或常规问题，通过迁移将会悟出解决问题的思路.常见的联想方法有：接近联想、相似联想、对比联想和关系联想.养成“一叶落而知天下秋”的联想习惯，对培养直觉思维大有益处.
例3 求证：若对于常数m和任意的x，等式f(x+m)=1+f(x)1-f(x)成立，则f(x)是周期函数.
分析：从式子的特点能很快凭直觉联想到玹an(x+π4)=1+玹an玿1-玹an玿，而玹an玿的周期为π，因而直觉判断：只需证明f(x+4m)=f(x)即可.
基于结构相似的关联直觉，我们快速地打通了思路.
4.培养数形结合的运用力
数与形是数学知识的两个基本范畴，数与形的完美结合是数学的最高境界.数学家华罗庚曾十分精辟地论述：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”从某种意义上可以说，直觉思维则相当于图像把握，而逻辑思维相当于符号把握.因此，对数学问题的直观理解是头等重要的事，引导学生通过深入的观察、联想，由形思数，由数想形，利用图形的直观诱发直觉.通过数形结合的有效使用频率形成人脑的优势链接，产生优势直觉，对数学学习和数学创造都是大有益处的.
例4 已知i为虚数单位，设A={z|z=2+2a+(2-2a)i,a∈R}，B={ω|ω=玸inθ-i玞osθ,θ∈R}，若z1∈A，z2∈B，求|z1-z2|的最小值.
分析：此题直接从代数角度难以下手，换一个角度，由数想形，利用图形的直观诱发直觉.
A表示直线l:x+y=4,∵ω=玸inθ-i玞osθ,∴|ω|=1,∴B表示以原点为圆心，1为半径的圆.
至此，原形毕露，不禁心头为之一喜，我们已经来到了成功的彼岸，因为|z1-z2|的最小值就是圆周上的点到直线l的最短距离.
如图2，作OH⊥直线l，垂足H，易得|z1-z2|┆玬in=22-1.
上面解题过程表明，数学解题中存在着数与形的双向沟通，存在着直觉选择与逻辑分析的相互推动.在教学中，我们的主要力量就在于直觉和严格性巧妙地结合在一起.
5.培养学生大胆的猜想力
猜想是由已知原理、事实，对未知现象及其规律所作出的一种假设性的命题.科学上的许多“发现”都是凭直觉作出猜想，而后才加以证明或验证的.从数学发展的宏观过程来看，猜想推动了数学的发展.“先猜测后证明”几乎是一条规律，不论是歌德巴赫还是费马，都是从有限的经验教材出发，通过思维作出了大胆的直觉
判断，提出了猜想.而这些著名的猜想又成为众多数学家的激励，成为他们论证的目标.于是在证明或否定这些猜想的过程中，数学得到了发展.
波利亚提出了“合情推理”的概念，明确指出：“在你证明一个数学定理之前，你必须猜想这个定理，在你搞清楚证明细节之前你必须猜想出证明的主导思想”，号召：“让我们教猜想吧!”，因此，教师在教学中要“教学生证明问题”，也要“教他们猜想问题”.要帮助学生学会合理的猜想方法，创设使学生积极猜想的氛围.让学生猜想问题的结论，猜想问题的反面，猜想解题的方向，猜想由特殊到一般的可能，猜想极端化的情形，猜想知识间的有机联系，甚至猜想定理的发现过程，猜想证明的获得过程.让学生把各种各样的想法都讲出来，推动其思维的主动性.还可以编制一些变换结论，缺少条件的“藏头露尾”的题目，引发学生猜想的愿望和猜想的积极性.当学生被直觉引入歧途时，教师应鼓励学生：这并不可怕，在明显失败的尝试之后，会突然闪出一个“好直觉”.及时因势利导，解除学生心中的疑惑，使学生对自己的直觉产生成功的喜悦感.这样有利于激发他们的数学直觉思维，并使数学直觉思维从表层、低层向深层、高层发展.
综上所述，直觉是人类基本的思维形式，培养学生的数学直觉能力是科学性与创造性的工作.在数学教学中，只要认真观察、留意捕捉、善于联想、数形结合、归纳猜测，就一定能提高学生的数学直觉能力.
参考文献
［1］张广祥著.数学中的问题探究.上海：华东师范大学出版社，2003.
［2］马忠林主编.数学学习论.广西：广西教育出版社，1999.
［3］雷瑞鹏.科学创造中的直觉.广西：广西教育学院学报，2001，2.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
