几种常见的几何概型及简单应用
刘瑞美 方立新
几何概率模型是高中新课标教材中新增加的内容，这部分内容可以看成是古典概型的推广.为了帮助各位同仁对这部分内容有一个较系统的认识，下面分别就测度为长度、角度、面积、体积等不同的几何量的相关关系进行探究.
一、几何概型的概念
若样本空间是一个包含无限个点的区域Ω(一维，二维，三维或n维)，样本点是区域中的一个点.向区域Ω内任投一点，它落在区域内任意一个点处都是“等可能的”，即当它们的测度(长度，角度，面积，体积，…)相等时，样本点落在这两区域上的概率相等，而与形状和位置都无关.象这样，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的测度(长度、角度、面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型.
二、几何概型和古典概型的区别
古典概型的计算，只适用于具有等可能性的有限样本空间，而几何概型适用于试验结果具有等可能性的无限的样本空间.几何概型可以看成是古典概型的推广.
三、几何概型的概率公式
若记事件A={任取一个样本点，它落在区域g鸡竲，则A的概率定义为P(A)=g的测度Ω的测度，这里g的测度是指构成事件A的区域长度(角度、面积或体积)、Ω的测度是指试验的全部结果所构成的区域长度(角度、面积或体积).
四、几种常见的几何概型
1.长度模型
设线段l是线段L的一部分，向线段L上任投一点.若落在线段l上的点数与线段l的长度成正比，而与线段l在线段L上的相对位置无关，则点落在线段l上的概率为
P(A)=g的测度Ω的测度=l的长度L的长度.
2.角度模型
设角α是角β的一部分，向角β内任投一点，若落在角α内的点数与角α的度数成正比，而与角α在角β内的相对位置无关，则点落在角α内的概率为：P(A)=g的测度Ω的测度=α的度数β的度数.
3.面积模型
设平面区域g是平面区域G的一部分，向区域G上任投一点，若落在区域g上的点数与区域g的面积成正比，而与区域g在区域G上的相对位置无关，则点落在区域g上的概率为㏄(A)=g的测度Ω的测度=g的面积G的面积.
4.体积模型
设空间区域上v是空间区域V的一部分，向区域V上任投一点.若落在区域v上的点数与区域v的体积成正比，而与区域v在区域V上的相对位置无关，则点落在区域v上的概率为㏄(A)=g的测度Ω的测度=v的体积V的体积.
五、几何概率公式的应用
1.长度模型
例1 如图1，∠AOB=60°,OA=2,OB=5，在线段OB上任取一点C，试求：△AOC为钝角三角形的概率.
解析：先看△AOC为直角三角形的情况：(1)若∠OCA=90°，则OC=1；(2)若∠OAC=90°，则OC=4，如图C1和C2是分别适合上面的两种情况的点C，它们都在线段OB上，由题意可知：当点C在线段OC1或C2B内时，△AOC为钝角三角形.故D的测度=OB=5,d的测度=OC1+C2B=1+1=2，从而，△AOC为钝角三角形的概率P=25.
例2 (磁带问题)乔和摩进行了一次关于他们前一天夜里进行的活动的谈话.然而谈话却被监听录音机记录了下来，联邦调查局拿到磁带并发现其中有10秒钟长的一段内容包含有他们俩犯罪的信息，然而后来发现，这段谈话的一部分被联邦调查局的一名工作人员擦掉了，该工作人员声称她完全是无意中按错了键，并从即刻起往后的所有内容都被擦掉了，试问如果这10秒钟长的谈话记录开始于磁带记录后的半分钟处，那么含有犯罪内容的谈话被部分或全部偶然擦掉的概率将是多大?(说明：磁带的单面播放时间约为30分钟).
解析：将30分钟的磁带表示为长度为30的线段R，则代表10秒钟与犯罪活动有关的谈话的区间为r，如图2所示，10秒钟的谈话被偶然擦掉部分或全部的事件仅在擦掉开始的时间位于该区间内或始于该区间左边的任何点.因此事件r是始于R线段的左端点且长度为12+16=23的事件.
因此，P(r)=r的长度R的长度=2330=290=0.02.
点评：对测度为线段长度的问题，在画图分析时，要完整准确地把握构成所求事件的样本空间所对应的线段，防止遗漏或以偏概全.
2.角度模型
例3 在△ABC中，∠B=60°,∠C=45°，高AE=3，在∠BAC内作射线AM交BC于M，求BM<1的概率.
解析：如图3，射线AM在∠BAC内是等可能分布的，当AM与高AE重合时，BM=1，所以满足BM<1的射线AM在∠BAE内，于是D的测度=∠BAC=180°-(60°+45°)=75°，d的测度=∠BAE=90°-60°=30°,从而P(BM<1)=3075=25.
点评：若将本题的“在∠BAC内作射线AM交BC于M”改为“在线段BC上取点M”，则测度就由“角度”变为线段的“长度”，因而对于背景相类似的问题，一定要仔细推敲，认真辨析，注意区别.
3.面积模型
例4 (会面问题)两人相约7点到8点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时离去.求两人会面的概率.
解：因为两人谁也没有讲好确切的时间，故样本点由两个数(甲乙两人各自到达的时刻)组成.以7点钟作为计算时间的起点，设甲乙各在第x分钟和第y分钟到达，则样本空间为Ω:{(x,y)|0≤x≤60,0≤y≤60}，会面的充要条件是|x-y|≤20，即事件A={可以会面}所对应的区域是图4中的阴影线部分.
P(A)=g的测度Ω的测度=602-(60-20)2602=59.
例5 已知函数f(x)=13x3+12ax2+bx,a,b∈R，f′(x)是函数f(x)的导数.若-1≤a≤1,-1≤b≤1，求函数f′(x)在R上有零点的概率.
分析：函数f′(x)在R上有零点即要求x2+ax+b=0有实数根，只需根据一元二次方程有根的条件得出相应的不等关系，画出相应的符合条件的可行域，利用定积分求曲线围成的面积，然后借助几何概型求概率即可.
解：由题设得f′(x)=x2+ax+b，由函数f′(x)在R上有零点得方程f′(x)=0，即方程
x2+ax+b=0有实数根，只需△≥0，即a2≥4b，∴方程f′(x)=0有实数根的条件为-1≤a≤1,
-1≤b≤1,
a2≥4b，(*)如图5，条件(*)的面积为S1=А要1-1(a24+1)da=136，Ф满足条件-1≤a≤1,-1≤b≤1的面积为S=4，根据几何概型的概率公式可知，方程f′(x)=0有实数根的概率为P=S1S=1324.
评注：本例是一道涉及函数导数、定积分与零点的几何概型的综合问题，利用定积分求曲线所围成平面图形面积，借助几何概型的概率公式求解.
4.体积模型
例6 在线段OA=［0，1］上任意投三个点，问由O至三点的三线段，能构成三角形与不能构成三角形这两个事件中哪一个事件的概率大.
解析：设O到三点的三线段长分别为x,y,z，即相应的右端点坐标为x,y,z，显然0≤x,y,z≤1.这三条线段构成三角形的充要条件是：x+y>z,x+z>y,y+z>x.在线段［0，1］上任意投三点x,y,z.与单位立方体中的点(x,y,z)一一对应，可见所求“构成三角形”的概率，等价于在边长为1的立方体T中均匀地掷点，而点落在x+y>z,x+z>y,y+z>x区域中的概率；这也就是落在图6中由△ADC，△ADB，△BDC，△AOC，△AOB，△BOC所围成的区域G中的概率.由以上六个面围成的几何体的体积等于立方体T的体积减去三个以O为顶点的四面体的体积，而每个四面体的体积均为13×12×13,由于V(T)=1,V(G)=13-3×13×12×13=12,∴P=V(G)V(T)=12.
由此得，能与不能构成三角形两事件的概率一样大.
例7 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取点M，求使四棱锥M-ABCD的体积小于16的概率.
解：设M到面ABCD的距离为h，则V㎝-ABCD=13S┱方形ABCD?h=13h=16，所以h=12，故只要点M到面ABCD的距离小于12即可.
所有满足点M到面ABCD的距离小于12的点组成以ABCD为底面，高为12的长方体，其体积为12，又正方体体积为1，所以㏄(V㎝-ABCD<16)=121=12.
点评：本例的测度为几何体的体积，解题的关键是探求两几何体体积的关系.
几何概型是高中新课标教材新增加的内容，难度相对较大，而教材上的内容都比较简单，因而在讲授新课时不要随意增加太多的内容.
几何概型并不限于向平面(或直线、空间)投点的试验，如果一个随机试验有无限多个等可能的基本结果，每个基本结果可以用平面(或直线、空间)中的一点来表示，而所有基本结果对应于一个区域Ω，这时，与试验有关的问题都可以利用几何概型来加以解决.
参考文献
［1］刘云海，靳继东.零点为数学增光添彩.中学数学杂志(J)，2007，4.
［2］陆利标.运用函数思想解决环形染色问题.数学通报(J)，2007，4.
［3］武岩.线性规划在解题中的应用.中学数学杂志(高中)(J)，2007，1.
［4］严士健.统计与概率(M).
［5］王尚志.数学教学研究与案例(M).
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
几何概率模型是高中新课标教材中新增加的内容，这部分内容可以看成是古典概型的推广.为了帮助各位同仁对这部分内容有一个较系统的认识，下面分别就测度为长度、角度、面积、体积等不同的几何量的相关关系进行探究.
一、几何概型的概念
若样本空间是一个包含无限个点的区域Ω(一维，二维，三维或n维)，样本点是区域中的一个点.向区域Ω内任投一点，它落在区域内任意一个点处都是“等可能的”，即当它们的测度(长度，角度，面积，体积，…)相等时，样本点落在这两区域上的概率相等，而与形状和位置都无关.象这样，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的测度(长度、角度、面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型.
二、几何概型和古典概型的区别
古典概型的计算，只适用于具有等可能性的有限样本空间，而几何概型适用于试验结果具有等可能性的无限的样本空间.几何概型可以看成是古典概型的推广.
三、几何概型的概率公式
若记事件A={任取一个样本点，它落在区域g鸡竲，则A的概率定义为P(A)=g的测度Ω的测度，这里g的测度是指构成事件A的区域长度(角度、面积或体积)、Ω的测度是指试验的全部结果所构成的区域长度(角度、面积或体积).
四、几种常见的几何概型
1.长度模型
设线段l是线段L的一部分，向线段L上任投一点.若落在线段l上的点数与线段l的长度成正比，而与线段l在线段L上的相对位置无关，则点落在线段l上的概率为
P(A)=g的测度Ω的测度=l的长度L的长度.
2.角度模型
设角α是角β的一部分，向角β内任投一点，若落在角α内的点数与角α的度数成正比，而与角α在角β内的相对位置无关，则点落在角α内的概率为：P(A)=g的测度Ω的测度=α的度数β的度数.
3.面积模型
设平面区域g是平面区域G的一部分，向区域G上任投一点，若落在区域g上的点数与区域g的面积成正比，而与区域g在区域G上的相对位置无关，则点落在区域g上的概率为㏄(A)=g的测度Ω的测度=g的面积G的面积.
4.体积模型
设空间区域上v是空间区域V的一部分，向区域V上任投一点.若落在区域v上的点数与区域v的体积成正比，而与区域v在区域V上的相对位置无关，则点落在区域v上的概率为㏄(A)=g的测度Ω的测度=v的体积V的体积.
五、几何概率公式的应用
1.长度模型
例1 如图1，∠AOB=60°,OA=2,OB=5，在线段OB上任取一点C，试求：△AOC为钝角三角形的概率.
解析：先看△AOC为直角三角形的情况：(1)若∠OCA=90°，则OC=1；(2)若∠OAC=90°，则OC=4，如图C1和C2是分别适合上面的两种情况的点C，它们都在线段OB上，由题意可知：当点C在线段OC1或C2B内时，△AOC为钝角三角形.故D的测度=OB=5,d的测度=OC1+C2B=1+1=2，从而，△AOC为钝角三角形的概率P=25.
例2 (磁带问题)乔和摩进行了一次关于他们前一天夜里进行的活动的谈话.然而谈话却被监听录音机记录了下来，联邦调查局拿到磁带并发现其中有10秒钟长的一段内容包含有他们俩犯罪的信息，然而后来发现，这段谈话的一部分被联邦调查局的一名工作人员擦掉了，该工作人员声称她完全是无意中按错了键，并从即刻起往后的所有内容都被擦掉了，试问如果这10秒钟长的谈话记录开始于磁带记录后的半分钟处，那么含有犯罪内容的谈话被部分或全部偶然擦掉的概率将是多大?(说明：磁带的单面播放时间约为30分钟).
解析：将30分钟的磁带表示为长度为30的线段R，则代表10秒钟与犯罪活动有关的谈话的区间为r，如图2所示，10秒钟的谈话被偶然擦掉部分或全部的事件仅在擦掉开始的时间位于该区间内或始于该区间左边的任何点.因此事件r是始于R线段的左端点且长度为12+16=23的事件.
因此，P(r)=r的长度R的长度=2330=290=0.02.
点评：对测度为线段长度的问题，在画图分析时，要完整准确地把握构成所求事件的样本空间所对应的线段，防止遗漏或以偏概全.
2.角度模型
例3 在△ABC中，∠B=60°,∠C=45°，高AE=3，在∠BAC内作射线AM交BC于M，求BM<1的概率.
解析：如图3，射线AM在∠BAC内是等可能分布的，当AM与高AE重合时，BM=1，所以满足BM<1的射线AM在∠BAE内，于是D的测度=∠BAC=180°-(60°+45°)=75°，d的测度=∠BAE=90°-60°=30°,从而P(BM<1)=3075=25.
点评：若将本题的“在∠BAC内作射线AM交BC于M”改为“在线段BC上取点M”，则测度就由“角度”变为线段的“长度”，因而对于背景相类似的问题，一定要仔细推敲，认真辨析，注意区别.
3.面积模型
例4 (会面问题)两人相约7点到8点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时离去.求两人会面的概率.
解：因为两人谁也没有讲好确切的时间，故样本点由两个数(甲乙两人各自到达的时刻)组成.以7点钟作为计算时间的起点，设甲乙各在第x分钟和第y分钟到达，则样本空间为Ω:{(x,y)|0≤x≤60,0≤y≤60}，会面的充要条件是|x-y|≤20，即事件A={可以会面}所对应的区域是图4中的阴影线部分.
P(A)=g的测度Ω的测度=602-(60-20)2602=59.
例5 已知函数f(x)=13x3+12ax2+bx,a,b∈R，f′(x)是函数f(x)的导数.若-1≤a≤1,-1≤b≤1，求函数f′(x)在R上有零点的概率.
分析：函数f′(x)在R上有零点即要求x2+ax+b=0有实数根，只需根据一元二次方程有根的条件得出相应的不等关系，画出相应的符合条件的可行域，利用定积分求曲线围成的面积，然后借助几何概型求概率即可.
解：由题设得f′(x)=x2+ax+b，由函数f′(x)在R上有零点得方程f′(x)=0，即方程
x2+ax+b=0有实数根，只需△≥0，即a2≥4b，∴方程f′(x)=0有实数根的条件为-1≤a≤1,
-1≤b≤1,
a2≥4b，(*)如图5，条件(*)的面积为S1=А要1-1(a24+1)da=136，Ф满足条件-1≤a≤1,-1≤b≤1的面积为S=4，根据几何概型的概率公式可知，方程f′(x)=0有实数根的概率为P=S1S=1324.
评注：本例是一道涉及函数导数、定积分与零点的几何概型的综合问题，利用定积分求曲线所围成平面图形面积，借助几何概型的概率公式求解.
4.体积模型
例6 在线段OA=［0，1］上任意投三个点，问由O至三点的三线段，能构成三角形与不能构成三角形这两个事件中哪一个事件的概率大.
解析：设O到三点的三线段长分别为x,y,z，即相应的右端点坐标为x,y,z，显然0≤x,y,z≤1.这三条线段构成三角形的充要条件是：x+y>z,x+z>y,y+z>x.在线段［0，1］上任意投三点x,y,z.与单位立方体中的点(x,y,z)一一对应，可见所求“构成三角形”的概率，等价于在边长为1的立方体T中均匀地掷点，而点落在x+y>z,x+z>y,y+z>x区域中的概率；这也就是落在图6中由△ADC，△ADB，△BDC，△AOC，△AOB，△BOC所围成的区域G中的概率.由以上六个面围成的几何体的体积等于立方体T的体积减去三个以O为顶点的四面体的体积，而每个四面体的体积均为13×12×13,由于V(T)=1,V(G)=13-3×13×12×13=12,∴P=V(G)V(T)=12.
由此得，能与不能构成三角形两事件的概率一样大.
例7 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取点M，求使四棱锥M-ABCD的体积小于16的概率.
解：设M到面ABCD的距离为h，则V㎝-ABCD=13S┱方形ABCD?h=13h=16，所以h=12，故只要点M到面ABCD的距离小于12即可.
所有满足点M到面ABCD的距离小于12的点组成以ABCD为底面，高为12的长方体，其体积为12，又正方体体积为1，所以㏄(V㎝-ABCD<16)=121=12.
点评：本例的测度为几何体的体积，解题的关键是探求两几何体体积的关系.
几何概型是高中新课标教材新增加的内容，难度相对较大，而教材上的内容都比较简单，因而在讲授新课时不要随意增加太多的内容.
几何概型并不限于向平面(或直线、空间)投点的试验，如果一个随机试验有无限多个等可能的基本结果，每个基本结果可以用平面(或直线、空间)中的一点来表示，而所有基本结果对应于一个区域Ω，这时，与试验有关的问题都可以利用几何概型来加以解决.
参考文献
［1］刘云海，靳继东.零点为数学增光添彩.中学数学杂志(J)，2007，4.
［2］陆利标.运用函数思想解决环形染色问题.数学通报(J)，2007，4.
［3］武岩.线性规划在解题中的应用.中学数学杂志(高中)(J)，2007，1.
［4］严士健.统计与概率(M).
［5］王尚志.数学教学研究与案例(M).
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
