在变式探究中培育几何直观素养
温晖
[摘? 要] 培育初中生的几何直观素养是值得探讨的课题. 数学章节复习应该实现复习课的育人功能，培育学生的数学核心素养，增强学生的数学自我效能感. 变式探究是培育学生的几何直观素养的有效方式. “数轴上两点距离问题”是培育学生几何直观能力的重要载体.
[关键词] 初中数学;几何直观;变式探究;章节复习;两点距离
如何培育初中学生的几何直观素养是初中数学教学的重要课题. 《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）指出：“几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用.”[1]
笔者认为，数学章节复习不是课本知识的简单重复，应该梳理知识形成能力，实现复习课的育人功能，增强学生的数学自我效能感，着力提升学生的数学核心素养. 变式探究是培育学生的几何直观素养的有效方式. 数轴是培养初中生几何直观的第一个核心概念. 本文以“数轴上两点距离问题”的章节复习为例，分享笔者的实践与思考.
教学设计
案例? 数轴上两点距离问题
1. 教学内容解析
教材地位：数轴是初中数学的核心概念. 《标准》要求：“能用数轴上的点表示有理数，能比较有理数的大小.”“借助数轴理解相反数和绝对值的意义，掌握求有理数的相反数与绝对值的方法，知道|a|的含义（这里a表示有理数）.”
数轴上两点距离问题涉及数轴、相反数、绝对值、有理数运算等基础知识，具有一定的综合性. 解决问题，要求学生利用数轴的几何直观，运用数形结合、分类讨论、化归转化等数学思想方法. 因此，数轴上两点距离问题是培养学生几何直观的重要载体.
教学重点：数轴上两点距离问题.
教学难点：数轴上两点距离问题.
2. 学生学情分析
从知识基础来看，刚入初一的学生在“有理数”一章（《义务教育课程标准教科书·数学》 〈人教版〉七年级上册）的新课学习中，对用数轴上的点表示有理数已有初步认识，知道相反数与绝对值的几何意义，能用数轴上点的移动解释有理数加减运算的结果，但利用数轴的几何直观处理相关问题的能力尚待进一步提升.
从思维基础来看，刚入初一的学生解决数轴上两点距离问题是有困难的，主要表现在三个方面：一是问题表征有困难，这类问题需要学生选择合适的表征形式去审清题意;二是方法选择有困难，这类问题需要学生选择数形结合去解决问题;三是分类讨论有困难，这类问题中表示数的点的位置往往不确定，容易出现“对而不全”.
3. 教学目标设置
（1）通过数轴上两点距离问题的复习，促进学生对数轴、相反数、绝对值和有理数加减运算法则的深刻理解.
（2）通过数轴上两点距离问题的复习，进一步提升学生的几何直观能力.
4. 教学策略选择
本节课主要采用问题驱动策略和变式探究策略.
5. 教学过程设计
在设计理念上，基于“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”的课程理念，基于数学章节复习的目标定位，在章节复习教学中寻找发展学生数学核心素养的方式和方法. 为此，在“有理数”章节复习中，笔者选择数轴上两点距离问题，力图培育学生的几何直观素养.
在课堂操作上，本节课采用如下操作程序：复习回顾——变式探究——反馈评价——总结提炼——布置作业.
教学环节1：复习回顾
将复习内容问题化，用4个问题引领学生回顾所学知识.
问题1：数轴与普通直线有何不同？怎样用数轴表示有理数？
设计意图：引导学生复习数轴的三要素.
问题2：设a为正数，怎样用数轴表示-a？a与-a有何关系？
设计意图：引导学生复习相反数的概念，用数轴解释一个数的相反数.
问题3：设a为有理数，怎样理解a？
设计意图：引导学生复习绝对值的概念，从代数与几何两个角度表征绝对值.
问题4：在数轴上，点A，B分别表示数-2，3，能求出点A和点B的距离吗？（依据《义务教育课程标准教科书·数学》〈人教版〉七年级上册第24页“探究”改编）
设计意图：引导学生计算数轴上两点的距离，帮助学生利用有理数的减法或数轴上点的左右移动解决问题，为变式探究提供先行组织者.
教学环节2：变式探究
变式1：在数轴上，点A，B分别表示數a，b，则点A，B之间的距离AB=______（用含a，b的式子表示）.
设计意图：引导学生一般化，建构数轴上两点距离公式.
变式2：在数轴上，点A表示数-2，点B表示数b，若点A，B之间的距离AB=5，则b=______.
设计意图：引导学生逆向思考，固化数轴上两点距离问题的解决方法.
变式3：数轴上点M，N表示的数分别为-50，20，点P表示的数为x. 如果点P到点M、点N的距离相等，那么x的值是______.
设计意图：引导学生化归转化，强化数形结合.
变式4：数轴上点M，N表示的数分别为-50，20，点P表示的数为x. 是否存在点P，使点P到点M、点N的距离之和是80？若存在，求x的值;若不存在，请说明理由.
设计意图：引导学生类比迁移，学会讲清道理.
问题5：比较变式2、变式3、变式4中的已知条件和解题目标，有何发现？反思变式2、变式3、变式4的解题过程，有何感悟？
设计意图：引领学生解题反思，认识数轴上两点距离问题的结构特征，积累解题经验.
教学环节3：反馈评价
（1）（2017年广州市初中毕业生学业考试数学卷第1题）如图1，数轴上两点A，B表示的数互为相反数，则点B表示的数为（ ? ?）
A. -6 ? ? ? ? ?B. 6
C. 0 ? ? ? ?D. 无法确定
（2）在数轴上，点A向左移动2个单位长度到达点B，再向右移动5个单位长度到达点C. 若点C表示的数为1，则点A表示的数为（ ? ）.
A. 7B. 3C. -3 D. -2
（3）数轴上表示数-14和表示数5的两点之间的距离为______.
（4）已知x为整数，且-2 设计意图：引领学生自我评价. 教學环节4：总结提炼 问题6：本节课学习了什么，同学们有何感悟？ 设计意图：引领学生归纳总结，提炼数学思想方法. 教学环节5：布置作业 （1）综合运用：七年级数学上册第51页第2题;七年级数学上册第52页第10题. （2）拓广探索：数轴上点M，N表示的数分别为-50，20，点P表示的数为x. 若点P到点M、点N、点O（原点）的距离之和是80，求x的值. 设计意图：引领学生变式训练，强化数形结合、化归转化和分类讨论等思想方法. 教学实录 教学片段1：变式探究 师：将问题4一般化，可得变式1.（投影） 变式1：在数轴上，点A，B分别表示数a，b，则点A，B之间的距离AB=______（用含a，b的式子表示）. 生1：AB=a-b. 生2：AB=b-a. 师：正确！为何有两个表达式？ 生3：因为a-b和b-a互为相反数，所以它们的绝对值相等. 师：深刻！a-b的几何意义是什么？ 生4：a-b是数轴上表示数a的点到表示数b的点之间的距离. 师：类似地，a+b是数轴上哪两个点之间的距离？ 生5：a+b是数轴上表示数a的点到表示数-b的点之间的距离. 生6：a+b是数轴上表示数b的点到表示数-a的点之间的距离. 师：很好！下面交换问题4的条件与结论，可得变式2.（投影） 变式2：在数轴上，点A表示数-2，点B表示数b，若点A，B之间的距离AB=5，则b=______. 学生独立思考后作答. 生7：b=3. 师：确定吗？点B在数轴上的位置确定吗？ 生7：应该是b=-7或b=3. 因为AB=5，点B的位置不确定，所以点B在点A的左边或右边，所以b的值为-2-5=-7或者-2+5=3. 师：正确！点A把数轴分成了左、右两部分，点B落在哪个部分不确定，需要分类讨论！ 师：将变式2中的已知条件稍作变更，可得变式3. （投影） 变式3：数轴上点M，N表示的数分别为-50，20，点P表示的数为x. 如果点P到点M、点N的距离相等，那么x的值是______. 师：能画数轴示意图表示已知条件吗？哪位同学来画一下. 生8主动在黑板上画图，但画好后又擦掉了. 师：你已画了3次，但都擦掉了，有何疑惑？ 生8：我不知道要不要标注单位长度. 师：注意到单位长度，非常好！你觉得有必要把所有单位长度标出来吗？ 生9：没有必要，因为只画示意图，把点的相对位置表示清楚就可以了. 在黑板上画图的学生还是犹犹豫豫，教师请生9协助生8画图，得到了如下示意图（图2）： 紧接着，生9讲道理. 生9：因为MN的长度为70，除以2得到35，所以把点M向右平移35个单位长度，可得点P表示的数为-15. 师：为什么取70的一半？为何把点M向右平移？移动点N怎样？ 生9：因为数轴上点P满足PM=PN，所以点P一定在点M、点N的中间位置，所以PM=MN=35. 把点M向右平移35个单位长度，可得点P表示的数为-15. 生10：把点N向左平移35个单位长度，也可得点P表示的数为-15. 师：非常棒！伸出你的双手. 全班学生热烈鼓掌. 师：停！将变式3中的已知条件再作变更，可得变式4.（投影） 变式4：数轴上点M，N表示的数分别为-50，20，点P表示的数为x. 是否存在点P，使点P到点M、点N的距离之和是80？若存在，求x的值;若不存在，请说明理由. 师：类比变式3的解法，能解决变式4吗？ 生众：应该可以. 学生动笔画数轴示意图. 教师巡堂后，请学生11在黑板上画出如下示意图（图3、图4）： 师：你为何画了两个示意图？ 生11：点P的位置不确定. 由于PM+PN=80，MN=70，所以点P不可能落在线段MN上，只能落在线段MN之外. 师：很好！点M和点N把数轴分成了三个区域，先确定点P落在哪个区域. 由示意图知，点P在点M的左边，或者点P在点N的右边，能求得点P表示的数吗？ 生12：点P表示的数为-55或者25. 师：为什么？能讲清道理吗？ 生12：因为PM+PN=80，MN=70，所以点P在点M的左边，或者点P在点N的右边. 当点P在点M的左边时，如图3，由PM+PN=PM+PM+MN=80，得PM=5，所以点P表示的数为-50-5=-55. 当点P在点N的右边时，如图4，由PM+PN=MN+PN+PN=80，得PN=5，所以点P表示的数为20+5=25. 师：非常棒！掌声响起来. 全班学生热烈鼓掌. 师：停！这是一道存在性问题，怎样作答？ 生众：数轴上存在点P，使PM+PN=80，点P表示的数为-55或者25. 师：正确！接下来，请思考问题5（投影）： 问题7：比较变式2、变式3、变式4中的已知条件和解题目标，有何发现？反思变式2、变式3、变式4的解题过程，有何感悟？ 生13：变式2给出数轴上两点之间的距离，已知一个点表示的数，求另一个点表示的数. 生14：变式3给出数軸上点到两个点之间的距离相等，已知两个点表示的数，求另一个点表示的数. 生15：变式4给出数轴上点到两个点之间的距离之和，已知两个点表示的数，求另一个点表示的数. 师：变式2、变式3、变式4都是数轴上两点距离问题. 生16：变式2、变式3、变式4的解题过程都是先画数轴示意图，再求点表示的数. 生17：变式3、变式4的解题过程都是先转化为两点之间的距离，再求点表示的数. 师：求解数轴上两点距离问题要注重数形结合、分类讨论. 教学片段2：总结提炼 师：（投影问题6）本节课学习了什么？有何感悟？ 生18：学习了“数轴上两点距离问题”. 生众：求解“数轴上两点距离问题”，要注重数形结合、分类讨论、化归转化. 师：数轴是初中学习的第一个数形结合模型，同学们要学会用数轴处理问题！正如数学家华罗庚所说，“数形结合百般好，隔离分家万事休”. 教学反思 “数轴上两点距离问题”的复习教学，注重发挥数轴的几何直观作用，学生经历了解决问题的过程，在变式探究中提升了初一学生的几何直观素养. 主要亮点如下： 1. 注重问题引领 本节课以6个问题引领学生学习，较好地体现了教师的主导作用. 问题1、问题2、问题3将复习内容问题化，有利于学生回顾所学知识;问题4引导学生计算数轴上两点的距离，帮助学生利用有理数的减法或数轴上点的左右移动解决问题，为变式探究提供先行组织者;问题5引导学生解题反思，旨在引领学生认识变式问题的结构特征;问题6旨在引领学生积累解题经验. 在处理这6个问题中，学生较好地彰显了主体地位. “问题引领”正是数学教学实现学生与教师“双中心”的一个十分有效的手段[2]. 2. 注重变式探究 变式探究是促进学生数学深度学习、提升数学核心素养的有效方式. 本节课用变式1、变式2、变式3和变式4引领学生变式探究. 变式1基于问题4的一般化，建构了数轴上两点距离与两个数差的绝对值的联系;变式2基于问题4的逆向探求，固化了解决数轴上两点距离问题的方法，强化了学生对有理数减法的几何表征，学生认识到分类讨论的重要性;变式3基于变式2条件的变更，引领学生化归转化，强化了数轴的直观作用;变式4基于变式3的解题经验，旨在促进学生深度学习，让学生学会类比迁移. 这样的变式探究对培育学生的几何直观素养是富有成效的. 3. 注重讲清道理 初中数学教学要注重数学思考，特别是在突出重点、突破难点的过程中应该引导学生讲清道理. 例如，本节课中的变式3是教学重点. 在变式3的教学中，学生经历了处理“数轴上两点之间距离问题”的思考过程. 首先，引导学生画出表示PM=PN的示意图并讲清道理;其次，引导学生将PM=PN转化为PM=35，从而解决问题. 又如，变式4是本节课的教学难点（也是教学重点）. 在变式4的教学中，用启发性提示语——“类比变式3的解法，能解决变式4吗”，引领类比迁移，让学生主动建构解决问题的方法. 首先，让学生画数轴示意图，学生在画数轴示意图中感悟分类讨论思想;其次，启发引导学生将题设条件PM+PN=80转化为PM=5或PN=5;最后，引导学生讲清道理，从而解决问题. 4. 注重提高学生的自我效能感 初中数学教学要注重提高学生的自我效能感. 研究表明，数学自我效能感是影响学生数学学业水平的重要心理因素，数学自我效能感水平与数学学业水平呈正相关[3]. 在数学课堂中，数学自我效能感水平较高的学生，积极参与数学活动，自主探究问题，自我评价意识较强，善于反思提炼. 具有较高的数学自我效能感对于学生未来的数学学习是非常有帮助的. 因此，为了增强学生的数学自我效能感，在课堂教学中教师要鼓励学生积极参与、自主纠错、主动建构，要引导学生回顾反思、积累数学活动经验，要强化学生的数学学习动机，要让学生体验到学习成功的快乐. 几何直观是初中数学教学要着力培养的核心素养之一，培育学生的几何直观素养是值得深入探究的课题. 参考文献： [1]中华人民共和国教育部制定. 义务教育数学课程标准（2011年版）[S]. 北京：北京师范大学出版社，2012. [2]郑毓信.数学教育的“问题导向”（续）[J]. 中学数学教学参考，2018（11）. [3]孙思雨，朱雁. 初中生数学自我效能感及其校准性的调查研究[J]. 数学教育学报，2019，28（06）.
