浅析高中数学课堂研究性学习教学设计
林伟民
一、研究性学习引入高中数学课堂的必要性
教育部颁布的《普通高中研究性学习实施指南》指出，设置研究性学习的目的在于“改变学生以单纯地接受教师传授知识为主的学习方式，为学生构建开放的学习环境，提供多渠道获取知识并将学到的知识加以综合应用于实践的机会，培养创新精神和实践能力”.由此可见，改变教师的教学方式和学生的学习方式是开设研究性学习的重要目的之一.而且《指南》在研究性学习内容的选择和设计上也指出，“教师要在日常的各科教学中，结合教学内容，注重引导学生通过主动探究，解决一些开放性的问题，这也在一定程度上体现了研究性学习的价值与性质.
从本质上看，研究性学习体现了一种新型的学习方式，是从传统教学单纯的“传”与“授”行为转变为让学生通过“研究”这种方式自主选择学习内容、自主决定学习进程、自主安排 学习形式、自主完成学习任务.它理应体现在学生学习的全过程中，包括数学学习过程中.把研究性学习作为“一种学习方式”，引进到数学教学中去，通过研究性学习使数学教学中固有的师生“传承”教学模式得以改变，从而让学生从传统的接受性学习中解放出来.
研究性学习为学生营造了活动、体验、创造的开放性新时空，是学校教学活动的有机组成部分.研究性学习应该而且也必须与教学的其它活动尤其是学科教学活动紧密结合起来，相辅相成，相映成趣，互为补充.在当前基础学科课程和课堂教学占优势的情况下，学生创新精神和实践能力的培养仅仅依托一门“研究性学习”课程是难以奏效的.如果把开展研究性学习简单地理解为增加一门新的课程而忽视向基础课程渗透，一味追求“研究”，刻意制造“轰动”效应，则与我们设置研究性学习的初衷越来越远.
二、高中数学课堂研究性学习教学设计
1.高中数学课堂研究性学习的教学原则
(1)问题性原则.强调以问题为载体和核心，围绕着问题的提出、解决和拓展 而展开课题.
(2)探究性原则.强调学生在探究中学习，在教师指导下，探索已知数学情景 ，发现问题，并探究问题解决的策略和方法.
(3)主体性原则.强调学生是学习的主体，要求学生在教学过程中自主地探究 问题，给予学生对个人价值和信仰问题做出独立决定的机会，在课堂中建立起信赖感、自主 感和勤奋感，形成良好的自我认同感.
(4)互动性原则.强调多重互动，如教师与学生之间，学生与学生之间的互动 的多种形式，互动是一种交流、碰撞、协作的过程，让学生学会与人沟通和交流的方法.
(5)发展性原则.强调着眼于学生的智力因素、非智力心理因素的整合发展， 让学生在获得知识、提高技能的同时，全面提升个人素质.
2.高中数学课堂开展研究性学习的方法
(1)在日常的课堂教学中渗透研究性学习
求知欲是人们思考研究问题的内在动力，学生的求知欲越高，他的主动探索精神越强，就能主动积极进行思维，去寻找问题的答案.教师在教学中可采用引趣、激疑、悬念、讨论等多种途径，活跃课堂气氛，调动学生的学习热情和求知欲望，以帮助学生走出思维低谷.在讲授新课时，教师可根据课题创设问题情境，让学生产生悬念，急于了解问题的结果，而使学生求知欲望大增.在遵循教学规律的基础上，采用生动活泼，富有启发、探索、创新的教学方法，充分激发学生的求知欲，培养学生的学习兴趣，为开展数学研究性学习的活动铺垫了基础.
数学研究性学习的过程是围绕着一个需要解决的数学问题而展开，经过学生直接参与研究，并最终实现问题解决而结束.学生学习数学的过程本身就是一个问题解决的过程.当学生学习一章新的知识、乃至一个新的定理和公式时，对学生来说，就是面临一个新问题.事实上，课本中，不少定理、公式的证明、推导本身就是一节数学研究性学习的好教材.比如，三角函数中，正弦、余弦诱导公式的推导；直线的倾斜角和斜率的研究；直线与抛物线的位置关系等等.以某一数学定理或公式为依据，可以设计适当的问题情景.让学生进行探究，通过自己的努力去发现一般规律，体验研究的乐趣.
(2)以数学问题为研究性学习的载体
在课堂上要形成“问题中心”，把社会生活中的问题搬进课堂内进行研究，使课堂成为问题展示平台、讨论与辨析的场所.培养学生研究性学习的能力，就是要培养学生善于发现问题、解决问题的能力.所以在教学过程中，学生如果带着探索问题的强烈欲望来接受教师所传 授的知识，那么，他们的大脑就会处于积极活动之中，他们所得到的知识就比较深刻、扎实 .教师将研究性学习的思想方法体现在教学全过程，紧密结合教材中的经济、政治、科技、 文化、教育的实际问题渗透学生自主创新性的研究型课题，培养学生的创新精神、实践能力 和研究能力，发展个性特长，初步学会研究性学习.教师要努力促进学生提出问题，对教材 的内容进行反思；促进学生讨论问题，增强问题意识，培养质疑精神；促进学生自觉地把问 题专题化.
我们开展数学的“研究性学习”，就是要让学生自主地去发现、去研究自己感兴趣的问题，亲身体验问题.数学中各式各样的问题为研究性学习提供了许多研究的方向，数学教学中的各种问题都是渗透研究性学习的重要载体.
①在数学的应用题中渗透研究性学习
新课程改革旨在培养学生创新精神和实践能力，改革传统教学理论严重脱离实际的状况.使学生能将学到的数学知识应用到解决实际问题中去，这也是我们研究性学习的一个重要方面.利用数列知识解决购房、购车分期付款问题，利用函数求最值的方法解决现实生活中最佳方案问题等等.带动学生去研究生活中的数学问题，让数学研究性学习带给学生无穷的乐趣，真正做到使学生学以致用.数学的应用不仅是应用数学知识解决问题，更重要的是能够在实际生产、生活中发现问题，提出问题，通过学生的社会调查与实践，在实际生活过程中发现数学问题，研究数学问题，建立解决各种问题的数学模型，这样学生一方面能用所学的数学基础理论解决实际问题，另一方面又能将日常生活中的具体事例抽象成数学模型，数学研究性学习就可以在这样的过程中循环推进.
②在数学开放题中渗透研究性学习
数学开放题能体现数学研究的思想方法，解答过程是探究的过程，能体现数学问题的形成过程，体现解答对象的实际状态，数学开放题有利于因材施教，可以用来培养学生思维的灵活性和发散性，使学生体会学习数学的成功感，使学生体验到数学的美感.将数学开放题用于学生研究性学习是十分有意义的.
开放题的核心是培养学生的创造意识和创新能力，激发学生独立思考和创新的意识，是一种新的教育理念的具体体现.数学开放题作为开展数学研究性学习的一个切入口，促进了数学教育的开放化和个性化，从发现问题和解决问题中培养学生创新精神和实践能力.开放题通常是改变命题结构，改变设问方式，增强问题的探索性以及解决问题过程中的多角度思考，对命题赋予新的解释进而形成和发现新的问题.数学教师应该充分利用研究性学习的机会，编制数学开放题，提高学生运用的能力.
(3)由课内向课外延伸，由课本向课题延伸
随着研究性学习的广泛开展，还带来了课程和教材的改革.现行的《普通高中课程标准实验教科书》(数学)中，每册书上都设置了探究拓展性习题和实习作业，如“分期付款中的有关计算”、“向量在物理中的应用”等等，这些课程内容的有效实施，将会很好的激发学生的求知欲和求知情感，同时也为培养学生的创新精神和实践能力提供很好的机会.
在教学实践中笔者比较注重引导学生关心身边的数学，倡导用数学的眼光来审视丰富多彩的客观世界，同时也让学生感受数学在现实生活及社会各个领域中的广泛应用.就高一数学中我们尝试性进行过的或现在正在进行的研究性课题有：“三角函数线的研究与应用”、“二次函数与二次方程区间根问题的研究”、“彩票中的数学研究”、“电信中各种手机费用数学计算”、以及“分期付款中的有关计算”、“向量在物理中的应用”.尽管在一些课题的研究程度和研究成果上没能达到预期的设想，但是我们毕竟走上了研究性学习的轨道，在这样的一条轨道上行进，学生挖掘出了许多很有价值的东西，学生的研究热情得到了充分发挥，极大地鼓励了学生进行探索研究的精神.
3.高中数学课堂研究性学习内容的选取
在高中数学课堂中引入研究性学习，研究性学习的内容是一个重要的因素，内容选择是否恰当，将直接影响研究性学习的实施，影响数学创新精神和创造能力的培养.综合教学实践和其它相关经验，可以从以下几个方面考虑：
(1)教材中的有关研究性学习
与新课程配套的教材中几乎在每一章后都安排了阅读材料或实习作业或研究性课题，其中阅读材料往往是对本章知识的产生和发展作简要的介绍，并且给出了资料的来源，可以要求学生通过网络、图书馆、专家访谈等方式，收集资料，作出一个详细的报告；实习作业往往给一种思路，要求同学根据这个思路，自己提出一个问题，设计解决方案，调查收集数据，分析解决问题；而研究性课题给出了研究内容，要求学生展开研究并得出结论，这些都是开展研究性学习的很好的内容.
(2)基础知识的拓展
由于教学大纲、教材内容等方面的限制，教材中的很多内容不可能过分的展开和延伸，这些延伸的内容中很多是进行研究性学习的好素材，如，一元二次方程的实根分布；又如，数列一章中等差等比数列的相关知识很明确，而对递推数列的相关知识并没有明确的要求，对此问题进行研究性学习不仅可以巩固等差等比数列的相关知识，更能学会变换、转化等思想方法，培养创新思维和能力.
再如，课本定义球面距离为：“在球面上，两点间的最短距离，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫做这两点的球面距离.”两点的球面距离为何最短，教材并没有说明，这一问题也是进行研究性学习可选择的较好内容.课堂上教师可先提出问题，启发学生思考.通过师生的共同探索，由立体化到平面，寻找以几何模型，即以定线段AB为弦作出的圆中大圆所对的劣弧最短.学生很容易理解，并且学会了分析研究的方法，体验创造性地解决问题的过程，对于基础好的学生可进一步引导，继续探究，最后证明该结论.
(3)习题变式
研究性学习的一个显著特征就是开放性.数学习题中有一部分是开放性问题，开放性问题的答案不固定或者条件不固定，具有显著的思维发散性，学生可以在不同的经验和能力水平上，提出自己的思路和方法，进而培养创新精神和创造能力.开放性问题与研究性学习的特征相吻合，因此开放性问题是研究性学习的重要内容，对课本中一些封闭型问题可以改造成开放性问题进行研究性学习.如，高二解析几何教材上有两个相似的习题：
题1：△ABC一边的两顶点是B(0，-6)，C(0，6)，另两边的斜率乘积是-9/4，求顶点A的轨迹.
题2：△ABC一边的两顶点是B(0，-6)，C(0，6)，另两边的斜率乘积是9/4，求顶点A的轨迹.
在以上两个习题的基础上，将条件开放得到一类轨迹探求问题：
P点到两个定点D(-a,0),D′(a,0)的连线的斜率乘积为定值m，则点P的轨迹是什么?
m取3个恰当的值时，学生通过《几何画板》软件，在同一坐标系内作出了“扁椭圆”，“长椭圆”和双曲线，观察并证明结论，将椭圆和双曲线统一起来，并得到了椭圆和双曲线的又一性质，既学到知识，又体验到了探究轨迹的过程和研究的方法，提高了创造能力，培养了创新意识.
(4)学科知识交叉
高中数学新大纲强调：要增强用数学的意识，学会分析问题和创造性的解决问题，使数学教学成为再创造、再发现的教学.因此在数学应用中选择内容进行研究性学习，为培养创新意识和能力提供了有效途径.
数学是工具学科，学数学不仅是为了提高思维水平，更是为了用数学知识来解决问题和学习其它学科知识，在学科交叉处可以选择内容进行研究性学习.
比如，向量在物理中的应用，立体几何与地理中的经度与纬度，排列组合与生物遗传计算中的应用等.
(5)数学联系生活
我们的生活中有很多数学应用的问题值得研究，鼓励同学们多留心身边的问题，如：某市目前家里用电每度0.53元，用煤气每立方2.2元，在不影响环保的前提下，如果不考虑加热快慢，使用电和煤气到底那个更合算?又如：手机全球通号码收费方法与神州行号码收费方法不同，如果主要是用手机打市内电话的话，选择哪一种更合适?
身边的实际问题很多，只是缺少发现，只要有心就不愁没问题，这些问题大都不具体，是研究性学习的好素材，需要学生设计具体的实施方案，进行资料查询，调查研究，设计实验，数学建模，最后求解问题，学生体验到理论—实践—再到理论—再到实践的过程，体验分析解决此类问题的方法，这种创新思维和创造性的解决问题终生难忘.
三、高中数学课堂研究性学习的实效分析及问题思考
在课堂教学中引入研究性学习，的确是对旧的教学方法的挑战，用它来指导教学的确很实用.在教学中，打破过去的“满堂灌”的教学方法，充分相信学生的能力，让学生自己提出问题并加以研究，教师起到“导航”的作用.教师参与学生的讨论，使师生感情更近一步，学生觉得教师平易近人，改变过去课堂上过于“沉闷”和“严肃”的气氛.创造和谐环境，使整个课堂活跃起来，原来对问题有不同见解的学生，也能大胆发言，不必担心讲错而受批评，学生轻松地、愉快地、自觉地接受新知识.这样容易发现问题的焦点，便于及时解决.教师参与学生练习，便于及时纠正学生的错误，这样便于更好地鼓励学生一题多解，提高学生解题的敏锐性和准确性等.同时，教师参与学生对知识的总结和表达，充分发挥了课堂的群体性作用，加深了学生对新知识的理解、记忆，便于提高课堂教学的有效性.
然而，在数学课堂教学中引入研究性学习是一种新的尝试，无论是理论或实践上都存在有待解决的问题.由于在课外要给学生布置诸如查找资料、社会调查、数学的实际应用等作业，客观上给学生加重了一定的负担.而且，当课堂上的研究性学习课题较大时，教学进度和时 间会受一定影响.要指导好课内、课外的研究性学习，教师必须终生学习与时俱进，这既包括加强与数学有关的物理、化学、生物、地理等学科的理解，数学在实践中的应用，也包括数学理念、方式方法的更新.但一线教师教学任务较重，这给我们提出了很大的挑战.这些问题的解决还有待于广大同仁在实践中进一步探索.
参考文献
［1］王 升主编.研究性学习的理论与实践.教育科学出版社，2002年.
［2］李三平等.研究性学习在中学数学教学中的体现与应用分析.数学教育学报，2004.3.
［3］唐文艳等.“数学情景与提出问题”教学模式的研究性学习因素及体现.数学教育学报 ，2004，4.
［4］夏向东.对研究性学习课程开发的构想.教育科学，2001，2.
［5］赵宏亮.研究性学习在高中数学教学中的渗透.中国基础教育网，2005，2.
一、研究性学习引入高中数学课堂的必要性
教育部颁布的《普通高中研究性学习实施指南》指出，设置研究性学习的目的在于“改变学生以单纯地接受教师传授知识为主的学习方式，为学生构建开放的学习环境，提供多渠道获取知识并将学到的知识加以综合应用于实践的机会，培养创新精神和实践能力”.由此可见，改变教师的教学方式和学生的学习方式是开设研究性学习的重要目的之一.而且《指南》在研究性学习内容的选择和设计上也指出，“教师要在日常的各科教学中，结合教学内容，注重引导学生通过主动探究，解决一些开放性的问题，这也在一定程度上体现了研究性学习的价值与性质.
从本质上看，研究性学习体现了一种新型的学习方式，是从传统教学单纯的“传”与“授”行为转变为让学生通过“研究”这种方式自主选择学习内容、自主决定学习进程、自主安排 学习形式、自主完成学习任务.它理应体现在学生学习的全过程中，包括数学学习过程中.把研究性学习作为“一种学习方式”，引进到数学教学中去，通过研究性学习使数学教学中固有的师生“传承”教学模式得以改变，从而让学生从传统的接受性学习中解放出来.
研究性学习为学生营造了活动、体验、创造的开放性新时空，是学校教学活动的有机组成部分.研究性学习应该而且也必须与教学的其它活动尤其是学科教学活动紧密结合起来，相辅相成，相映成趣，互为补充.在当前基础学科课程和课堂教学占优势的情况下，学生创新精神和实践能力的培养仅仅依托一门“研究性学习”课程是难以奏效的.如果把开展研究性学习简单地理解为增加一门新的课程而忽视向基础课程渗透，一味追求“研究”，刻意制造“轰动”效应，则与我们设置研究性学习的初衷越来越远.
二、高中数学课堂研究性学习教学设计
1.高中数学课堂研究性学习的教学原则
(1)问题性原则.强调以问题为载体和核心，围绕着问题的提出、解决和拓展 而展开课题.
(2)探究性原则.强调学生在探究中学习，在教师指导下，探索已知数学情景 ，发现问题，并探究问题解决的策略和方法.
(3)主体性原则.强调学生是学习的主体，要求学生在教学过程中自主地探究 问题，给予学生对个人价值和信仰问题做出独立决定的机会，在课堂中建立起信赖感、自主 感和勤奋感，形成良好的自我认同感.
(4)互动性原则.强调多重互动，如教师与学生之间，学生与学生之间的互动 的多种形式，互动是一种交流、碰撞、协作的过程，让学生学会与人沟通和交流的方法.
(5)发展性原则.强调着眼于学生的智力因素、非智力心理因素的整合发展， 让学生在获得知识、提高技能的同时，全面提升个人素质.
2.高中数学课堂开展研究性学习的方法
(1)在日常的课堂教学中渗透研究性学习
求知欲是人们思考研究问题的内在动力，学生的求知欲越高，他的主动探索精神越强，就能主动积极进行思维，去寻找问题的答案.教师在教学中可采用引趣、激疑、悬念、讨论等多种途径，活跃课堂气氛，调动学生的学习热情和求知欲望，以帮助学生走出思维低谷.在讲授新课时，教师可根据课题创设问题情境，让学生产生悬念，急于了解问题的结果，而使学生求知欲望大增.在遵循教学规律的基础上，采用生动活泼，富有启发、探索、创新的教学方法，充分激发学生的求知欲，培养学生的学习兴趣，为开展数学研究性学习的活动铺垫了基础.
数学研究性学习的过程是围绕着一个需要解决的数学问题而展开，经过学生直接参与研究，并最终实现问题解决而结束.学生学习数学的过程本身就是一个问题解决的过程.当学生学习一章新的知识、乃至一个新的定理和公式时，对学生来说，就是面临一个新问题.事实上，课本中，不少定理、公式的证明、推导本身就是一节数学研究性学习的好教材.比如，三角函数中，正弦、余弦诱导公式的推导；直线的倾斜角和斜率的研究；直线与抛物线的位置关系等等.以某一数学定理或公式为依据，可以设计适当的问题情景.让学生进行探究，通过自己的努力去发现一般规律，体验研究的乐趣.
(2)以数学问题为研究性学习的载体
在课堂上要形成“问题中心”，把社会生活中的问题搬进课堂内进行研究，使课堂成为问题展示平台、讨论与辨析的场所.培养学生研究性学习的能力，就是要培养学生善于发现问题、解决问题的能力.所以在教学过程中，学生如果带着探索问题的强烈欲望来接受教师所传 授的知识，那么，他们的大脑就会处于积极活动之中，他们所得到的知识就比较深刻、扎实 .教师将研究性学习的思想方法体现在教学全过程，紧密结合教材中的经济、政治、科技、 文化、教育的实际问题渗透学生自主创新性的研究型课题，培养学生的创新精神、实践能力 和研究能力，发展个性特长，初步学会研究性学习.教师要努力促进学生提出问题，对教材 的内容进行反思；促进学生讨论问题，增强问题意识，培养质疑精神；促进学生自觉地把问 题专题化.
我们开展数学的“研究性学习”，就是要让学生自主地去发现、去研究自己感兴趣的问题，亲身体验问题.数学中各式各样的问题为研究性学习提供了许多研究的方向，数学教学中的各种问题都是渗透研究性学习的重要载体.
①在数学的应用题中渗透研究性学习
新课程改革旨在培养学生创新精神和实践能力，改革传统教学理论严重脱离实际的状况.使学生能将学到的数学知识应用到解决实际问题中去，这也是我们研究性学习的一个重要方面.利用数列知识解决购房、购车分期付款问题，利用函数求最值的方法解决现实生活中最佳方案问题等等.带动学生去研究生活中的数学问题，让数学研究性学习带给学生无穷的乐趣，真正做到使学生学以致用.数学的应用不仅是应用数学知识解决问题，更重要的是能够在实际生产、生活中发现问题，提出问题，通过学生的社会调查与实践，在实际生活过程中发现数学问题，研究数学问题，建立解决各种问题的数学模型，这样学生一方面能用所学的数学基础理论解决实际问题，另一方面又能将日常生活中的具体事例抽象成数学模型，数学研究性学习就可以在这样的过程中循环推进.
②在数学开放题中渗透研究性学习
数学开放题能体现数学研究的思想方法，解答过程是探究的过程，能体现数学问题的形成过程，体现解答对象的实际状态，数学开放题有利于因材施教，可以用来培养学生思维的灵活性和发散性，使学生体会学习数学的成功感，使学生体验到数学的美感.将数学开放题用于学生研究性学习是十分有意义的.
开放题的核心是培养学生的创造意识和创新能力，激发学生独立思考和创新的意识，是一种新的教育理念的具体体现.数学开放题作为开展数学研究性学习的一个切入口，促进了数学教育的开放化和个性化，从发现问题和解决问题中培养学生创新精神和实践能力.开放题通常是改变命题结构，改变设问方式，增强问题的探索性以及解决问题过程中的多角度思考，对命题赋予新的解释进而形成和发现新的问题.数学教师应该充分利用研究性学习的机会，编制数学开放题，提高学生运用的能力.
(3)由课内向课外延伸，由课本向课题延伸
随着研究性学习的广泛开展，还带来了课程和教材的改革.现行的《普通高中课程标准实验教科书》(数学)中，每册书上都设置了探究拓展性习题和实习作业，如“分期付款中的有关计算”、“向量在物理中的应用”等等，这些课程内容的有效实施，将会很好的激发学生的求知欲和求知情感，同时也为培养学生的创新精神和实践能力提供很好的机会.
在教学实践中笔者比较注重引导学生关心身边的数学，倡导用数学的眼光来审视丰富多彩的客观世界，同时也让学生感受数学在现实生活及社会各个领域中的广泛应用.就高一数学中我们尝试性进行过的或现在正在进行的研究性课题有：“三角函数线的研究与应用”、“二次函数与二次方程区间根问题的研究”、“彩票中的数学研究”、“电信中各种手机费用数学计算”、以及“分期付款中的有关计算”、“向量在物理中的应用”.尽管在一些课题的研究程度和研究成果上没能达到预期的设想，但是我们毕竟走上了研究性学习的轨道，在这样的一条轨道上行进，学生挖掘出了许多很有价值的东西，学生的研究热情得到了充分发挥，极大地鼓励了学生进行探索研究的精神.
3.高中数学课堂研究性学习内容的选取
在高中数学课堂中引入研究性学习，研究性学习的内容是一个重要的因素，内容选择是否恰当，将直接影响研究性学习的实施，影响数学创新精神和创造能力的培养.综合教学实践和其它相关经验，可以从以下几个方面考虑：
(1)教材中的有关研究性学习
与新课程配套的教材中几乎在每一章后都安排了阅读材料或实习作业或研究性课题，其中阅读材料往往是对本章知识的产生和发展作简要的介绍，并且给出了资料的来源，可以要求学生通过网络、图书馆、专家访谈等方式，收集资料，作出一个详细的报告；实习作业往往给一种思路，要求同学根据这个思路，自己提出一个问题，设计解决方案，调查收集数据，分析解决问题；而研究性课题给出了研究内容，要求学生展开研究并得出结论，这些都是开展研究性学习的很好的内容.
(2)基础知识的拓展
由于教学大纲、教材内容等方面的限制，教材中的很多内容不可能过分的展开和延伸，这些延伸的内容中很多是进行研究性学习的好素材，如，一元二次方程的实根分布；又如，数列一章中等差等比数列的相关知识很明确，而对递推数列的相关知识并没有明确的要求，对此问题进行研究性学习不仅可以巩固等差等比数列的相关知识，更能学会变换、转化等思想方法，培养创新思维和能力.
再如，课本定义球面距离为：“在球面上，两点间的最短距离，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫做这两点的球面距离.”两点的球面距离为何最短，教材并没有说明，这一问题也是进行研究性学习可选择的较好内容.课堂上教师可先提出问题，启发学生思考.通过师生的共同探索，由立体化到平面，寻找以几何模型，即以定线段AB为弦作出的圆中大圆所对的劣弧最短.学生很容易理解，并且学会了分析研究的方法，体验创造性地解决问题的过程，对于基础好的学生可进一步引导，继续探究，最后证明该结论.
(3)习题变式
研究性学习的一个显著特征就是开放性.数学习题中有一部分是开放性问题，开放性问题的答案不固定或者条件不固定，具有显著的思维发散性，学生可以在不同的经验和能力水平上，提出自己的思路和方法，进而培养创新精神和创造能力.开放性问题与研究性学习的特征相吻合，因此开放性问题是研究性学习的重要内容，对课本中一些封闭型问题可以改造成开放性问题进行研究性学习.如，高二解析几何教材上有两个相似的习题：
题1：△ABC一边的两顶点是B(0，-6)，C(0，6)，另两边的斜率乘积是-9/4，求顶点A的轨迹.
题2：△ABC一边的两顶点是B(0，-6)，C(0，6)，另两边的斜率乘积是9/4，求顶点A的轨迹.
在以上两个习题的基础上，将条件开放得到一类轨迹探求问题：
P点到两个定点D(-a,0),D′(a,0)的连线的斜率乘积为定值m，则点P的轨迹是什么?
m取3个恰当的值时，学生通过《几何画板》软件，在同一坐标系内作出了“扁椭圆”，“长椭圆”和双曲线，观察并证明结论，将椭圆和双曲线统一起来，并得到了椭圆和双曲线的又一性质，既学到知识，又体验到了探究轨迹的过程和研究的方法，提高了创造能力，培养了创新意识.
(4)学科知识交叉
高中数学新大纲强调：要增强用数学的意识，学会分析问题和创造性的解决问题，使数学教学成为再创造、再发现的教学.因此在数学应用中选择内容进行研究性学习，为培养创新意识和能力提供了有效途径.
数学是工具学科，学数学不仅是为了提高思维水平，更是为了用数学知识来解决问题和学习其它学科知识，在学科交叉处可以选择内容进行研究性学习.
比如，向量在物理中的应用，立体几何与地理中的经度与纬度，排列组合与生物遗传计算中的应用等.
(5)数学联系生活
我们的生活中有很多数学应用的问题值得研究，鼓励同学们多留心身边的问题，如：某市目前家里用电每度0.53元，用煤气每立方2.2元，在不影响环保的前提下，如果不考虑加热快慢，使用电和煤气到底那个更合算?又如：手机全球通号码收费方法与神州行号码收费方法不同，如果主要是用手机打市内电话的话，选择哪一种更合适?
身边的实际问题很多，只是缺少发现，只要有心就不愁没问题，这些问题大都不具体，是研究性学习的好素材，需要学生设计具体的实施方案，进行资料查询，调查研究，设计实验，数学建模，最后求解问题，学生体验到理论—实践—再到理论—再到实践的过程，体验分析解决此类问题的方法，这种创新思维和创造性的解决问题终生难忘.
三、高中数学课堂研究性学习的实效分析及问题思考
在课堂教学中引入研究性学习，的确是对旧的教学方法的挑战，用它来指导教学的确很实用.在教学中，打破过去的“满堂灌”的教学方法，充分相信学生的能力，让学生自己提出问题并加以研究，教师起到“导航”的作用.教师参与学生的讨论，使师生感情更近一步，学生觉得教师平易近人，改变过去课堂上过于“沉闷”和“严肃”的气氛.创造和谐环境，使整个课堂活跃起来，原来对问题有不同见解的学生，也能大胆发言，不必担心讲错而受批评，学生轻松地、愉快地、自觉地接受新知识.这样容易发现问题的焦点，便于及时解决.教师参与学生练习，便于及时纠正学生的错误，这样便于更好地鼓励学生一题多解，提高学生解题的敏锐性和准确性等.同时，教师参与学生对知识的总结和表达，充分发挥了课堂的群体性作用，加深了学生对新知识的理解、记忆，便于提高课堂教学的有效性.
然而，在数学课堂教学中引入研究性学习是一种新的尝试，无论是理论或实践上都存在有待解决的问题.由于在课外要给学生布置诸如查找资料、社会调查、数学的实际应用等作业，客观上给学生加重了一定的负担.而且，当课堂上的研究性学习课题较大时，教学进度和时 间会受一定影响.要指导好课内、课外的研究性学习，教师必须终生学习与时俱进，这既包括加强与数学有关的物理、化学、生物、地理等学科的理解，数学在实践中的应用，也包括数学理念、方式方法的更新.但一线教师教学任务较重，这给我们提出了很大的挑战.这些问题的解决还有待于广大同仁在实践中进一步探索.
参考文献
［1］王 升主编.研究性学习的理论与实践.教育科学出版社，2002年.
［2］李三平等.研究性学习在中学数学教学中的体现与应用分析.数学教育学报，2004.3.
［3］唐文艳等.“数学情景与提出问题”教学模式的研究性学习因素及体现.数学教育学报 ，2004，4.
［4］夏向东.对研究性学习课程开发的构想.教育科学，2001，2.
［5］赵宏亮.研究性学习在高中数学教学中的渗透.中国基础教育网，2005，2.
