“四能”视角下的“直线与圆的位置关系”教学设计与反思

    刘继华

    

    

    [摘 ?要] 新课程标准提出了“四能”的目标要求. 文章以“四能”视角下浙教版九年级下册“直线与圆的位置关系”的教学设计与反思为例，引领学生不断经历发现和提出问题、分析和解决问题的过程.

    [关键词] 四能;发现和提出问题;分析和解决问题

    新课程标准的总目标中明确提出，增强学生“发现和提出问题的能力，分析和解决问题的能力”. 数学核心素养的培养，关键是如何提升学生的“四能”. 发展学生的“四能”，应贯穿整个数学教育的过程，应切实落实到每一堂课中. 本文以浙教版九年级下册“直线与圆的位置关系”为例，谈谈“四能”视角下的课例设计与教学反思.

    课例简要回顾

    1. 类比思考，提出问题

    问题1：研究几何图形时，常常研究几何图形的哪些关系？

    问题2：两条直线之间有哪些位置关系？如何判定？

    问题3：点与圆之间有哪些位置关系？如何判定？

    问题4：对于点、直线、圆这三种几何图形，还可以研究它们之间的哪些位置关系？

    （学生提出研究内容，教师板书课题）

    设计意图 这节课是初中阶段最后一次探究图形位置关系的起始课，所以有必要对初中之前学过的与几何图形位置关系相关的知识以及判定方法做一个简单的回顾与总结，以帮助学生建立新知识与旧知识之间的联系，为后续知识的学习以及研究方法的寻求奠定基础.

    2. 自主探究，定性概括

    问题5：如图1，自主探究，移动小棒，直观感受直线与圆的位置关系可以分为几种情况，并交流你的分类标准.

    （学生板演直线与圆的三种位置关系，并交流分类标准. 教师给出直线与圆相交、相切、相离的定义）

    问题6：你能举出生活中能抽象成直线与圆位置关系的具体例子吗？

    问题7：如图2，请同学们看图判断直线l与⊙O的位置关系.

    （对于第三幅图，请几个学生找公共点）

    问题8：当公共点的个数不容易判断时，有其他方法吗？

    设计意图 通过公共点的个数判断直线与圆的位置关系，比较直观，所以此环节采取自主探究. 在探究的过程中移动小棒，而不是直接让学生在圆上画直线，目的是让学生在移动小棒的过程中感受一种连续的过程，并定性概括出判断直线与圆位置关系的方法. 在获得结论的基础上，让学生举出生活中的例子，能让学生体会数学与生活的联系，从而既巩固新知又培养抽象思维. 请几个学生找公共点，能引发学生的认知冲突，能让他们在思维碰撞中感受研究数量关系判断直线与圆位置关系的必要性.

    3. 合作交流，定量刻画

    问题9：你是从哪里得到启示，想到利用点到直线的距离d与圆半径r作比较的？

    问题10：合作学习，请同学们动手画一画，看能否利用数量关系判断直线与圆的位置关系，交流并解释你们小组的探究结论.

    问题11：为什么选择圆心到直线的距离作为d？以相切为例进行说明.

    问题12：以相切为例，说说为什么d=r时，直线与圆相切.

    问题13：请试着说明其他两种情况.

    问题14：以相切为例说明，反过来，已知直线与圆相切，能否推出d=r.

    问题15：请试着说明其他两种情况.

    设计意图 此环节让学生经历了“类比—实验—猜想—证明”的探索过程. 类比数量关系判断点与圆的位置关系的方法，引入数量关系来判断直线与圆的位置关系. 通过小组合作实验，猜想由数量关系推出位置关系的结论，接着继续引导学生深入思考“由位置关系可否推出数量关系”，并验证双向推出符号的准确性，培养学生的推理能力.

    4. 承前启后，阶段小结

    问题16：判断直线与圆的位置关系的方法有两种. 方法一，由__________的个数来判断;方法二，由__________的大小关系来判断.

    设计意图 学生通过阶段性小结，能对两种判断方法有整体、系统的认识，并加深理解，从而为后续新知的灵活应用奠定基础.

    5. 巩固新知，学以致用

    设计意图 用数量关系来判断直线与圆的位置关系，关键是找出d与r，然后进行比较，最后得出结论. 两道习题与一道例题的编排顺序，符合学生思维的连续性，步步深入. 练习1中，r已知，d已知;练习2中，r已知，d未知;练习3中，r未知，d未知. 练习题的设计巧妙，在解决的过程中，诠释了数量关系与位置关系的互推过程.

    6. 內化新知，应用实际

    例1 在码头A的北偏东60°方向上有一个海岛，离该岛中心P的12海里范围内是一个暗礁区. 轮船从码头A由西向东航行，行驶了10海里到达点B，此时岛中心P在轮船的北偏东45°方向上. 若轮船不改变航向，则轮船会不会进入暗礁区？

    问题17：暗礁区是什么形状？轮船航行的路线是什么图形？

    问题18：请同学们画出示意图，用具体形象的图形来表示抽象的条件.

    问题19：“轮船会不会进入暗礁区”，这个问题可以转化成怎样的数学模型？

    问题20：如果轮船会进入暗礁区，此时直线与圆有怎样的位置关系？如果轮船不会进入暗礁区，此时直线与圆有怎样的位置关系？

    问题21：判断直线与圆的位置关系时，关键是要找到哪两个量？圆的半径r已知了吗？距离d已知吗？距离d是哪条线段的距离？

    设计意图 在例1的教学过程中，笔者留给学生充足的时间经历实际问题的探索. 首先，让学生认真读题，将抽象的条件用具体的示意图来表示. 教师用问题串，引导学生把实际问题抽象成数学问题，然后寻求恰当的模型，再根据所学的判断方法求解模型，同时考虑解的数学意义与实际意义，最后解释实际现象.

    7. 知识梳理，课堂小结