三次函数的图像与性质在高考中的应用

徐守军
我们借助几何画板软件，较为深入地研究三次函数的图象与性质，并利用图象与性质解决07年高考数学卷中出现的一部分试题.
一、三次函数的图象与性质
利用求导的方法，可以求得三次函数的导数f′(x)=3ax2+2bx+c是二次函数，由于原函数的极值点与单调性与导函数的正负有关，所以容易发现导函数中的参数a与△的符号起决定性作用.下面我们就来研究三次函数与x轴的交点问题.
1、当a>0时，f′(x)=3ax2+2bx+c,
△=4b2-12ac=4(b2-3ac).
(1)若△>0，方程f′(x)=0有两个不相等的实数根，记作x1,x2，且x1f(x2).
性质1：①f(x1)?f(x2)>0时，函数ゝ(x)的图象与x轴有且仅有一个公共点；
②f(x1)?f(x2)=0时，函数f(x)的图象与x轴有且仅有两个公共点；
③f(x1)?f(x2)<0时，即f(x1)>0,ゝ(x2)<0时，函数f(x)的图象与x轴有三个公共点.
(2)若△≤0，则f′(x)≥0在R上恒成立，函数f(x)在R上单调递增，无极值，图象与x轴有且仅有一个公共点.
2、当a<0时，f′(x)=3ax2+2bx+c,
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”