例谈立体几何中“存在”型问题的向量解法
牛立新
结论不确定的探索性问题，通常称之为“存在型”问题，这类问题经常以“是否存在”，“是否有”，“是否可能”等语句出现，以示结论有待判断.“存在型”问题是较典型的开放探索性问题，由于数学开放题有利于学生创新意识的培养和良好思维品质的形成，它越来越受到命题者的青睐和研究.由于新教材中向量的引入，尤其把向量用坐标表示，这便为用“数”的方法研究立几中“形”的问题建立了崭新的平台.使得几何问题代数化，不仅可以降低空间想象的难度，而且具有很强的可操作性，使此类问题的解答简明流畅，有法可循，达到避繁就简，化难为易，事倍功半的效果，同时体现了新教材的优势功能.本文举例说明立体几何中“存在”型问题的向量解法，以供参考.
一、探求比值问题
例1 (2002年全国高考题)如图1，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°，则当CDCC1的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD?请给出证明.
解：设C1在底面上的射影为O，因而面CC1A1A⊥面ABCD，且交线为AC，所以O在AC上，以O为原点，OC1所在直线为z轴，AC所在直线为x轴，建立如图1所示的空间直角坐标系O-xyz.设CD=a,CC1=b(a>0，b>0).那么C(33b,0,0),D(-32a+33b,a2,0),B(-32a+33b,-a2,0),C1(0,0,63b),狝1(-3a,0,63b).∴〤A1=(-3a-33b,0,63b),〤1B=(-32a+33b,-a2,-63b),〣D=(0,a，0).若A1C⊥平面C1BD，则〢1C?〤1B=0，
〢1C?〣D=0，即(-3a-33b)(-3a+33b)-23 b2=0，化简得3a2-ab-2b2=0.即(a-b)(3a+2b)=0.
∴ab=1或ab=-23(舍去).
故当CDC1C=1时，A1C⊥平面C1BD.
评注：尽管点的坐标计算有一定难度，但均可在平面三角形中完成，而后面垂直关系的判断则非常简单.
二、探求点问题
例2 如图2，已知ABCD为边长是1的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=1，试问PB上是否存在一点M，使平面MAC与底面ABC成60°角?若存在，请求出点M的位置；若不存在，请说明理由.
解：由题意建立如图2所示的空间直角坐标系A-xyz.则A(0，0，0)，C(1，1，0)，P(0，0，1)，假设PB上存在一点M，设M点在x,z轴上的正投影分别为E，F，设AE=a，则AF=1-a，即M(a,0,1-a)，且0x0+y0=0,令z0=a，则x0=a-1,y0=1-a，即n=(a-1,1-a,a).由玞os=|n?〢P遼|n遼?|〢P遼，
得12=|a|(a-1)2+(1-a)2+a2?02+02+12,化简得a=6-2,即M(6-2,0,3-6)，
即存在一点M，当PMMB=23时，平面MAC与底面ABC成60°角.
评注：用两平面的法向量夹角来刻划两平面夹角，是用空间向量处理立几问题的通法.
三、探求范围问题
例3 (2006年重庆卷)如图3，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠DAB为直角，AB∥CD,AD=CD=2AB,E、F分别为PC、CD的中点.设PA=kAB，且二面角E-BD-C的平面角大于30°，求k的取值范围.
解：如图3，以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，设AB=a，则易知点A，B，C，D，F的坐标分别为：A(0,0,0),B(a,0,0),C(2a,2a,0),D(0,2a,0),F(a,2a,0),设E在xOy平面上的投影为G，过G作GH⊥BD，垂足为H，由三垂线定理知EH⊥BD.从而∠EHG为二面角E-BD-C的平面角.由PA=kAB，得P(0,0,ka),Ea,a,ka2,
G(a,a,0).设H(x,y,0)，则〨H=(x-a,y-a,0),〣D=(-a,2a,0),由〨H?〣D=0，得
-a(x-a)+2a(y-a)=0，
即x-2y=-a ①
又因〣H=(x-a,y,0)，且〣H哂氇〣D叩姆较蛳嗤，故x-a-a=y2a，即2x+y=2a ②
由①②解得x=35a,y=45a，从而〨H=-25a,-15a,0,|〨H遼=55a，
玹an∠EHG=|〦G遼|〨H遼=ka255a=52k.
由k>0知，∠EHG是锐角，由∠EHG>30°，得玹an∠EHG>玹an30°，即52k>33.
故k的取值范围为k>21515.
由以上几例可以看出，高考数学命题把开放题作为重要的题型引入到试卷中来，是将新课标的理念渗透于其中.另外利用向量法解决立体几何的“存在型”问题，为学生提供了崭新的视角，丰富了他们的思维结构.同时，拓宽了学生的解题思路，发挥了新教材的优势功能，对学生更好的理解和掌握平面向量有关内容以及后续学习奠定了基础.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
结论不确定的探索性问题，通常称之为“存在型”问题，这类问题经常以“是否存在”，“是否有”，“是否可能”等语句出现，以示结论有待判断.“存在型”问题是较典型的开放探索性问题，由于数学开放题有利于学生创新意识的培养和良好思维品质的形成，它越来越受到命题者的青睐和研究.由于新教材中向量的引入，尤其把向量用坐标表示，这便为用“数”的方法研究立几中“形”的问题建立了崭新的平台.使得几何问题代数化，不仅可以降低空间想象的难度，而且具有很强的可操作性，使此类问题的解答简明流畅，有法可循，达到避繁就简，化难为易，事倍功半的效果，同时体现了新教材的优势功能.本文举例说明立体几何中“存在”型问题的向量解法，以供参考.
一、探求比值问题
例1 (2002年全国高考题)如图1，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°，则当CDCC1的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD?请给出证明.
解：设C1在底面上的射影为O，因而面CC1A1A⊥面ABCD，且交线为AC，所以O在AC上，以O为原点，OC1所在直线为z轴，AC所在直线为x轴，建立如图1所示的空间直角坐标系O-xyz.设CD=a,CC1=b(a>0，b>0).那么C(33b,0,0),D(-32a+33b,a2,0),B(-32a+33b,-a2,0),C1(0,0,63b),狝1(-3a,0,63b).∴〤A1=(-3a-33b,0,63b),〤1B=(-32a+33b,-a2,-63b),〣D=(0,a，0).若A1C⊥平面C1BD，则〢1C?〤1B=0，
〢1C?〣D=0，即(-3a-33b)(-3a+33b)-23 b2=0，化简得3a2-ab-2b2=0.即(a-b)(3a+2b)=0.
∴ab=1或ab=-23(舍去).
故当CDC1C=1时，A1C⊥平面C1BD.
评注：尽管点的坐标计算有一定难度，但均可在平面三角形中完成，而后面垂直关系的判断则非常简单.
二、探求点问题
例2 如图2，已知ABCD为边长是1的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=1，试问PB上是否存在一点M，使平面MAC与底面ABC成60°角?若存在，请求出点M的位置；若不存在，请说明理由.
解：由题意建立如图2所示的空间直角坐标系A-xyz.则A(0，0，0)，C(1，1，0)，P(0，0，1)，假设PB上存在一点M，设M点在x,z轴上的正投影分别为E，F，设AE=a，则AF=1-a，即M(a,0,1-a)，且0x0+y0=0,令z0=a，则x0=a-1,y0=1-a，即n=(a-1,1-a,a).由玞os
得12=|a|(a-1)2+(1-a)2+a2?02+02+12,化简得a=6-2,即M(6-2,0,3-6)，
即存在一点M，当PMMB=23时，平面MAC与底面ABC成60°角.
评注：用两平面的法向量夹角来刻划两平面夹角，是用空间向量处理立几问题的通法.
三、探求范围问题
例3 (2006年重庆卷)如图3，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠DAB为直角，AB∥CD,AD=CD=2AB,E、F分别为PC、CD的中点.设PA=kAB，且二面角E-BD-C的平面角大于30°，求k的取值范围.
解：如图3，以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，设AB=a，则易知点A，B，C，D，F的坐标分别为：A(0,0,0),B(a,0,0),C(2a,2a,0),D(0,2a,0),F(a,2a,0),设E在xOy平面上的投影为G，过G作GH⊥BD，垂足为H，由三垂线定理知EH⊥BD.从而∠EHG为二面角E-BD-C的平面角.由PA=kAB，得P(0,0,ka),Ea,a,ka2,
G(a,a,0).设H(x,y,0)，则〨H=(x-a,y-a,0),〣D=(-a,2a,0),由〨H?〣D=0，得
-a(x-a)+2a(y-a)=0，
即x-2y=-a ①
又因〣H=(x-a,y,0)，且〣H哂氇〣D叩姆较蛳嗤，故x-a-a=y2a，即2x+y=2a ②
由①②解得x=35a,y=45a，从而〨H=-25a,-15a,0,|〨H遼=55a，
玹an∠EHG=|〦G遼|〨H遼=ka255a=52k.
由k>0知，∠EHG是锐角，由∠EHG>30°，得玹an∠EHG>玹an30°，即52k>33.
故k的取值范围为k>21515.
由以上几例可以看出，高考数学命题把开放题作为重要的题型引入到试卷中来，是将新课标的理念渗透于其中.另外利用向量法解决立体几何的“存在型”问题，为学生提供了崭新的视角，丰富了他们的思维结构.同时，拓宽了学生的解题思路，发挥了新教材的优势功能，对学生更好的理解和掌握平面向量有关内容以及后续学习奠定了基础.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
