浅析用判别式法求分式函数的值域的困惑及解决措施

张长雁
一、引入
判别式法是求分式函数值域的一种好的方法,但在具体的教学中不易操控,学生对判别式法的使用仍存在着不少的疑惑.教师如何进行判别式法的课堂教学,是一个值得思考的问题.
二、问题解答
形如分式函数y=f(x)=ax2+bx+cdx2+ex+f,如何用判别式法求其值域.因为函数的三要素中只要知道定义域和对应法则,就可以确定函数的值域.所以按函数的定义域分类.
1、当函数的定义域为实数集R时
例1 求函数y=x2-2x+1x2+x+1的值域.
解:由于x2+x+1=(x+12)2+34>0,所以函数的定义域是R.去分母:y(x2+x+1)=x2-2x+1,移项整理得(y-1)x2+(y+2)x+(y-1)=0.
(1)当y≠1时,由△≥0得0≤y≤4;
(2)当y=1时,x=0.
综上所述知原函数的值域为[0,4].
2、当函数的定义域不是实数集R时
例2 求函数y=x2-2x+1x2+x-2的值域.
解:由分母不为零知,函数的定义域
A={x∈R|x≠-2且x≠1}.
去分母:y(x2+x-2)=x2-2x+1,移项整理得(y-1)x2+(y+2)x+(2y+1)=0.
(1)当y≠1时,由△≥0得y2≥0輞∈R.
检验:△=0輞=0輝=1麬,∴y≠0.
(2)当y=1时,x=1麬,所以y≠1.
综上所述知原函数的值域为{y∈R|y≠0且y≠1}.
3、布置练习
求函数y=x2-x+1x2-2x-3的值域.
学生的解答:原函数的定义域A={x|x≠-1且x≠3}.
由原方程y=x2-x+1x2-2x-3去分母、整理得y(x2-2x-3)=x2-x+1(*),
即(y-1)x2-(2y-1)x-3y-1=0.
(玦)当y=1时,x=-4麬,适合题意.
(玦i)当y≠1时,由△≥0輞≤3-218或y≥3+218.
三、学生的疑惑
疑惑1:例1中如何得知方程的判别式大于或等于零?为什么要讨论(2)?怎样由y=1得x=0?能否去掉(2)?
疑惑2:例2(1)中,为何要对“△=0”进行“检验”,而例1中却没有?
疑惑3:例2中检验时,应该将y=0代入哪一个方程中,求得x的值?
疑惑4:练习题中,如何检验△=0是否成立?
四、教学措施
(一)解释疑惑1
教师:例1中函数的定义域为R,说明什么问题?
学生:对于任意的实数x,分式有意义.
教师:如何从等式的角度理解?
学生:对于任意的实数x,等式恒成立.
教师:去分母、整理后的等式是否为原等式的等价变形?
学生:是.
教师:从方程角度如何理解?(渗透方程思想)
学生:关于x的方程在实数范围内有解.
教师:关于x的几次方程?
学生:二次方程.
教师:一定是二次方程吗?
学生:(学生思考、讨论后回答)不一定,需分类讨论.
教师:这样例1的(1)步中一元二次方程在实数范围内是否有解?
学生:有解,噢,所以△≥0.但不知道(2)的意思,如何由y=1时,得到x=0?
教师:由y=1代入到原方程y=x2-2x+1x2+x+1得x=0,x的值是否在原函数的定义域内?
学生:在.
教师:为什么?
学生:因为原函数的定义域是R,噢,y就可以取1了.第(2)步就不可缺少了.
(二)解释疑惑2
学生:例2(1)中,为何要对“△=0”进行“检验”,而例1中却没有?
教师:例2中的每一步的变形过程是否等价?
学生:不是.因为y(x2+x-2)=x2-2x+1中x2+x-2可以为0,而原方程y=x2-2x+1x2+x-2中,分母不为0.
教师:那么,例1中的每一步的变形过程是否等价?
学生:是.
教师:为什么?
学生:因为例1中无论x取任何实数,分母都大于0.
教师:这就是说,例1中每一步都为等价变形,因此变形的过程中关于x的方程不会出现增根,就不必检验△=0了.但对于例2却不是这样的,由以上的分析知道,例2中的每一步的变形过程不是等价的,因此变形的过程中会出现增根,这样,我们必须检验△=0是否成立?即检验使△=0的x的值是否满足原函数的定义域,如例2中由“△=0輞=0輝=1麬”知道y=0必须舍去.
(三)解释疑惑3
学生:按照老师您的说法,例2中检验时,应该将y=0代入哪一个方程中,求得x的值?
教师:当然是原方程了.
(四)解释疑惑4
学生:由“△≥0輞≤3-218或y≥3+218”得“△=0”的条件是y=3-218或y=3+218”,但将y的值代入原方程中,不知如何计算?
(教师原以为,给学生布置练习题只要达到巩固判别式法的目的就行,但实际检验“△=0”是否成立时,计算过程繁杂,运算量大.学生畏难不想作下去,从而产生“判别式法”不好的感觉,还需要做深入的探究.可喜的是此时已经形成了良好的课堂教学情景,抓住契机,师生共同讨论解决的方案)
教师:;回想练习的求解过程,什么时候方程会产生增根?
学生:由原方程到整式方程(*)的这个去分母的过程,会产生增根.
教师:假若由y的值代入到原方程后,解得x=1或x=-3,说明y的值是否满足题意?为什么?
学生:不满足,应该将y的值舍去.因为x麬.
教师:但x=1或x=-3是否为整式方程(*)的解?
学生:是.
教师:也就是说,将y的值和使分母为0的x的值同时代入整式方程(*)中,若方程成立,则y的值应该舍去,因为y的值使得原方程产生了增根.若方程不成立,则说明由y的值肯定得不到x=1或x=-3,x的值一定在定义域A内,所以y的值满足题意.比如:例2中将使“△=0”的“y=0”和使分母为0的“x=1”代入到整式方程:y(x2+x-2)=x2-2x+1,得0×0=0,方程成立.所以y=0舍去.按照这个方法去检验使“△=0”的y=3-218或y=3+218,就容易知道:当y=3-218且x=-1时,由y(x2-2x-3)=x2-x+1得3-218×[(-1)2-2×(-1)-3]=(-1)2-(-1)+1,即3-218×0=1显然方程不成立,同理,当y=3-218且x=3时,方程仍然不成立,故y=3-218满足题意,同理可得y=3+218也满足题意.那么,综合上述练习中(玦)和(玦i)知道,所求的函数的值域是什么?
学生:应该是(玦)和(玦i)两种情况下,关于y的集合的并集.
即为{y|≤3-218或y≥3+218}∪{y∈R|y=1}.
教师:能不能化简?(学生思考片刻后回答)
学生:能.
教师:化简成怎样的形式?
学生:因为3+218<3+258=1,所以函数的值域是{y|≤3-218或y≥3+218}.
五、反思
上述利用判别式法求函数的值域过程渗透了方程思想、等价转化思想.我们不是要求学生对判别式法的机械模仿,而是培养学生的反思能力,更重要的是引导学生理解蕴涵在方法内的数学思想,尤其是在目前的新课程改革实践中,更需要教师在课堂教学这一教学前沿阵地,以数学思想为指导,不断地改进教法和学生的学法,着重培养学生的数学应用意识、探究意识和创新意识,全面提高学生的综合数学素质.
参考文献
[1]石保军.用判别式法求分式函数的值域.中学数学教学参考,2004,(5).
[2]高东英.利用△法求函数值域应注意的问题.中学数学教学参考,2004,(7).
注:“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
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