浅析用判别式法求分式函数的值域的困惑及解决措施
张长雁
一、引入
判别式法是求分式函数值域的一种好的方法，但在具体的教学中不易操控，学生对判别式法的使用仍存在着不少的疑惑.教师如何进行判别式法的课堂教学，是一个值得思考的问题.
二、问题解答
形如分式函数y=f(x)=ax2+bx+cdx2+ex+f，如何用判别式法求其值域.因为函数的三要素中只要知道定义域和对应法则，就可以确定函数的值域.所以按函数的定义域分类.
1、当函数的定义域为实数集R时
例1 求函数y=x2-2x+1x2+x+1的值域.
解：由于x2+x+1=(x+12)2+34>0，所以函数的定义域是R.去分母：y(x2+x+1)=x2-2x+1,移项整理得(y-1)x2+(y+2)x+(y-1)=0.
(1)当y≠1时，由△≥0得0≤y≤4;
(2)当y=1时，x=0.
综上所述知原函数的值域为［0，4］.
2、当函数的定义域不是实数集R时
例2 求函数y=x2-2x+1x2+x-2的值域.
解：由分母不为零知，函数的定义域
A={x∈R|x≠-2且x≠1}.
去分母：y(x2+x-2)=x2-2x+1,移项整理得(y-1)x2+(y+2)x+(2y+1)=0.
(1)当y≠1时，由△≥0得y2≥0輞∈R.
检验：△=0輞=0輝=1麬，∴y≠0.
(2)当y=1时，x=1麬，所以y≠1.
综上所述知原函数的值域为{y∈R|y≠0且y≠1}.
3、布置练习
求函数y=x2-x+1x2-2x-3的值域.
学生的解答：原函数的定义域A={x|x≠-1且x≠3}.
由原方程y=x2-x+1x2-2x-3去分母、整理得y(x2-2x-3)=x2-x+1(*),
即(y-1)x2-(2y-1)x-3y-1=0.
(玦)当y=1时，x=-4麬，适合题意.
(玦i)当y≠1时，由△≥0輞≤3-218或y≥3+218.
三、学生的疑惑
疑惑1：例1中如何得知方程的判别式大于或等于零?为什么要讨论(2)?怎样由y=1得x=0?能否去掉(2)?
疑惑2：例2(1)中，为何要对“△=0”进行“检验”，而例1中却没有?
疑惑3：例2中检验时，应该将y=0代入哪一个方程中，求得x的值?
疑惑4：练习题中，如何检验△=0是否成立?
四、教学措施
(一)解释疑惑1
教师：例1中函数的定义域为R，说明什么问题?
学生：对于任意的实数x，分式有意义.
教师：如何从等式的角度理解?
学生：对于任意的实数x,等式恒成立.
教师：去分母、整理后的等式是否为原等式的等价变形?
学生：是.
教师：从方程角度如何理解?(渗透方程思想)
学生：关于x的方程在实数范围内有解.
教师：关于x的几次方程?
学生：二次方程.
教师：一定是二次方程吗?
学生：(学生思考、讨论后回答)不一定，需分类讨论.
教师：这样例1的(1)步中一元二次方程在实数范围内是否有解?
学生：有解，噢，所以△≥0.但不知道(2)的意思，如何由y=1时，得到x=0?
教师：由y=1代入到原方程y=x2-2x+1x2+x+1得x=0，x的值是否在原函数的定义域内?
学生：在.
教师：为什么?
学生：因为原函数的定义域是R，噢，y就可以取1了.第(2)步就不可缺少了.
(二)解释疑惑2
学生：例2(1)中，为何要对“△=0”进行“检验”，而例1中却没有?
教师：例2中的每一步的变形过程是否等价?
学生：不是.因为y(x2+x-2)=x2-2x+1中x2+x-2可以为0，而原方程y=x2-2x+1x2+x-2中，分母不为0.
教师：那么，例1中的每一步的变形过程是否等价?
学生：是.
教师：为什么?
学生：因为例1中无论x取任何实数，分母都大于0.
教师：这就是说，例1中每一步都为等价变形，因此变形的过程中关于x的方程不会出现增根，就不必检验△=0了.但对于例2却不是这样的，由以上的分析知道，例2中的每一步的变形过程不是等价的，因此变形的过程中会出现增根，这样，我们必须检验△=0是否成立?即检验使△=0的x的值是否满足原函数的定义域，如例2中由“△=0輞=0輝=1麬”知道y=0必须舍去.
(三)解释疑惑3
学生：按照老师您的说法，例2中检验时，应该将y=0代入哪一个方程中，求得x的值?
教师：当然是原方程了.
(四)解释疑惑4
学生：由“△≥0輞≤3-218或y≥3+218”得“△=0”的条件是y=3-218或y=3+218”，但将y的值代入原方程中，不知如何计算?
(教师原以为，给学生布置练习题只要达到巩固判别式法的目的就行，但实际检验“△=0”是否成立时，计算过程繁杂，运算量大.学生畏难不想作下去，从而产生“判别式法”不好的感觉，还需要做深入的探究.可喜的是此时已经形成了良好的课堂教学情景，抓住契机，师生共同讨论解决的方案)
教师：；回想练习的求解过程，什么时候方程会产生增根?
学生：由原方程到整式方程(*)的这个去分母的过程，会产生增根.
教师：假若由y的值代入到原方程后，解得x=1或x=-3，说明y的值是否满足题意?为什么?
学生：不满足，应该将y的值舍去.因为x麬.
教师：但x=1或x=-3是否为整式方程(*)的解?
学生：是.
教师：也就是说，将y的值和使分母为0的x的值同时代入整式方程(*)中，若方程成立，则y的值应该舍去，因为y的值使得原方程产生了增根.若方程不成立，则说明由y的值肯定得不到x=1或x=-3，x的值一定在定义域A内，所以y的值满足题意.比如：例2中将使“△=0”的“y=0”和使分母为0的“x=1”代入到整式方程：y(x2+x-2)=x2-2x+1,得0×0=0，方程成立.所以y=0舍去.按照这个方法去检验使“△=0”的y=3-218或y=3+218,就容易知道：当y=3-218且x=-1时，由y(x2-2x-3)=x2-x+1得3-218×［(-1)2-2×(-1)-3］=(-1)2-(-1)+1,即3-218×0=1显然方程不成立，同理，当y=3-218且x=3时，方程仍然不成立，故y=3-218满足题意，同理可得y=3+218也满足题意.那么，综合上述练习中(玦)和(玦i)知道，所求的函数的值域是什么?
学生：应该是(玦)和(玦i)两种情况下，关于y的集合的并集.
即为{y|≤3-218或y≥3+218}∪{y∈R|y=1}.
教师：能不能化简?(学生思考片刻后回答)
学生：能.
教师：化简成怎样的形式?
学生：因为3+218<3+258=1，所以函数的值域是{y|≤3-218或y≥3+218}.
五、反思
上述利用判别式法求函数的值域过程渗透了方程思想、等价转化思想.我们不是要求学生对判别式法的机械模仿，而是培养学生的反思能力，更重要的是引导学生理解蕴涵在方法内的数学思想，尤其是在目前的新课程改革实践中，更需要教师在课堂教学这一教学前沿阵地，以数学思想为指导，不断地改进教法和学生的学法，着重培养学生的数学应用意识、探究意识和创新意识，全面提高学生的综合数学素质.
参考文献
［1］石保军.用判别式法求分式函数的值域.中学数学教学参考，2004，(5).
［2］高东英.利用△法求函数值域应注意的问题.中学数学教学参考，2004，(7).
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
一、引入
判别式法是求分式函数值域的一种好的方法，但在具体的教学中不易操控，学生对判别式法的使用仍存在着不少的疑惑.教师如何进行判别式法的课堂教学，是一个值得思考的问题.
二、问题解答
形如分式函数y=f(x)=ax2+bx+cdx2+ex+f，如何用判别式法求其值域.因为函数的三要素中只要知道定义域和对应法则，就可以确定函数的值域.所以按函数的定义域分类.
1、当函数的定义域为实数集R时
例1 求函数y=x2-2x+1x2+x+1的值域.
解：由于x2+x+1=(x+12)2+34>0，所以函数的定义域是R.去分母：y(x2+x+1)=x2-2x+1,移项整理得(y-1)x2+(y+2)x+(y-1)=0.
(1)当y≠1时，由△≥0得0≤y≤4;
(2)当y=1时，x=0.
综上所述知原函数的值域为［0，4］.
2、当函数的定义域不是实数集R时
例2 求函数y=x2-2x+1x2+x-2的值域.
解：由分母不为零知，函数的定义域
A={x∈R|x≠-2且x≠1}.
去分母：y(x2+x-2)=x2-2x+1,移项整理得(y-1)x2+(y+2)x+(2y+1)=0.
(1)当y≠1时，由△≥0得y2≥0輞∈R.
检验：△=0輞=0輝=1麬，∴y≠0.
(2)当y=1时，x=1麬，所以y≠1.
综上所述知原函数的值域为{y∈R|y≠0且y≠1}.
3、布置练习
求函数y=x2-x+1x2-2x-3的值域.
学生的解答：原函数的定义域A={x|x≠-1且x≠3}.
由原方程y=x2-x+1x2-2x-3去分母、整理得y(x2-2x-3)=x2-x+1(*),
即(y-1)x2-(2y-1)x-3y-1=0.
(玦)当y=1时，x=-4麬，适合题意.
(玦i)当y≠1时，由△≥0輞≤3-218或y≥3+218.
三、学生的疑惑
疑惑1：例1中如何得知方程的判别式大于或等于零?为什么要讨论(2)?怎样由y=1得x=0?能否去掉(2)?
疑惑2：例2(1)中，为何要对“△=0”进行“检验”，而例1中却没有?
疑惑3：例2中检验时，应该将y=0代入哪一个方程中，求得x的值?
疑惑4：练习题中，如何检验△=0是否成立?
四、教学措施
(一)解释疑惑1
教师：例1中函数的定义域为R，说明什么问题?
学生：对于任意的实数x，分式有意义.
教师：如何从等式的角度理解?
学生：对于任意的实数x,等式恒成立.
教师：去分母、整理后的等式是否为原等式的等价变形?
学生：是.
教师：从方程角度如何理解?(渗透方程思想)
学生：关于x的方程在实数范围内有解.
教师：关于x的几次方程?
学生：二次方程.
教师：一定是二次方程吗?
学生：(学生思考、讨论后回答)不一定，需分类讨论.
教师：这样例1的(1)步中一元二次方程在实数范围内是否有解?
学生：有解，噢，所以△≥0.但不知道(2)的意思，如何由y=1时，得到x=0?
教师：由y=1代入到原方程y=x2-2x+1x2+x+1得x=0，x的值是否在原函数的定义域内?
学生：在.
教师：为什么?
学生：因为原函数的定义域是R，噢，y就可以取1了.第(2)步就不可缺少了.
(二)解释疑惑2
学生：例2(1)中，为何要对“△=0”进行“检验”，而例1中却没有?
教师：例2中的每一步的变形过程是否等价?
学生：不是.因为y(x2+x-2)=x2-2x+1中x2+x-2可以为0，而原方程y=x2-2x+1x2+x-2中，分母不为0.
教师：那么，例1中的每一步的变形过程是否等价?
学生：是.
教师：为什么?
学生：因为例1中无论x取任何实数，分母都大于0.
教师：这就是说，例1中每一步都为等价变形，因此变形的过程中关于x的方程不会出现增根，就不必检验△=0了.但对于例2却不是这样的，由以上的分析知道，例2中的每一步的变形过程不是等价的，因此变形的过程中会出现增根，这样，我们必须检验△=0是否成立?即检验使△=0的x的值是否满足原函数的定义域，如例2中由“△=0輞=0輝=1麬”知道y=0必须舍去.
(三)解释疑惑3
学生：按照老师您的说法，例2中检验时，应该将y=0代入哪一个方程中，求得x的值?
教师：当然是原方程了.
(四)解释疑惑4
学生：由“△≥0輞≤3-218或y≥3+218”得“△=0”的条件是y=3-218或y=3+218”，但将y的值代入原方程中，不知如何计算?
(教师原以为，给学生布置练习题只要达到巩固判别式法的目的就行，但实际检验“△=0”是否成立时，计算过程繁杂，运算量大.学生畏难不想作下去，从而产生“判别式法”不好的感觉，还需要做深入的探究.可喜的是此时已经形成了良好的课堂教学情景，抓住契机，师生共同讨论解决的方案)
教师：；回想练习的求解过程，什么时候方程会产生增根?
学生：由原方程到整式方程(*)的这个去分母的过程，会产生增根.
教师：假若由y的值代入到原方程后，解得x=1或x=-3，说明y的值是否满足题意?为什么?
学生：不满足，应该将y的值舍去.因为x麬.
教师：但x=1或x=-3是否为整式方程(*)的解?
学生：是.
教师：也就是说，将y的值和使分母为0的x的值同时代入整式方程(*)中，若方程成立，则y的值应该舍去，因为y的值使得原方程产生了增根.若方程不成立，则说明由y的值肯定得不到x=1或x=-3，x的值一定在定义域A内，所以y的值满足题意.比如：例2中将使“△=0”的“y=0”和使分母为0的“x=1”代入到整式方程：y(x2+x-2)=x2-2x+1,得0×0=0，方程成立.所以y=0舍去.按照这个方法去检验使“△=0”的y=3-218或y=3+218,就容易知道：当y=3-218且x=-1时，由y(x2-2x-3)=x2-x+1得3-218×［(-1)2-2×(-1)-3］=(-1)2-(-1)+1,即3-218×0=1显然方程不成立，同理，当y=3-218且x=3时，方程仍然不成立，故y=3-218满足题意，同理可得y=3+218也满足题意.那么，综合上述练习中(玦)和(玦i)知道，所求的函数的值域是什么?
学生：应该是(玦)和(玦i)两种情况下，关于y的集合的并集.
即为{y|≤3-218或y≥3+218}∪{y∈R|y=1}.
教师：能不能化简?(学生思考片刻后回答)
学生：能.
教师：化简成怎样的形式?
学生：因为3+218<3+258=1，所以函数的值域是{y|≤3-218或y≥3+218}.
五、反思
上述利用判别式法求函数的值域过程渗透了方程思想、等价转化思想.我们不是要求学生对判别式法的机械模仿，而是培养学生的反思能力，更重要的是引导学生理解蕴涵在方法内的数学思想，尤其是在目前的新课程改革实践中，更需要教师在课堂教学这一教学前沿阵地，以数学思想为指导，不断地改进教法和学生的学法，着重培养学生的数学应用意识、探究意识和创新意识，全面提高学生的综合数学素质.
参考文献
［1］石保军.用判别式法求分式函数的值域.中学数学教学参考，2004，(5).
［2］高东英.利用△法求函数值域应注意的问题.中学数学教学参考，2004，(7).
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
