优化概念教学，提高学生数学学习能力

    王根全

    

    [摘 ?要] 数学概念不仅仅是数学知识的基本要素，更是培养学生数学能力的重要载体. 学生深度掌握和理解数学概念，才能灵活运用概念，才能进行分析、比较、判断、推理，进而提升学生学习数学的兴趣，培养其逻辑思维能力，进一步促进良好认知结构的形成. 因此，概念学习有着极其重要的意义，如何优化概念教学十分重要. 教师需深度把握初中生学习数学概念的心理过程和特点，优化教学策略，使概念教学更有效.

    [关键词] 数学概念;概念教学;数学学习

    数学概念是关于数与形的数学对象本质属性在人脑中的反映. 数学概念的学习是数学学习的基础，也是数学学习的关键，更是综合应用数学知识的前提[1]. 对于初中学生而言，数学概念的学习需受到足够的重视. 本文就初中生概念学习的心理过程和特点以及优化概念教学的方法做了简单的介绍，希望对概念教学有一定的促进作用.

    初中生数学概念学习的心理过程和特点

    学生在获得概念时，首先经历辨别、假设、检验、抽象、分化、概括等一系列心理过程，以直观感知作为学习的支柱，以完善表象中介作为基础，逐步获得概念意象[2]. 所谓“概念意象”，即通过概念激发人的思维活动，并在人的大脑内部构建而成的精神体，唤起相对应的感觉，而意象形成的过程也就是抽象的过程. 因此，借助例子这种具体方式形成的概念是直观的，也是不完整的.

    其次，借助学生对概念的感知，使意象外化，并逐步调控意象中不够完整的概念印象，通过自身的思维逐步完善. 这样一来，学生形成数学概念，并在以后的应用中能归类提取，在遇到同类的事物概念时，可以实现迁移运用. 例如，在学习完“矩形”的概念后，可以从文字表述中正确判断出一个四边形是否是矩形.

    最后，借助自身的思维水平实现概念的应用，概念则呈现体系化，完整的概念随之形成. 例如，学生在学习完“绝对值”的概念后，在解决相关问题时，可以在原有概念的基础上进行“再创造”，这样一来对问题的解决大有裨益.

    综上所述，数学概念的学习是一个从识记到理解再到掌握的一种信息加工的过程，最终实现数学概念的综合应用，这也是概念学习的一般规律.

    优化概念教学的策略

    1. 加强完整概念的建立

    （1）多个典型背景，揭示概念的本质

    数学概念的背景可以是概念的现实模型，也可以是概念的现实背景. 借助一些现实素材可以引导学生感受数学概念，并逐步上升到理性认识，并实现对其多个背景的认识.

    例1 “反比例函数”的概念背景.

    创设教学过程时，教师可以充分把握从特殊到一般的概念形成规律，结合一些实例引入概念，让学生去观察、去比较，进一步抽象概括出概念. 笔者认为，可以通过以下实例引入“反比例函数”的概念.

    ①某学校为绿化美化校园，需种植一块面积为1000 m2的矩形草坪，该草坪的长y（单位：m）随其宽x（单位：m）的变化而变化;

    ②京沪高速公路的全程为1262 km，上海至北京的大巴车从北京出发驶往上海，其平均速度V（單位：km/h）随此班大巴车全程行驶的时间t（单位：h）的变化而变化;

    ③某村庄有耕地346.5公顷，人口数量为n并逐年发生变化，该村人均占有耕地的面积m（单位：公顷/人）随全村人数n（单位：人）的变化而变化.

    例2 “直角坐标系”的概念背景.

    ①电影院观影时，如何依据电影票找寻到位置呢？一般电影票上会出示几个数字？5排6座与6排5座是同一个座位吗？会不会出现不同座位号或是不同排数的两张电影票相对应的情况呢？

    ②如图1所示的数轴，如果小芳所在的位置A为原点，原点右侧为正方向，且两盏路灯之间的距离作为一个单位长度，此时小红的位置E则可以用-3表示，小华的位置C则可用1表示. 我们还可以说在这一数轴上，E点的坐标为-3，C点的坐标为1.

    问题1：根据题设的提示，假如小明在小华左侧的第二盏路灯的位置，请尝试回答小明在数轴上点的坐标.

    问题2：假如小明此时站在一个长方形的操场上，你能否找到方法来确定小明此时的位置？

    问题3：假如小明此时站在一个大操场上，你能否找到方法来确定小明此时的位置？

    通过一些典型的概念背景，引领学生提炼和抽象概念，依据“概念结构原型说”这一理论，可以用归纳的方式帮助学生得出其本质特征，进而促进概念形成.

    （2）多种不同侧面，揭示概念的内涵

    同一个概念，人们在定义时可以通过不同侧面的刻画来表示其特征，而不同特征相结合的规律也不尽相同，这样一来，一个概念则存在多种不同定义的特点，而这些定义是多侧面对同一个概念本质的描述，它们的本质是相同的. 教师在教学中应引导学生从多个侧面认识和理解概念，以便全面地掌握概念的内涵.

    例3 “矩形”的概念.

    ①有一个角是直角的平行四边形是矩形;

    ②对角线相等的平行四边形是矩形;

    ③有三个角为直角的四边形是矩形;

    ④其中一组对边既相等又平行，且对角线相等的四边形是矩形.

    以上四个不同的定义从多个不同侧面去表述概念，表述①是利用“其中一个内角是直角”和“平行四边形”来刻画的;表述②是利用“对角线相等”和“平行四边形”来刻画的;表述③是利用“其中三个内角是直角”和“四边形”来刻画的;表述④是利用“其中一组对边既相等又平行”“对角线相等”和“四边形”来刻画的. 这四种定义都是对概念本质属性的一种描述，学生一旦全面深刻地理解它们，便可形成一定的概念系统.

    （3）多个不同结构，揭示概念的内涵

    同一个概念还可以通过不同结构的刻画来表示. 事实上，“数”与“形”是在点集与有序数对的对应关系中搭建的一座桥梁，两者是相辅相成的.

    例4 “函数”的概念：①解析式、②图像、③表格.

    2. 重视概念体系的形成

    概念体系是由一组与之相关的概念连接而成的，其中的每个概念在体系结构中都“扮演”着明确的角色. 因此，教师在教学过程中需时常系统地梳理概念体系，从而实现对概念结构的整体把握. 简单地说，教师可以从以下三个方面入手，带领学生概括概念体系：①建构概念网络;②理清概念之间关系;③揭示其中蕴含的数学思想方法.

    例5 “一次函数”的概念体系.

    一次函数是函数的延伸，而从函数向一次函数的抽象过渡属于“强抽象”. 而一次函数y=kx+b（k≠0）与直线y=kx+b（k≠0）、二元一次方程kx-y+b=0（k≠0）是对相同概念的不同侧面的描述，则可以确定它们之间的等价关系. 这里的x，y看成变量，y=kx+b（k≠0）就是一次函数，若这里的x，y看成未知数，y=kx+b（k≠0）就是二元一次方程. 一次函数y=kx+b作为二元一次不等式y≥ax+b的特殊形式，那么我们可以说从y=kx+b到y≥ax+b属于“弱抽象”. 此概念体系包含了多种数学思想方法，如化归思想、特殊化思想、一般化思想等等.

    3. 强化概念的应用

    概念体系的形成过程是一个需要学生多层次应用的思维过程，需要学生主动参与，并多次在不同层次和不同的情境中應用得以实现. 而最高层次的概念应用则为问题的解决，由于问题解决中涉及的概念繁多，因此这一过程较为复杂，需要学生激活并提取与之相关的概念和命题，关联问题本身，经历恰当的训练，内化为“活”的知识体系.

    例6 已知a=5，b=6. （1）求2a+6b的值;（2）求的值.

    分析 第一问的解答是对学生低层次概念的应用检测，只需理解“代数式的值”的概念后代入运算;第二问则是高层次概念的应用，除涉及第一问中的概念理解之外，还需理解“二次根式”的概念. 通过此例题的解答，可以建构概念之间的关联.

    总之，在教学中教师应当高度定位概念的价值，准确把握概念的内涵和外延，为学生的概念应用提供思维素材、创设思维情境、引导思维方法，让学生在概念应用中掌握概念的本质和概念间的关联，发展智力，形成能力，进一步提高学生学习数学的能力.

    参考文献：

    [1] 张胜利.数学概念的教科书呈现研究——以初中数学为例[M]. 长春：东北师范大学出版社，2013.

    [2] 王文俊，骆传枢. 关注概念学习过程，重视知识内在联系——“二次函数的概念”教学设计与评析[J]. 中国数学教育，2013（Z3）.