Ｋｌａｍｋｉｎ不等式的改进
张 红
文［1］给出了关于三角形三边的Klamkin不等式：ab+bc+ca≥13(a+b+c)(1a+1b+1c) (1)的如下一个逆向形式：ab+bc+ca≤13(a+b+c)(1b+c-a+1c+a-b+1a+b-c) (2)
文［2］把(2)加强为：ab+bc+ca≤23(a+b+c)(1a+1b+1c)-3 (3)
本文首先指出(1)和(3)是等价的.理由如下：
由轮换对称性，(1)赽a+cb+ac≥13(a+b+c)(1a+1b+1c)3(a2b+b2c+c2a)≥(a2b+b2c+c2a)+(a2c+c2b+b2a)+3abc2(a2b+b2c+c2a)≥a2c+c2b+b2a+3abc(3).
下面给出(1)、(3)的两个改进形式.
ab+bc+ca≥
5(a+b)(b+c)(c+a)-(a3+b3+c3)9abc-109 (4)
ab+bc+ca≤
4(a+b)(b+c)(c+a)+(a3+b3+c3)9abc-89 (5)
证明：∵(4)9(a2c+c2b+b2a)≥5(a2c+c2b+b2a)+5(a2b+b2c+c2a)-(a3+b3+c3)赼3+b3+c3≥(a2b+b2c+c2a)+4·(a2b+b2c+c2a-a2c-c2b-b2a)赼3+b3+c3≥a
2b+b2c+c2a+4(a-c)(c-b)(b-a) (6)
同样地，(5)赼3+b3+c3≥a2c+c2b+b2a+4(a-b)(b-c)(c-a) (7)
由于(6)、(7)都是关于a、b、c的轮换对称式，且在(6)中把b、c互换即得(7)，所以(6)(7)，从而(4)(5).因此只要证明(6)即可.
我们来证明(6)的加强式：a3+b3+c3≥a2b+b2c+c2a+4|(a-c)(c-b)(b-a
)| (8)
若a、b、c中至少有两数相等，则(8)显然成立.
否则，不妨设a=max{a、b、c}.
①若a>b>c,则
(8)赼2(a-b)+b2(b-c)+c2(c-a)≥4(a-b)(b-c)(a-c)赼2(a-b)+b2(b-c)+c2(c-b)+c2(b-a)≥4(a-b)(a-c)(c-b)(a-b)(a+c)(a-c)+(b-c)2·(b+c)≥4(a-b)(b-c)(a-c)赼+cb-c+(b-c)(b+c)(a-b)(a-c)≥4.
由a-b2(b+c)(b+c)cb≥2(2bc)2bc=4.∴(9)成立.
②若a>c>b，则(8)赼2(a-b)+b2(b-c)+c2(c-a)≥4(a-b)(b-c)(a-c)赼2(a-c)+a2(c-b)+b2(b-c)+c2(c-a)≥4(a-b)(a-c)(c-b)(a-c)2(a+c)+(c-b)(a+b)(a-b)≥4(a-b)(a-c)(c-b)(a-c)(a+c)(a-b)(c-b)+a+ba-c≥4 (10)
i)当a≥23c时，则a-c≥12c,a+c≥52c,由于a-b
∵a-c1+cc+bb=3.∴(10)成立.
ii)当a<32c时，则a+ba-c=a-ca-c+ba-c+ca-c>1+bb+c32c-c=4.∴(10)也成立.
综上所述，(8)成立，从而(4)和(5)也成立.
从证明过程可知(4)、(5)等号成立的充要条件是a=b=c.
下面设s,R,r分别为三角形的半周长，外接圆和内切圆的半径，则有13(a+b+c)(1a+1b+1c)=(a+b+c)(ab+bc+ca)3abc=2s(s2+4Rr+r2)12Rrs=s2+4Rr+r26Rr,
5(a+b)(b+c)(c+a)-(a3+b3+c3)9abc-109=136sRr［10s(s2+2Rr+r2)-2s(s2-6Rr-3r2)-40sRr］=2s2-2Rr+4r29Rr.
由Gerretsen不等式s2≥16Rr-5r2，得2s2-2Rr+4r29Rr-s2+4Rr+r26Rr=
s2-16Rr+5r218Rr≥0.
可见(4)是(1)的一个加强.由于(5)(4)，(3)(1)，所以(5)也是(3)的一个加强.
另外，通过(8)还能得到(3)的另一个优美的改造形式ab+bc+ca≤a3+b3+c3abc-4|(a-b)(b-c)(c-a)abc|.(11)
最后提出一问题就教于读者：(11)右边的系数4的最佳改进值应为多少?
参考文献
［1］宿晓阳.Klamkin不等式的上界估计.中等数学，1999(3).
［2］陈胜利.Klamkin不等式上界估计的改进.中等数学，2001(5).
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
文［1］给出了关于三角形三边的Klamkin不等式：ab+bc+ca≥13(a+b+c)(1a+1b+1c) (1)的如下一个逆向形式：ab+bc+ca≤13(a+b+c)(1b+c-a+1c+a-b+1a+b-c) (2)
文［2］把(2)加强为：ab+bc+ca≤23(a+b+c)(1a+1b+1c)-3 (3)
本文首先指出(1)和(3)是等价的.理由如下：
由轮换对称性，(1)赽a+cb+ac≥13(a+b+c)(1a+1b+1c)3(a2b+b2c+c2a)≥(a2b+b2c+c2a)+(a2c+c2b+b2a)+3abc2(a2b+b2c+c2a)≥a2c+c2b+b2a+3abc(3).
下面给出(1)、(3)的两个改进形式.
ab+bc+ca≥
5(a+b)(b+c)(c+a)-(a3+b3+c3)9abc-109 (4)
ab+bc+ca≤
4(a+b)(b+c)(c+a)+(a3+b3+c3)9abc-89 (5)
证明：∵(4)9(a2c+c2b+b2a)≥5(a2c+c2b+b2a)+5(a2b+b2c+c2a)-(a3+b3+c3)赼3+b3+c3≥(a2b+b2c+c2a)+4·(a2b+b2c+c2a-a2c-c2b-b2a)赼3+b3+c3≥a
2b+b2c+c2a+4(a-c)(c-b)(b-a) (6)
同样地，(5)赼3+b3+c3≥a2c+c2b+b2a+4(a-b)(b-c)(c-a) (7)
由于(6)、(7)都是关于a、b、c的轮换对称式，且在(6)中把b、c互换即得(7)，所以(6)(7)，从而(4)(5).因此只要证明(6)即可.
我们来证明(6)的加强式：a3+b3+c3≥a2b+b2c+c2a+4|(a-c)(c-b)(b-a
)| (8)
若a、b、c中至少有两数相等，则(8)显然成立.
否则，不妨设a=max{a、b、c}.
①若a>b>c,则
(8)赼2(a-b)+b2(b-c)+c2(c-a)≥4(a-b)(b-c)(a-c)赼2(a-b)+b2(b-c)+c2(c-b)+c2(b-a)≥4(a-b)(a-c)(c-b)(a-b)(a+c)(a-c)+(b-c)2·(b+c)≥4(a-b)(b-c)(a-c)赼+cb-c+(b-c)(b+c)(a-b)(a-c)≥4.
由a-b
②若a>c>b，则(8)赼2(a-b)+b2(b-c)+c2(c-a)≥4(a-b)(b-c)(a-c)赼2(a-c)+a2(c-b)+b2(b-c)+c2(c-a)≥4(a-b)(a-c)(c-b)(a-c)2(a+c)+(c-b)(a+b)(a-b)≥4(a-b)(a-c)(c-b)(a-c)(a+c)(a-b)(c-b)+a+ba-c≥4 (10)
i)当a≥23c时，则a-c≥12c,a+c≥52c,由于a-b
∵a-c
ii)当a<32c时，则a+ba-c=a-ca-c+ba-c+ca-c>1+bb+c32c-c=4.∴(10)也成立.
综上所述，(8)成立，从而(4)和(5)也成立.
从证明过程可知(4)、(5)等号成立的充要条件是a=b=c.
下面设s,R,r分别为三角形的半周长，外接圆和内切圆的半径，则有13(a+b+c)(1a+1b+1c)=(a+b+c)(ab+bc+ca)3abc=2s(s2+4Rr+r2)12Rrs=s2+4Rr+r26Rr,
5(a+b)(b+c)(c+a)-(a3+b3+c3)9abc-109=136sRr［10s(s2+2Rr+r2)-2s(s2-6Rr-3r2)-40sRr］=2s2-2Rr+4r29Rr.
由Gerretsen不等式s2≥16Rr-5r2，得2s2-2Rr+4r29Rr-s2+4Rr+r26Rr=
s2-16Rr+5r218Rr≥0.
可见(4)是(1)的一个加强.由于(5)(4)，(3)(1)，所以(5)也是(3)的一个加强.
另外，通过(8)还能得到(3)的另一个优美的改造形式ab+bc+ca≤a3+b3+c3abc-4|(a-b)(b-c)(c-a)abc|.(11)
最后提出一问题就教于读者：(11)右边的系数4的最佳改进值应为多少?
参考文献
［1］宿晓阳.Klamkin不等式的上界估计.中等数学，1999(3).
［2］陈胜利.Klamkin不等式上界估计的改进.中等数学，2001(5).
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
