三角函数中给式求值问题的求解策略
周金国
三角函数的求值问题是三角学的一类基本问题，也是一类重要题型，一直是高考命题的热点和重点，通常有给角求值、给值求值、给式求值等类型，其中给式求值相对难度大一些.本文拟对给式求值问题予以总结和探讨，供各位同仁在教学中参考.
一、利用整体思想通过角的变换求解
例1 已知tan(α+β)=25,tan(β-π4)=14,求tan(α+π4)的值.
解法1：tan(α+π4)=tan［(α+β)-(β-π4)］=tan(α+β)-tan(β-π4)1+tan(α+β)tan(β-π4)=25-141+25×14=322.
解法2：由tan(α+β)=tan［(α+π4)+(β-π4)］=tan(α+π4)+tan(β-π4)1-tan［(α+π4)(β-π4)］，所以25=tan(α+π4)+141-tan(α+π4)×14,解得tna(α+π4)=322.
点评：利用整体思想解题是我们经常采用的解题方法，要能灵活运用角的变换α+π4=(α+β)-(β-π4),α+β=(α+π4)+(β-π4)，根据已知条件有多种代换的方法.
例2 (2007年·四川高考题)已知cosα=17,cos(α-β)=1314，且0<β<α<π2.
(1)求tan2α的值；(2)求β.
解：(1)由cosα=17,0<α<π2，得sinα=1-cos2α=1-(17)2=437.∴tanα=sinαcosα=437×71=43.于是tan2α=2tanα1-tan2α=2×431-(43)2=-8347.
(2)由0<β<α<π2，得0<α-β<π2.又∵cos(α-β)=1314,∴sin(α-β)=1-cos2(α-β)=1-(1314)2=3314.
由β=α-(α-β),得cosβ=cos［α-(α-β)］
=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)=17×1314+437×3314=12,∴β=π3.
点评：在三角函数的求值、化简、证明等问题中，我们往往可以从已知、求证式子中的角的关系作为切入点，要分析已知角与待求角之间的联系，寻求解决问题的思路.本题已知α、α-β，所求的角为2α，β，不难发现β=α-(α-β),这便找到了问题的出发点.
二、将给式求值问题转化为方程(组)或不等式求解
例3 已知sinx+siny=23,求cosx+cosy的最大
值和最小值.
解：设t=cosx+cosy,又sinx+siny=23，则两式平方相加得：2+2cos(x-y)=(23)2+t2,cos(x-y)=12［(23)2+t2-2］,又|cos(x-y)|≤1,∴|12［(23)2+t2-2］|≤1，解得：
-423≤t≤423,故cosx+cosy的最大值为432
三角函数的求值问题是三角学的一类基本问题，也是一类重要题型，一直是高考命题的热点和重点，通常有给角求值、给值求值、给式求值等类型，其中给式求值相对难度大一些.本文拟对给式求值问题予以总结和探讨，供各位同仁在教学中参考.
一、利用整体思想通过角的变换求解
例1 已知tan(α+β)=25,tan(β-π4)=14,求tan(α+π4)的值.
解法1：tan(α+π4)=tan［(α+β)-(β-π4)］=tan(α+β)-tan(β-π4)1+tan(α+β)tan(β-π4)=25-141+25×14=322.
解法2：由tan(α+β)=tan［(α+π4)+(β-π4)］=tan(α+π4)+tan(β-π4)1-tan［(α+π4)(β-π4)］，所以25=tan(α+π4)+141-tan(α+π4)×14,解得tna(α+π4)=322.
点评：利用整体思想解题是我们经常采用的解题方法，要能灵活运用角的变换α+π4=(α+β)-(β-π4),α+β=(α+π4)+(β-π4)，根据已知条件有多种代换的方法.
例2 (2007年·四川高考题)已知cosα=17,cos(α-β)=1314，且0<β<α<π2.
(1)求tan2α的值；(2)求β.
解：(1)由cosα=17,0<α<π2，得sinα=1-cos2α=1-(17)2=437.∴tanα=sinαcosα=437×71=43.于是tan2α=2tanα1-tan2α=2×431-(43)2=-8347.
(2)由0<β<α<π2，得0<α-β<π2.又∵cos(α-β)=1314,∴sin(α-β)=1-cos2(α-β)=1-(1314)2=3314.
由β=α-(α-β),得cosβ=cos［α-(α-β)］
=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)=17×1314+437×3314=12,∴β=π3.
点评：在三角函数的求值、化简、证明等问题中，我们往往可以从已知、求证式子中的角的关系作为切入点，要分析已知角与待求角之间的联系，寻求解决问题的思路.本题已知α、α-β，所求的角为2α，β，不难发现β=α-(α-β),这便找到了问题的出发点.
二、将给式求值问题转化为方程(组)或不等式求解
例3 已知sinx+siny=23,求cosx+cosy的最大
值和最小值.
解：设t=cosx+cosy,又sinx+siny=23，则两式平方相加得：2+2cos(x-y)=(23)2+t2,cos(x-y)=12［(23)2+t2-2］,又|cos(x-y)|≤1,∴|12［(23)2+t2-2］|≤1，解得：
-423≤t≤423,故cosx+cosy的最大值为432
