基于核心素养的一道几何习题的变式教学探究

    李志平

    

    

    

    [摘 ?要] 几何教学是初中数学教学的重要组成部分，也是初中数学教学的难点. 如何通过几何教学培养学生核心素养，是新时代数学教师所面临的课题. 文章抛砖引玉，以“共顶点旋转全等三角形”为基本模型，结合平行线、全等三角形、角平分线、等腰三角形等八年级学生所掌握的知识，以课本的一道习题为出发点，改编出一系列变式练习，希望通过变式教学，促进学生數学核心素养的发展.

    [关键词] 几何习题;变式教学;核心素养

    在当前初中几何教学中，部分教师未能充分开发教材例、习题资源，过于推崇课外资料，加重学生学业负担，对教材基础性的例、习题缺乏重视或认识不足，对教材例、习题的使用存在局限性，对例、习题的讲解缺少解题思路剖析，没有揭示题目背景，也没有适当地变式拓展. 本文以一道课本习题为例，结合学生既有知识，形成一系列变式教学. 这既有利于培养学生在几何直观和逻辑推理方面的核心素养，也能够给开始尝试几何变式教学的教师提供参考.

    原题及出处

    新人教版数学教材八年级上册第83页习题13.3第12题：如图1，△ABC，△ADE都是等边三角形，求证：BD=CE.

    原题分析与解答

    背景分析：本题是以“共顶点旋转全等三角形”为基本模型的题型. 此题型在教材、课外参考资料乃至中考中屡见不鲜，它有多样的变式和漂亮的性质，对学生的思维具有深刻的启发作用，对变式教学而言具有极大的研究价值.

    思路分析：可通过证明△ACE≌△ABD得CE=BD. 根据等边三角形的性质，可以通过SAS证△ACE≌△ABD，也可以通过把△ABD绕点A顺时针旋转60°得到△ACE，同样可得△ACE≌△ABD.

    证明：因为△ABC和△ADE为等边三角形，所以AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE= 60. 所以由△ABD绕点A顺时针旋转60°可得△ACE，所以△ACE≌△ABD，所以CE=BD.

    变式拓展

    变式1 ?（“8字形”）？摇如图2，△ABC和△ADE均为等边三角形，求证：∠COB=60°.

    证法一：易证△ACE≌△ABD，所以∠ACE=∠ABD，在△APC和△OPB中，由外角性质知：∠APO=∠PCA+∠PAC，∠APO=∠PBO+∠POB，所以∠COB=∠CAB=60°.

    证法二：易证△ACE≌△ABD，所以∠ACE=∠ABD，在△APC和△OPB中，由三角形内角和定理知：∠APC+∠PCA+∠PAC=180°，∠BPO+∠PBO+∠POB=180°. 又因为∠APC=∠BPO，所以∠COB=∠CAB=60°.

    评注 ?“全等三角形三组对应边的夹角相等”是不要求学生掌握的性质，但在练习题甚至中考中却时常出现. 在变式1中，△ACE≌△ABD，对应边AC和AB的夹角和对应边AE和AD的夹角均为60°，由上述性质知：对应边CE和BD的夹角∠COB=60°. 在学生解题过程中，上述性质不能直接运用，只能作为理解题目的切入点. 我们需要展示给学生的，是归纳这类图形的共性：共顶点旋转全等，对应角构成“8字形”. 如图2阴影部分，∠ACE和∠ABD是对应角，两角（四条射线）交汇形成“8字形ABOCA”. 我们注意到，8字形由△APC和△OPB组成，在这两个三角形中分别运用外角的性质（或三角形内角和定理）可以证明对应边CE和BD的夹角也为60°. 同理，另一组“8字形AEODA”也可得对应边CE和BD的夹角∠EOD=60°.

    变式1-1？摇 如图3，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC. 求证：EC⊥BF.

    证明：显然△ACE≌△AFB，对应角∠AEC和∠ABF构成“8字形ABMEA”，由外角的性质（或三角形内角和定理）易证：∠EMB=∠EAB=90°，所以EC⊥BF.

    评注 ?找“8字形”是求第三组对应边夹角的有效途径. 在构成“8字形”的两个三角形中，有一组角是“共顶点旋转全等三角形”的对应角，另一组角是对顶角，所以第三组角相等. 因此我们只要找到构成 “8字形”的两个三角形，就可轻易解决角相等的问题.

    变式2 ?（二次全等）如图4，△ABD和△BCE均为等边三角形，且A，B，C在同一条直线上，求证：（1）△BCQ≌△BEP;（2）△BAP≌△BDQ;（3）△BPQ为等边三角形.

    证明：（1）显然△BAE≌△BDC，所以∠BCQ=∠BEP，易证∠PBE=∠QBC=60°，BC=BE，所以△BCQ≌△BEP.

    （2）同（1）法可证：△BAP≌△BDQ.

    （3）由（1）知△BCQ≌△BEP，所以BP=BQ，又因为∠PBQ=60°，所以△BPQ为等边三角形.

    评注 ?此题是二次全等的典型习题，图形虽较复杂，但抓住本质即可快速解答，与原题有异曲同工之妙，有利于培养学生逻辑推理、直观想象的核心素养.

    变式3 ?（角平分线的判定）如图5，△ABD和△BCE均为等边三角形，且A，B，C在同一条直线上，求证：∠AMB=∠CMB.

    证明：如图5，过点B作BP，BQ分别垂直于AM，CM于点P，Q. 易证：△BPE≌△BQC（AAS），所以BP=BQ，又因为BP⊥AM、BQ⊥CM，所以BM平分∠AMC（角平分线的判定），即∠AMB=∠CMB.

    评注 ?通过向角的两边引垂线段是解决角平分线（角相等）问题的一种常用方法. 但此题巧妙结合了角平分线的判定、等边三角形的性质和全等三角形的性质与判定等知识点，对于八年级的学生而言，是一道综合性强、思路少、很难独立解决的问题. 如果教师能巧妙引导，帮助学生找到突破口，那么此题对于培养学生的几何逻辑推理能力具有极大的意义.

    变式4 ?（等腰三角形三线合一）如图6，△ABC和△ADE都是等边三角形，点D在线段AC上，若S =2S ，求证：（1）BD⊥AC;（2）BC⊥CE.

    證明：（1）显然△ABD≌△ACE，所以S =S =2S . 所以S =S . 所以CD=AD. 又因为BC=BA，所以BD⊥AC（三线合一）.

    （2）易证∠DCE=30°，∠BCE=90°，所以BD⊥CE.

    评注 ?此题巧妙结合了全等三角形、等边三角形以及三角形中线平分面积等知识点，题型新颖、难度不大、解法较多，是一道综合性很强的练习题.

    变式5 ?（平行线的判定）如图7， △ABC和△ADE都是等边三角形，点D在BC上，试说明：CE∥AB.

    证明：显然△ABD≌△ACE，所以∠ACE=∠ABD=∠CAB=60°，所以CE∥AB.

    评注 ?此题是点D落在BC上的一种特殊情形，在经过简短的证明后，却得到了始料未及的结论——平行. 这个结论并不直观，但却巧妙地体现了逻辑推理在几何证明中的重要性.

    变式6 ?（2016年广东中考第24题第（2）问）如图8，正方形ABCD的边长为2，线段BC在其所在的直线上移动，记平移后的线段为PQ，连接PA，QD，过点Q作QO⊥BD于O，连接OA，OP. 试问线段OA和OP之间有怎样的关系？并加以证明.

    解：OA=OP且OA⊥OP，证明如下：根据题意可分为如图8和9两种情形，两图均易证△OBQ为等腰直角三角形，所以BO=QO，显然∠ABO=∠OBQ=∠PQO=45°，AB=BC=PQ，所以△OBA≌△OQP（SAS），所以OA=OP，∠AOB=∠POQ，所以∠AOP=∠BOQ=90°，即OA=OP且OA⊥OP.

    评注 ?此题是共顶点旋转全等三角形的经典考题. 在繁杂的条件陈述中，发现本题的实质，找全全等的条件，对八年级的学生而言是一个巨大的挑战.

    小结

    变式教学在初中数学课堂教学中应用尤为广泛，特别是在初中几何例、习题的教学中，变式教学能有效地提升课堂教学效率，更是培养和发展学生数学核心素养的良好载体. 对于数学教师而言，研究如何通过变式教学，促进学生核心素养落到实处是一个意义深远、任务重大的课题.