解读几何探究，探讨解析思考

    李茂辉

    

    

    

    [摘 ?要] 近几年出现了众多以知识探究为背景的几何探究题，该类考题以问题探究为基础，引导学生总结问题特征、解题方法，以知识应用作为最终目的. 考虑到问题的解析思路较为特殊，需要学生充分利用基础知识，通过类比联想等方式来探究解题，因此十分有必要总结问题的解析策略，文章以一道几何探究题为例开展解法探究、教学反思.

    [关键词] 探究题;几何;模型;全等;方程;分类讨论;数学思想

    探究型问题是中考重要的新型问题，问题常围绕探究性内容的目标特征来开展探究活动，其中所探究内容的目标特征具有多个要素，主要包括条件性、解题原理及方法、结论等. 在后续的问题探究时需要依托目标特征的要素进行，因此对学生的观察解析、综合思考、归纳概括和推理判断能力有着较高的要求.

    以几何探究题为例，在解析问题时需要提炼问题条件的文字信息和图像信息，提取几何模型，总结方法结论，然后结合问题情形加以应用突破. 实则解题的过程也是探究学习的过程，有助于培养学生的发散思维和创新解题能力，这也是命题人的最终目的所在.

    几何探究题探讨

    几何探究题的类型较为众多，有操作设计、规律探索、材料阅读、应用推理等多种类型，但从其探究过程来看，无非就是从几何内容中提取特征、总结规律、形成方法、应用解题，通过联想思考、启发思维来完成关联问题的拓展探究. 因此在解析问题时需要思考两个问题：一是探究目标内容可以得到哪些启示？二是后续的拓展问题与目标内容有哪些关联？下面结合一道几何探究题来探讨解析策略.

    1. 呈现问题

    模型建立：如图1所示，△ABC为等腰直角三角形，其中∠ACB=90°，CB=CA，直线ED经过点C，分别过点A和B作ED的垂线，垂足分别为点D和E，试求证△BEC？艿△CDA.

    模型应用：

    （1）直线l1的解析式为y=- x-4，与坐标的y轴相交于点A，现将直线l1绕着点A逆时针旋转45°，得到直线l2，如图2所示，试求直线l2的解析式;

    （2）如图3所示，四边形ABCO为矩形，点O为坐标的原点，点B坐标（8，-6），点A和C分别位于坐标的y轴和x轴上. 点P为线段BC上的一个动点，设PC=m，点D在直线y=-2x+6上，且位于坐标的第四象限. 若△APD是不以点A为直角顶点的等腰直角三角形，试求点D的坐标.

    2. 策略探索

    从问题设置来看，上述问题属于几何模型探究题，其目标内容为几何模型，因此需要对模型的结构和解析方法加以总结归纳，用于第二部分“模型应用”.

    对图1的模型加以解读，可知其中存在三个直角三角形，△BEC和△ACD的底边共线，且共用一个顶点C，从而形成了新的直角——∠ACB. 分析可知该模型就是几何中常见的“K”型图，通过等角代换即可获得求证两三角形全等的条件. 具体如下：由∠ACD+∠BCE=90°∠ACD+∠CAD=90° 可知∠BCE=∠CAD，从而在△CBE和△ACD中有∠D=∠E=90°∠BCE=∠CADCA=CB（AAS），所以△BEC？艿△CDA，得证.

    完成问题模型的求解后，需要对其模型加以提炼，总结相应的解析方法. “K”型图的结构为“共线对顶角，顶角夹直角”，即图中两个直角三角形存在共线直角边，且共用一个顶点，而共顶点所夹角为另一直角三角形的直角. 从而在解析时联合顶角三角形的一组相等边即可求证两三角形全等. 因此“模型应用”阶段可以联想上述模型作辅助线，利用其解析思路求解问题，具体如下.

    对于第（1）问，求解直線l2的解析式，可设为y=kx+b，则只需要求得其上的两个点即可，由直线l1的解析式可求得点A的坐标，只需求出直线l2上的另一点即可. 由图可知其中已经存在一直角三角形AOB，可以联想上述所使用的“K”型图模型来添加辅助线. 令点B为两直角三角形的对顶点，则过点B作BC⊥AB，与坐标x轴交于点B，与直线l2交于点C，然后过点C作x轴的垂线，垂足为点D，如图4所示. 从而可构建“K”型图，后续按照上述模型的转化思路即可获得共线对顶三角形相似或全等，具体如下.

    根据旋转特性可知∠BAC=45°，则△ABC为等腰直角三角形，BC=AB，根据上述模型的解析思路可证△CBD≌△BAO. 由全等特性可得BD=AO，CD=OB，根据直线l1的解析式可知点A（0，-4），B（-3，0），则BD=AO=4，CD=OB=3，OD=BD+OB=7，所以点C的坐标为（-7，-3），将点A和点C的坐标分别代入解析式y=kx+b中，可得-3=-7k+b，-4=b，可解得k= - ，b=-4，所以直线l2的解析式为y= - x-4.

    对于第（2）问，需要求解△APD是不以点A为直角顶点的等腰三角形时点D的坐标，显然需要讨论点P和点D分别为直角顶点时的情形，其中点D为直角顶点时又分为位于矩形内和矩形外两种情形，故共有三种情形需要讨论.

    ①当点D为直角顶点，且位于矩形ABCO的内部时，过点D作AB的平行线，与y轴交于点E，与BC交于点F，如图5所示. 显然可以构建“K”型图——△AED-△PFD，根据模型的解析思路可证△ADE？艿△DPF，则有AE=DF. 设点D（x，-2x+6），则OE=2x-6，AE=12-2x，DF=8-x，所以有12-2x=8-x，解得x=4，所以点D（4，-2）.

    ②当点D为直角顶点，且位于矩形ABCO的外部时，采用同样的方式作辅助线，如图6所示. 构建“K”型图——△AED-△PFD，同理可证△ADE？艿△DPF，则有AE=DF. 设点D（x，-2x+6），则OE=2x-6，AE=2x-12，DF=8-x，所以有2x-12=8-x，解得x= ，分析可知同样符合题意，所以点D ，- .

    ③当以点P为直角顶点时，按照同样的方式添加辅助线，如图7所示，设点P的坐标为（8，-m），推理可得点D（14-m，-m-8），从而有-m-8=-2（14-m）+6，解得m= ，所以点D ，- .

    综上可知，满足条件点D的坐标有三个，分别为（4，-2）、 ，- 和 ，- .

    上述是中考典型的几何探究题，其特殊之处在于使用了常见的几何“K”型图，能够全面考查学生模型提炼和拓展应用能力. 其中采用了分类讨论和数形结合的数学方法，实现了几何直观与代数运算的融合. 整个过程思路清晰，过程简洁，充分把握图形特点和模型解析策略，是几何探究题的突破典例.

    探究解析的思考

    几何探究题具有知识综合、结构复杂、逻辑关联等特点，上述在探究时全面贯彻“模型提炼—联想拓展”的思路. 基于问题模型添加辅助线，利用模型的解析策略来构建思路，其探究过程具有一定的学习价值. 而在实际教学中依然需要教师引导学生立足教材基础，以总结方法、提升能力为根本，促进学生的思想发展，下面提出三点教学建议.

    1. 立足教材内容，强化巩固基础

    几何探究题属于综合性较强的问题，其中涉及众多的知识内容，以上述考题为例，包含了函数、几何图形、相似全等、几何旋转、代数方程等知识. 正是这些基础知识的有效融合完成了综合题的构建，解析过程实则就是问题的拆解转化过程，该过程中需要利用基础知识和基本技能. 因此教学中需要教师立足教材内容，开展基础知识强化与融合，使学生掌握一般问题的常用解法，形成较为完善的知识体系，为后续探究题的突破打下基础.

    2. 开展教学探讨，掌握探究方法

    几何探究题的突破过程中需要经历核心目标内容的特征提炼、方法模型总结、拓展应用探究三个阶段. 三个阶段之間存在着递进关系，需要教师采用知识探究的教学方式，引导学生进行观察解析、猜想思考、归纳概括和推理判断等思维活动. 以上述问题为例，需要学生思考模型的特征结构、猜想构建思路、归纳方法策略，逐步将其上升到数学模型层面. 拓展探究是提升学生知识水平和数学能力的重要方式，教学中应引导学生思考、鼓励学生发表见解，通过实践活动来使学生掌握知识探究的方法.

    3. 重视数学思想，提升解题思维

    几何探究题的突破过程中一般会涉及众多的数学思想，例如上述几何探究题解答时首先进行了模型提炼，求解问题时采用数形结合的方法来转化问题，通过分类讨论加以探讨，最后构建代数方程求解. 其中包含了模型思想、数形结合思想、化归转化思想、分类讨论思想、方程思想，这些思想也是几何探究题常用的数学思想. 教学中需要结合相关的教材内容来合理渗透，使学生明晰数学思想的内涵，掌握数学思想构建解题思路的方法技巧. 思想方法是蕴含在数学中的知识精华，也是素质教学的重要内容，依托探究考题开展思想渗透，不仅可以使学生掌握探究题的解析思路，还可以提升学生的解题思维.