不断更新教学经验 引领学生取得“真经”
董志俊 王英姿
《普通高中数学课程标准》（2017年版）指出：通过高中数学课程的学习，学生能获得进一步学习以及未来发展所必需的数学基本知识、基本技能、基本思想、基本活动经验（简称“四基”）.教师结合相应的教学内容，落实“四基”，促进学生数学核心素养的形成与发展，基本活动经验的积累并非一朝一夕，需要在“做”的过程和“思考”的过程中积淀，是在数学学习活动过程中逐步形成的，教师如何让学生积累真实的数学基本活动经验，是一个值得思考的问题.
1 问题提出
在教育教学活动中，教学经验可谓无处不在，在笔者的教学过程中，遇到了以下一些问题：
1.1教师的教学经验有着深深的“个人烙印”，教师之间常有冲突
针对某个问题或某个知识点的重要性，教师之间有时会产生不同的看法，有的会说“这个知识点考试肯定不考的，不用讲的”，而另有教师会说“这个知识点挺重要的，需要讲给学生，”他们都是通过自己教学经验得出的判断，但为什么会有矛盾呢？教学经验体现着教师区别于他人的、个性化的独特教学风格，正如历史哲学家迈克尔-奥克肖特所言：“一个观念，就其经验中的完满状态而言，它是具有个体性的，个体性是经验的评判标准，经验所探寻的是个体性，它是对个体特征生成的不懈追求，”在教学过程中，不同的教师对教学问题会有不同的推论和假设，对教学过程会有不同的设计和处理，对教学行为会有不同的体会和感悟，那么到底应该听哪位教师的呢？
1.2 对问题的认识及理解角度不同，师生之间的经验常有冲突
问题1 求值：cos 24°cos 36° - cos 66°cos 54°，
问题引入作为常规教学环节的“餐前开胃菜”，希望调动学生的学习兴趣，如对于问题1，本意是强化学生对两角和（差）公式的应用能力，但有学生是这样做的：cos 24° COS 36° - cos 66° cos 54°= cos（30° - 6°）.cos（30°+ 6°） - cos（60°+ 6°） cos（60° - 6°），然后再分别展开化筒求值，笔者问他为什么要这样做，学生说“我记得一些特殊的三角函数值，所以我就想把它转化成有特殊值的式子解决，”学生的方法虽可做，但过程复杂且计算量大，在笔者看来本应简单的转化，利用两角和的余弦公式解决，但为什么学生没有这样想呢？可见，教师与学生的经验有分歧，关注的知识点不在同一个维度，增加了问题的复杂性，如何将讲授的知识真正融入到学生自身的经验中，并促进学生经验的发展是一个重要的课题.
2 理论基础
杜威提出了“经验即实验”的观点，认为经验“首先是实际的，不是认知的——是行动和承受行动的后果，”同时认识到行动可以加以指导，吸收思维所提出的一切变为自己的内容，形成牢固的经过检验的知识，于是经验不再是经验性的，而变成实验性的了，教学过程中，学习者要建构的生活经验主要包括三个方面，即认识经验、行动经验与精神经验（即体验），每一种生活经验的形成都能够影响学习者的后续经验过程，增加这些经验的内涵与意义，甚至干预学习者的学习方式.
李文吴从教师的教学经验如何表示出发进行了探索，认为教学案例是教师教育经验的外化方式，教育经验叙事是呈现、表征教师教学经验的又一理论方式，王珩主张从教育故事中吸取教师的教育观念、教学经验，他认为教育故事能呈现出教师教学经验形成的全貌，能给人充分地审视机会，刘成明教授则把教学经验看成是教师个体在具体的日常教育实践中的经历与体验，以及由此而获得的知识或技能.
3 教学经验获取的途径
教师的教学经验是指教师在日常教育教学实践中，获得的知识或技能以及教育教学实施中所形成的规律性方法的总结，它是在一定的教学理论的指导下教师的长期教学实践活动的升华与结晶，教师在形成自己的一套教学理论的同时，也要与时俱进，更新教学经验，才能更好地教育学生，引领学生积累真正有效的学习经验，从而促使学生数学能力的形成.
经验不同于科学，更不是放之四海而皆准的真理，它具有极强的易错性，因为经验不全为真实性经验，还有许多欺骗性经验，教师单凭原始的教学并不能保证它的可靠性，因此教師还需要通过其他途径获取经验知识，主要有以下几方面：①聆听专家的讲座，在当前新高考课改的推动下，各地市的学校加强了与权威部门专家的学术交流，使一线的教师在专家的指引下找到教学的理论依据;②教育教学书籍的研读，通过对文章的研读，教师能借鉴他们在某一课题上的成功经验，间接地获得实践知识;③学习新课标及考纲要求，教师需清楚高中阶段对学生的知识及能力的要求，合理安排三年教学计划，对知识点难易度的把握，可以做到心中有数;④同事之间的交流，通过不同班级学生出现的共性问题，商讨教学对策，完善教学经验，不断提高教学水平;⑤历年高考真题的剖析，挖掘试题考查的本源知识，把握考试方向，明确教学重难点;⑥教师与学生的交流，教师了解学生对知识的掌握程度，分析学习过程中产生的困惑，制订针对性的教学方案;⑦教师教学的自我反思，课堂教学是一门遗憾的艺术，不断反思，才能促使教学能力的提高.
4 引领学生获得经验的策略
哈佛大学著名经济学家索洛夫斯基曾说“从教育规律来说，哈佛大学成功的一个至关重要的因素，就是聘请高素质的教师，”的确，教师的质量决定着学生的质量，这就是所谓的“名师出高徒”的道理， “高徒”是有真材实学的，那么对于高中学生，在学习中应该具有“真经验”，“真经验”是学生基于“原生态”思维的经验，其表现为对问题的解决方案是自然的，是可迁移的，是不断优化和更新的思维活动，教师应该如何引领学生获得真经验呢？
4.1 了解学生学习水平，探究学生“原生态”思维
“原生态”思维是指基于自己的知识结构，对某个问题产生最原始的想法，能联想到解决问题的某种尝试性的做法，这种尝试性的结果可能是正确的，也可能是错误的.
问题2若x，y∈R+，x+ y+l=xy，求x+2y的最小值，
学生1 利用基本不等式求最值，从条件和设问上观察是最容易想到的，用了两次不等式，但等号取到的条件不能同时成立，其解法是错误的，体现出学生1对这个模块的知识体系掌握的不完整，有待进一步完善，有必要進行针对性强化练习，以加深理解，学生2用了判别式法，这是一种通性通法，可以推广为更一般的问题，学生3的解法过程虽然较繁琐，但还是算出了答案，事实上，若把问题2改为“x，y∈R+，x+y=xy，求x+2y的最小值”，则利用学生3的解题方法，即“乘1法”会更简单，显然，学生3已经有改编问题解决策略的原始经验积累，因此，教师通过夯实学生基本的学习经验，为数学思维进一步优化打开了空间.
学生思维的发展是在现有学习经验的基础上不断地学习新的经验，而每一个学生的现在经验总是包含着过去经验，因此，教师在开始新的教学活动之前，还可以通过交谈、问卷调查等方式了解学生
教师可以对学生的作业情况和课堂的一些教学片断进行记录，在记录时，教师可以利用文本整理，还可以拍照记录，并且可以录入学生自我反思的结论，如对问题3的教学片断，问题3解决的关键是求cn的最大值，多数学生倾向前两种方法，对于第三种方法，学生虽易入手，但计算过程较复杂，做不完整，问题在于2x的导数难以处理，教师把这些作为教学反思的资源，挖掘源于学生自然的想法，可以更好地了解学生的思维习惯，重视学生的体验过程，为通性通法的落实探索一条捷径.
美国心理学家波斯纳（G.J.Posner）指出：“没有反思的经验是狭隘的经验，充其量只能形成肤浅的知识，”教学经验的反思是教师个人不断地重新审视和评价自己的教学经验的活动，在关注学生学习活动经验的同时，教师自身的教学经验也得到提升，教师还可以通过撰写教后记、教学日志、教学随笔等方式，将自己的点滴经历与体会以文字的形式将教学经验呈现出来.
4.3 变式使学生思维螺旋上升，培养学生良好的思维品质
变式训练为学生提供更加广泛的想象空间，使学生思维更具广阔性，如以下问题4中的变式1及变式2，考查了学生对几何动态问题的解决能力，其中变式2主要考查学生的逻辑思维和空间想象能力，由于空间想象是抽象的思维过程，学生的想象要从二维平面过渡到三维空间难度较大，教师在教学过程中应逐步引导，使学生有效积累解决此类问题的一些策略.
问题4等腰Rt△BC的直角边的两端点A，B分别在x轴、y轴上移动，若|AB|=2，则点C到原点0的距离的最大值为____.
变式1 等边三角形ABC的边长为2，两顶点A，B分别在x轴、y轴上移动，求点C到原点0的距离的最大值为____.
变式2 棱长为1的正方体ABCD-A'B'C'D在空间直角坐标系中移动，并保持点A，B分别在x轴、y轴上移动，则点C到原点0的最远距离为____.
问题4 中学生的基本活动经验是通过坐标用代数的方法研究几何问题，教师应适时地进行对问题的改编，变式1运用类似问题4的想法引入坐标运算，计算量大，比较难解决，这时引导学生换个角度思考解题途径，在思维受阻时能及时自我调节，改变思考路线，修订原方案，培养学生良好的思维品质，若直接考虑变式1的动态问题比较繁琐，联想到物体运动是相对的，变式1的问题可以转化为让等边三角形不动，使坐标轴转动，则原点0的运动轨迹是以边长为直径的圆，原问题就转化为定点C到圆上一动点距离的最大值问题，从变式1到变式2的解决，是由二维平面到三维空间的思维转变，进一步培养学生空间想象力，提升学生的数学解题能力，变式2根据A，B，0三点位置关系，始终有OA⊥OB，可以判断点0在以AB为直径的球面上（图1），变式2中把正四面体ABCD放入正方体中，可以把问题转化为一点到球面上点的最值问题，当OC过球心时距离最大，这与变式1的解题思想是一致的，使学生的数学思维得到迁移，触类旁通，优化学生的学习经验.
参考文献
[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准[M].北京：人民教育出版社，2017
[2]杜威.民主主义与教育[M].北京：人民教育出版社，2001
[3]克努兹伊列雷斯，我们如何学习[M].北京：教育科学出版社，2010
[4]龙宝新.走向“Repack”：教学过程的经验论视角[J].湖南师范大学教育科学学报，2014 （5）：62-68
[5]李文吴.教师的经验性知识的表示研究[J].中国电化教育，2006 （03）：21-24
[6]王珩.教育故事[D].金华：浙江师范大学硕士学位论文，2005
[7]联合国教科文组织国际教育发展委员会.学会生存——教育世界的今天和明天[M].北京：教育科学出版社，1996
[8]钟启泉.为每一个学生的成长而教[J].北京大学教育评论，2009 （3）：112 -122
《普通高中数学课程标准》（2017年版）指出：通过高中数学课程的学习，学生能获得进一步学习以及未来发展所必需的数学基本知识、基本技能、基本思想、基本活动经验（简称“四基”）.教师结合相应的教学内容，落实“四基”，促进学生数学核心素养的形成与发展，基本活动经验的积累并非一朝一夕，需要在“做”的过程和“思考”的过程中积淀，是在数学学习活动过程中逐步形成的，教师如何让学生积累真实的数学基本活动经验，是一个值得思考的问题.
1 问题提出
在教育教学活动中，教学经验可谓无处不在，在笔者的教学过程中，遇到了以下一些问题：
1.1教师的教学经验有着深深的“个人烙印”，教师之间常有冲突
针对某个问题或某个知识点的重要性，教师之间有时会产生不同的看法，有的会说“这个知识点考试肯定不考的，不用讲的”，而另有教师会说“这个知识点挺重要的，需要讲给学生，”他们都是通过自己教学经验得出的判断，但为什么会有矛盾呢？教学经验体现着教师区别于他人的、个性化的独特教学风格，正如历史哲学家迈克尔-奥克肖特所言：“一个观念，就其经验中的完满状态而言，它是具有个体性的，个体性是经验的评判标准，经验所探寻的是个体性，它是对个体特征生成的不懈追求，”在教学过程中，不同的教师对教学问题会有不同的推论和假设，对教学过程会有不同的设计和处理，对教学行为会有不同的体会和感悟，那么到底应该听哪位教师的呢？
1.2 对问题的认识及理解角度不同，师生之间的经验常有冲突
问题1 求值：cos 24°cos 36° - cos 66°cos 54°，
问题引入作为常规教学环节的“餐前开胃菜”，希望调动学生的学习兴趣，如对于问题1，本意是强化学生对两角和（差）公式的应用能力，但有学生是这样做的：cos 24° COS 36° - cos 66° cos 54°= cos（30° - 6°）.cos（30°+ 6°） - cos（60°+ 6°） cos（60° - 6°），然后再分别展开化筒求值，笔者问他为什么要这样做，学生说“我记得一些特殊的三角函数值，所以我就想把它转化成有特殊值的式子解决，”学生的方法虽可做，但过程复杂且计算量大，在笔者看来本应简单的转化，利用两角和的余弦公式解决，但为什么学生没有这样想呢？可见，教师与学生的经验有分歧，关注的知识点不在同一个维度，增加了问题的复杂性，如何将讲授的知识真正融入到学生自身的经验中，并促进学生经验的发展是一个重要的课题.
2 理论基础
杜威提出了“经验即实验”的观点，认为经验“首先是实际的，不是认知的——是行动和承受行动的后果，”同时认识到行动可以加以指导，吸收思维所提出的一切变为自己的内容，形成牢固的经过检验的知识，于是经验不再是经验性的，而变成实验性的了，教学过程中，学习者要建构的生活经验主要包括三个方面，即认识经验、行动经验与精神经验（即体验），每一种生活经验的形成都能够影响学习者的后续经验过程，增加这些经验的内涵与意义，甚至干预学习者的学习方式.
李文吴从教师的教学经验如何表示出发进行了探索，认为教学案例是教师教育经验的外化方式，教育经验叙事是呈现、表征教师教学经验的又一理论方式，王珩主张从教育故事中吸取教师的教育观念、教学经验，他认为教育故事能呈现出教师教学经验形成的全貌，能给人充分地审视机会，刘成明教授则把教学经验看成是教师个体在具体的日常教育实践中的经历与体验，以及由此而获得的知识或技能.
3 教学经验获取的途径
教师的教学经验是指教师在日常教育教学实践中，获得的知识或技能以及教育教学实施中所形成的规律性方法的总结，它是在一定的教学理论的指导下教师的长期教学实践活动的升华与结晶，教师在形成自己的一套教学理论的同时，也要与时俱进，更新教学经验，才能更好地教育学生，引领学生积累真正有效的学习经验，从而促使学生数学能力的形成.
经验不同于科学，更不是放之四海而皆准的真理，它具有极强的易错性，因为经验不全为真实性经验，还有许多欺骗性经验，教师单凭原始的教学并不能保证它的可靠性，因此教師还需要通过其他途径获取经验知识，主要有以下几方面：①聆听专家的讲座，在当前新高考课改的推动下，各地市的学校加强了与权威部门专家的学术交流，使一线的教师在专家的指引下找到教学的理论依据;②教育教学书籍的研读，通过对文章的研读，教师能借鉴他们在某一课题上的成功经验，间接地获得实践知识;③学习新课标及考纲要求，教师需清楚高中阶段对学生的知识及能力的要求，合理安排三年教学计划，对知识点难易度的把握，可以做到心中有数;④同事之间的交流，通过不同班级学生出现的共性问题，商讨教学对策，完善教学经验，不断提高教学水平;⑤历年高考真题的剖析，挖掘试题考查的本源知识，把握考试方向，明确教学重难点;⑥教师与学生的交流，教师了解学生对知识的掌握程度，分析学习过程中产生的困惑，制订针对性的教学方案;⑦教师教学的自我反思，课堂教学是一门遗憾的艺术，不断反思，才能促使教学能力的提高.
4 引领学生获得经验的策略
哈佛大学著名经济学家索洛夫斯基曾说“从教育规律来说，哈佛大学成功的一个至关重要的因素，就是聘请高素质的教师，”的确，教师的质量决定着学生的质量，这就是所谓的“名师出高徒”的道理， “高徒”是有真材实学的，那么对于高中学生，在学习中应该具有“真经验”，“真经验”是学生基于“原生态”思维的经验，其表现为对问题的解决方案是自然的，是可迁移的，是不断优化和更新的思维活动，教师应该如何引领学生获得真经验呢？
4.1 了解学生学习水平，探究学生“原生态”思维
“原生态”思维是指基于自己的知识结构，对某个问题产生最原始的想法，能联想到解决问题的某种尝试性的做法，这种尝试性的结果可能是正确的，也可能是错误的.
问题2若x，y∈R+，x+ y+l=xy，求x+2y的最小值，
学生1 利用基本不等式求最值，从条件和设问上观察是最容易想到的，用了两次不等式，但等号取到的条件不能同时成立，其解法是错误的，体现出学生1对这个模块的知识体系掌握的不完整，有待进一步完善，有必要進行针对性强化练习，以加深理解，学生2用了判别式法，这是一种通性通法，可以推广为更一般的问题，学生3的解法过程虽然较繁琐，但还是算出了答案，事实上，若把问题2改为“x，y∈R+，x+y=xy，求x+2y的最小值”，则利用学生3的解题方法，即“乘1法”会更简单，显然，学生3已经有改编问题解决策略的原始经验积累，因此，教师通过夯实学生基本的学习经验，为数学思维进一步优化打开了空间.
学生思维的发展是在现有学习经验的基础上不断地学习新的经验，而每一个学生的现在经验总是包含着过去经验，因此，教师在开始新的教学活动之前，还可以通过交谈、问卷调查等方式了解学生
教师可以对学生的作业情况和课堂的一些教学片断进行记录，在记录时，教师可以利用文本整理，还可以拍照记录，并且可以录入学生自我反思的结论，如对问题3的教学片断，问题3解决的关键是求cn的最大值，多数学生倾向前两种方法，对于第三种方法，学生虽易入手，但计算过程较复杂，做不完整，问题在于2x的导数难以处理，教师把这些作为教学反思的资源，挖掘源于学生自然的想法，可以更好地了解学生的思维习惯，重视学生的体验过程，为通性通法的落实探索一条捷径.
美国心理学家波斯纳（G.J.Posner）指出：“没有反思的经验是狭隘的经验，充其量只能形成肤浅的知识，”教学经验的反思是教师个人不断地重新审视和评价自己的教学经验的活动，在关注学生学习活动经验的同时，教师自身的教学经验也得到提升，教师还可以通过撰写教后记、教学日志、教学随笔等方式，将自己的点滴经历与体会以文字的形式将教学经验呈现出来.
4.3 变式使学生思维螺旋上升，培养学生良好的思维品质
变式训练为学生提供更加广泛的想象空间，使学生思维更具广阔性，如以下问题4中的变式1及变式2，考查了学生对几何动态问题的解决能力，其中变式2主要考查学生的逻辑思维和空间想象能力，由于空间想象是抽象的思维过程，学生的想象要从二维平面过渡到三维空间难度较大，教师在教学过程中应逐步引导，使学生有效积累解决此类问题的一些策略.
问题4等腰Rt△BC的直角边的两端点A，B分别在x轴、y轴上移动，若|AB|=2，则点C到原点0的距离的最大值为____.
变式1 等边三角形ABC的边长为2，两顶点A，B分别在x轴、y轴上移动，求点C到原点0的距离的最大值为____.
变式2 棱长为1的正方体ABCD-A'B'C'D在空间直角坐标系中移动，并保持点A，B分别在x轴、y轴上移动，则点C到原点0的最远距离为____.
问题4 中学生的基本活动经验是通过坐标用代数的方法研究几何问题，教师应适时地进行对问题的改编，变式1运用类似问题4的想法引入坐标运算，计算量大，比较难解决，这时引导学生换个角度思考解题途径，在思维受阻时能及时自我调节，改变思考路线，修订原方案，培养学生良好的思维品质，若直接考虑变式1的动态问题比较繁琐，联想到物体运动是相对的，变式1的问题可以转化为让等边三角形不动，使坐标轴转动，则原点0的运动轨迹是以边长为直径的圆，原问题就转化为定点C到圆上一动点距离的最大值问题，从变式1到变式2的解决，是由二维平面到三维空间的思维转变，进一步培养学生空间想象力，提升学生的数学解题能力，变式2根据A，B，0三点位置关系，始终有OA⊥OB，可以判断点0在以AB为直径的球面上（图1），变式2中把正四面体ABCD放入正方体中，可以把问题转化为一点到球面上点的最值问题，当OC过球心时距离最大，这与变式1的解题思想是一致的，使学生的数学思维得到迁移，触类旁通，优化学生的学习经验.
参考文献
[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准[M].北京：人民教育出版社，2017
[2]杜威.民主主义与教育[M].北京：人民教育出版社，2001
[3]克努兹伊列雷斯，我们如何学习[M].北京：教育科学出版社，2010
[4]龙宝新.走向“Repack”：教学过程的经验论视角[J].湖南师范大学教育科学学报，2014 （5）：62-68
[5]李文吴.教师的经验性知识的表示研究[J].中国电化教育，2006 （03）：21-24
[6]王珩.教育故事[D].金华：浙江师范大学硕士学位论文，2005
[7]联合国教科文组织国际教育发展委员会.学会生存——教育世界的今天和明天[M].北京：教育科学出版社，1996
[8]钟启泉.为每一个学生的成长而教[J].北京大学教育评论，2009 （3）：112 -122
