数学运算素养视角下的正弦定理教学
郭志坚
数学运算是六大数学核心素养中最基础、最基本的一个数学素养，它推动、制约着其它5个数学核心素养的发展，当前学生的数学运算能力和运算素养较为低下是普遍存在的事实，数学运算素养培养成为落实数学核心素养的着眼点，本文以“正弦定理”为例，谈谈笔者在数学运算教学上的思考.
1 教学案例展示
1.1 提出问题，精准化理解运算对象
在数学教学中，提出与教学内容有实质联系的问题，使学习内容与学生求知心理之间产生一种失衡的状态，以形成学生的认知冲突，从而激发学生强烈的求知欲望、点燃学生思维的火花、促进学生情感的积极投入和思维的深沉参与;为学生不断搭建“脚手架”，并暴露教师研究解决问题的思维过程，将“高深”问题通俗化、抽象问题具体化、一般问题特殊化，让学生“看到”教师思维的“痕迹”，以促进学生对运算对象的理解，进而帮助学生找到研究的“入手点”，促进学生持续主动的探究，不断实现“从无到有、从不懂到懂”，让学生在教师的这种思维的教学中逐步掌握研究问题的一般方法，提高问题的转化能力和语言的转化能力，从而真正促进学生的数学理解，实现对定理的“再创造”.
师：我们知道在三角形中“大边对大角”，也就是说三角形的内角随着它的对边的增大而增大，那么三角形内角与其对边的这种关系是否存在一种等量关系呢？若存在，能否用一个等式把这种关系表示出来？请同学们结合已学知识探讨这个问题，
师：研究问题常常是从特殊情况入手，同学们可以试着从特殊三角形入手.
生：在正三角形中，三边等长，其角等大，在直角三角形中呢？ （沉思）
师：如果在将直角三角形特殊化呢？比如：在直角三角形△ABC中，∠A= ∠B= 45°，∠C= 90°，不妨设AC= BC =1，则AB=√2，此时，边与其对角有没等量关系？若有，那么其等量关系是什么？
生：∠C的大小是∠A和∠B的两倍，但是边AB不是边AC，BC的两倍，因此肯定不是角与边直接的倍数关系，那是什么样的等量关系呢？
师：请同学们回忆一下，在直角三角形中我们学过哪些能与该问题产生关联的有关知识？
生：对了，正弦、余弦和正切.
1.2 思想化推导，多角度探究运算方向
“四基”是培养数学核心素养的沃土，因此，在运算教学时，教师首先要充分挖掘教学内容的思想要素，使“潜形态”的思想方法显性化[2];其次应努力增加教学过程的思想含量，使学生在学习的过程中受到思想的熏陶;再次应教学生学会从不同角度、用不同方法去研究问题，积累基本经验，从而使学生逐步学会多角度探究运算方向，进而优化运算程序.
师：由特例归纳出的猜想必须要经过严格的证明，你能证明它吗？
生：在直角三角形△ABC中，C=90°，
由锐角三角函数的定义有sinA=α/c，sinB=b/c，
sinC =1.
师：如何将上面三个式子联系起来？它们有没相同的“东西”（暗示方法、启迪思维）.
生：前面两个式子都有字母c.
师：很好！这样我们通过c可以将前面2式联系起来，因此c是联系它们的“桥梁”，请同学们通过c这个桥梁将前面2式联系起来.
生：c=α/sinA=b/sinB
师：很好！那第三个式子呢？如何与前面2式产生联系？
生：∵sinC=l=c/c=>c=c/sinC
师：非常好！刚才找联系几个式子的“桥梁”的过程，实际上是把每个式子当作一个方程，然后进行消“元”，运用了方程的思想解决问题，这样我们得到：在直角三角形中，各边与其对角的正弦的比相等，其它三角形是否也有类似结论？你能进行推导吗？
师：當△ABC是锐角三角形时，它与直角三角形最大的区别是它没直角，你有什么方法“造”直角？（停顿，暗示方法、启迪思维）
生：可以过三角形的一个顶点作底边的垂线.
师：你的意思是构造直角三角形？
生：是的.
师：非常好！请你完成证明.（学生证明，教师巡视，展示学生解答过程并点评）
师：非常好！这样我们完成了锐角三角形的推导，请同学们回顾刚才的推导过程，包括其中所遇到的困难及其破解方法.（教学生学会回顾反思）
生：推导中首先遇到的困难是“没有直角”，所以要“造”直角，其次是要会找“桥梁”.
师：很好！在刚才的推导中，“造”直角体现了化归与转化的思想，找桥梁则体现了方程和消参的思想方法.（感悟提升）
师：接下来请同学们在钝角三角形中继续探讨这个问题（学生推导，教师巡，在学生遇到困难时给予适当点拨，展示学生的解答过程，并点评）（略去解答过程）
师：当△ABC是钝角三角形时同学们课后用这种方法继续证明，此外，同学们还可以尝试用平面向量的方法证明正弦定理.
1.3 内涵化辨识，全方位选择运算方法
深刻理解定理内涵、准确把握定理本质，是学生牢固掌握定理和灵活应用定理解决问题的前提条件，因此不单要让学生掌握定理的内涵，也要掌握其外延，同时要掌握定理的等价形式及其适用范围、类型，从而灵活其运算方法的选择，进而优化运算程序、准确运算结果.
从方程的观点看正弦定理可以解决以下两类三角形问题：①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边角;②己知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他边角.
师：下面应用正弦定理解决以下问题：
例1在△ABC中，已知bsinB =αsinA，试判断该三角形的形状，
师：怎么判断三角形的形状？一般可以从何入手？ （暗示方法、启迪思维）
生：可以从边入手或从角入手，
师：你的意思是单纯从边或者从角入手是吗，可是已知条件边角“混合”在一起，该怎么办呢？
生：化统一，即将己知条件统一化成边或者角，
师：很好！请同学们继续完成此题.（巡视，提问）
师：很好！请同学们小结一下解题方法.
师生：判断三角形形状，边角互化，实现“边统一”或“角统一”.（总结、感悟、提升）
例2在 △ABC中，己知c=10，A=45°，C= 30°，解这个三角形.（学生解答，教师巡视，展示学生解答过程，特别说明如何计算sin105°）
解程序1：α→B→b程序2：B→α→b程序3：B→b→α.
小结 已知两角和任意一边，求其余两边和一角.
师：哦？其它同学有不同看法吗？
生2：A除了等于45°之外，还等于135°，本题有两组解，
师：非常好！在三角形中，一个内角的正弦值有两个角与之对应（直角除外），同学们思考问题时要注意思维的严密性，继续完成本题.
2 教学案例分析
在本教学案例中，将数学运算的培养渗透在正弦定理的各个教学环节中，具体如下：
（1）在促进运算对象的理解上，首先，通过问题将探究“正弦定理的模样”这一抽象的运算对象通俗化、具体化，使学生得以找到探究的“入手点”——探寻“三角形边与其对角的等量关系”;其次，通过精心设置问题，用“降维”的思想不断地将大问题拆分成一个个连贯且有梯度的小问题，从抽象到具体、从一般到特殊，使学生逐步明晰运算对象，让学生明白要“做什么”，并恰时恰度地对学生进行启发引导，让学生懂得“怎么做”;此外，不断地为学生搭建“脚手架”，并暴露教师研究解决问题的思维过程，让学生“看到”教师思维的“痕迹”，使学生在教师的这种思维的教学中逐步掌握研究问题的一般方法，提高问题转化能力和语言转化能力，从而真正促进学生的数学理解.
（2）在促进运算思路的探究和运算程序的优化上，首先通过研究问题一般方法的熏陶让学生学会研究、学会多角度探究運算方向;其次通过推导过程和应用过程的数学思想方法渗透，让学生掌握运算技能、感悟思想方法、积累基本经验;再次通过对定理内涵的理解，灵活其运算方法的选择;最后通过回顾反思加促进其运算知识的巩固、运算技能的掌握、思想方法的感悟和基本经验的积累.
学生的数学运算素养会随运算知识的学习、运算技能的训练、运算经验的积累、思想方法的感悟而逐步提升[3].但是，运算是“童子功”，其培养不是一朝一夕的事情，它需要教师坚持不懈地研究数学运算素养与具体教学内容的结合点，探寻它的孕育点和生长点，将数学运算素养的培养与常态教学相结合，贯穿于课堂教学的各个环节，使数学运算素养切实成为可以落实的目标.
参考文献
[1]章建跃，三角函数教材落实核心素养的思考[J].中小学数学（高中版），2016 （12）： 66
[2]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准[S].北京：人民教育出版社，2018
[3]章建跃.高中阶段的数学运算素养该强调什么[J].中小学数学（高中版），2016 （6）： 66
数学运算是六大数学核心素养中最基础、最基本的一个数学素养，它推动、制约着其它5个数学核心素养的发展，当前学生的数学运算能力和运算素养较为低下是普遍存在的事实，数学运算素养培养成为落实数学核心素养的着眼点，本文以“正弦定理”为例，谈谈笔者在数学运算教学上的思考.
1 教学案例展示
1.1 提出问题，精准化理解运算对象
在数学教学中，提出与教学内容有实质联系的问题，使学习内容与学生求知心理之间产生一种失衡的状态，以形成学生的认知冲突，从而激发学生强烈的求知欲望、点燃学生思维的火花、促进学生情感的积极投入和思维的深沉参与;为学生不断搭建“脚手架”，并暴露教师研究解决问题的思维过程，将“高深”问题通俗化、抽象问题具体化、一般问题特殊化，让学生“看到”教师思维的“痕迹”，以促进学生对运算对象的理解，进而帮助学生找到研究的“入手点”，促进学生持续主动的探究，不断实现“从无到有、从不懂到懂”，让学生在教师的这种思维的教学中逐步掌握研究问题的一般方法，提高问题的转化能力和语言的转化能力，从而真正促进学生的数学理解，实现对定理的“再创造”.
师：我们知道在三角形中“大边对大角”，也就是说三角形的内角随着它的对边的增大而增大，那么三角形内角与其对边的这种关系是否存在一种等量关系呢？若存在，能否用一个等式把这种关系表示出来？请同学们结合已学知识探讨这个问题，
师：研究问题常常是从特殊情况入手，同学们可以试着从特殊三角形入手.
生：在正三角形中，三边等长，其角等大，在直角三角形中呢？ （沉思）
师：如果在将直角三角形特殊化呢？比如：在直角三角形△ABC中，∠A= ∠B= 45°，∠C= 90°，不妨设AC= BC =1，则AB=√2，此时，边与其对角有没等量关系？若有，那么其等量关系是什么？
生：∠C的大小是∠A和∠B的两倍，但是边AB不是边AC，BC的两倍，因此肯定不是角与边直接的倍数关系，那是什么样的等量关系呢？
师：请同学们回忆一下，在直角三角形中我们学过哪些能与该问题产生关联的有关知识？
生：对了，正弦、余弦和正切.
1.2 思想化推导，多角度探究运算方向
“四基”是培养数学核心素养的沃土，因此，在运算教学时，教师首先要充分挖掘教学内容的思想要素，使“潜形态”的思想方法显性化[2];其次应努力增加教学过程的思想含量，使学生在学习的过程中受到思想的熏陶;再次应教学生学会从不同角度、用不同方法去研究问题，积累基本经验，从而使学生逐步学会多角度探究运算方向，进而优化运算程序.
师：由特例归纳出的猜想必须要经过严格的证明，你能证明它吗？
生：在直角三角形△ABC中，C=90°，
由锐角三角函数的定义有sinA=α/c，sinB=b/c，
sinC =1.
师：如何将上面三个式子联系起来？它们有没相同的“东西”（暗示方法、启迪思维）.
生：前面两个式子都有字母c.
师：很好！这样我们通过c可以将前面2式联系起来，因此c是联系它们的“桥梁”，请同学们通过c这个桥梁将前面2式联系起来.
生：c=α/sinA=b/sinB
师：很好！那第三个式子呢？如何与前面2式产生联系？
生：∵sinC=l=c/c=>c=c/sinC
师：非常好！刚才找联系几个式子的“桥梁”的过程，实际上是把每个式子当作一个方程，然后进行消“元”，运用了方程的思想解决问题，这样我们得到：在直角三角形中，各边与其对角的正弦的比相等，其它三角形是否也有类似结论？你能进行推导吗？
师：當△ABC是锐角三角形时，它与直角三角形最大的区别是它没直角，你有什么方法“造”直角？（停顿，暗示方法、启迪思维）
生：可以过三角形的一个顶点作底边的垂线.
师：你的意思是构造直角三角形？
生：是的.
师：非常好！请你完成证明.（学生证明，教师巡视，展示学生解答过程并点评）
师：非常好！这样我们完成了锐角三角形的推导，请同学们回顾刚才的推导过程，包括其中所遇到的困难及其破解方法.（教学生学会回顾反思）
生：推导中首先遇到的困难是“没有直角”，所以要“造”直角，其次是要会找“桥梁”.
师：很好！在刚才的推导中，“造”直角体现了化归与转化的思想，找桥梁则体现了方程和消参的思想方法.（感悟提升）
师：接下来请同学们在钝角三角形中继续探讨这个问题（学生推导，教师巡，在学生遇到困难时给予适当点拨，展示学生的解答过程，并点评）（略去解答过程）
师：当△ABC是钝角三角形时同学们课后用这种方法继续证明，此外，同学们还可以尝试用平面向量的方法证明正弦定理.
1.3 内涵化辨识，全方位选择运算方法
深刻理解定理内涵、准确把握定理本质，是学生牢固掌握定理和灵活应用定理解决问题的前提条件，因此不单要让学生掌握定理的内涵，也要掌握其外延，同时要掌握定理的等价形式及其适用范围、类型，从而灵活其运算方法的选择，进而优化运算程序、准确运算结果.
从方程的观点看正弦定理可以解决以下两类三角形问题：①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边角;②己知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他边角.
师：下面应用正弦定理解决以下问题：
例1在△ABC中，已知bsinB =αsinA，试判断该三角形的形状，
师：怎么判断三角形的形状？一般可以从何入手？ （暗示方法、启迪思维）
生：可以从边入手或从角入手，
师：你的意思是单纯从边或者从角入手是吗，可是已知条件边角“混合”在一起，该怎么办呢？
生：化统一，即将己知条件统一化成边或者角，
师：很好！请同学们继续完成此题.（巡视，提问）
师：很好！请同学们小结一下解题方法.
师生：判断三角形形状，边角互化，实现“边统一”或“角统一”.（总结、感悟、提升）
例2在 △ABC中，己知c=10，A=45°，C= 30°，解这个三角形.（学生解答，教师巡视，展示学生解答过程，特别说明如何计算sin105°）
解程序1：α→B→b程序2：B→α→b程序3：B→b→α.
小结 已知两角和任意一边，求其余两边和一角.
师：哦？其它同学有不同看法吗？
生2：A除了等于45°之外，还等于135°，本题有两组解，
师：非常好！在三角形中，一个内角的正弦值有两个角与之对应（直角除外），同学们思考问题时要注意思维的严密性，继续完成本题.
2 教学案例分析
在本教学案例中，将数学运算的培养渗透在正弦定理的各个教学环节中，具体如下：
（1）在促进运算对象的理解上，首先，通过问题将探究“正弦定理的模样”这一抽象的运算对象通俗化、具体化，使学生得以找到探究的“入手点”——探寻“三角形边与其对角的等量关系”;其次，通过精心设置问题，用“降维”的思想不断地将大问题拆分成一个个连贯且有梯度的小问题，从抽象到具体、从一般到特殊，使学生逐步明晰运算对象，让学生明白要“做什么”，并恰时恰度地对学生进行启发引导，让学生懂得“怎么做”;此外，不断地为学生搭建“脚手架”，并暴露教师研究解决问题的思维过程，让学生“看到”教师思维的“痕迹”，使学生在教师的这种思维的教学中逐步掌握研究问题的一般方法，提高问题转化能力和语言转化能力，从而真正促进学生的数学理解.
（2）在促进运算思路的探究和运算程序的优化上，首先通过研究问题一般方法的熏陶让学生学会研究、学会多角度探究運算方向;其次通过推导过程和应用过程的数学思想方法渗透，让学生掌握运算技能、感悟思想方法、积累基本经验;再次通过对定理内涵的理解，灵活其运算方法的选择;最后通过回顾反思加促进其运算知识的巩固、运算技能的掌握、思想方法的感悟和基本经验的积累.
学生的数学运算素养会随运算知识的学习、运算技能的训练、运算经验的积累、思想方法的感悟而逐步提升[3].但是，运算是“童子功”，其培养不是一朝一夕的事情，它需要教师坚持不懈地研究数学运算素养与具体教学内容的结合点，探寻它的孕育点和生长点，将数学运算素养的培养与常态教学相结合，贯穿于课堂教学的各个环节，使数学运算素养切实成为可以落实的目标.
参考文献
[1]章建跃，三角函数教材落实核心素养的思考[J].中小学数学（高中版），2016 （12）： 66
[2]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准[S].北京：人民教育出版社，2018
[3]章建跃.高中阶段的数学运算素养该强调什么[J].中小学数学（高中版），2016 （6）： 66
