浅谈在“题后反思”中发展思维品质

    魏新

    [摘 ?要] 经过多年从事教育事业的摸索与实践,笔者深深体会到:学生解题后反思习惯的养成,可以成为解题的一种指导思想,可以有效提高解题效率,可以提升学习效果,也可以发展思维品质. 在解题教学中,通过题后反思培养和发展学生的思维品质,需要教师引导学生反思易错之处,追根溯源解决学生的困惑;反思解题方法规律,实现在原有经验中的生长;反思思维能力,实现发展性思维的拓展.

    [关键词] 数学教学;解题;题后反思;思维品质

    孔子云:“学而不思则罔”,此处的“罔”就是迷惑而无所得,将此名言进行推广和引申,则不难体会出解题后反思的意义所在了. 事实上,数学解题的根本价值并不在于学生做题的数量,而在于通过解题活动促进知识的整合、规律的探究及思维的提升,这才是教学的价值取向. 以思维为主线的题后反思是对知识和方法的巩固提炼,是对分析和解决问题策略的抽象概括,是对所蕴含的思想方法的不断总结. 因此,解题教学中教师需从思维的视角播种反思,重构解题的过程,实现解题的价值,关注数学本质,不断形成新方法,不断生长新经验,不断扩展新思维.

    反思易错之处,追根溯源解决学生的困惑

    学生对问题理解的最佳状态就是“悟”,而悟的过程就是感悟的过程,也是反思的过程,是在不断反思中寻求错因的过程,也是在追根溯源中解除困惑的过程. 这就需要教师在易错之处为学生创造更多的反思机会,在教师的有效提问指引下,在生生互动的相互补充下,找寻错误的根源,助力学生的数学思考,促进学生思维的发展和数学素养的提升.

    案例1 ?在讲解完“负负得正”这一规则后,教师呈现以下例题:

    计算:(-3)×(-4)=______.

    生1:我得出的答案是9.

    师:不对,有没有其他结果?

    生2:我算出的答案是12.

    师:很好,可否给大家讲解一下计算过程?

    ……

    教学分析 ?此案例是早年笔者听过的一节公开课中的一个片段. 在下课后,笔者对生1进行了访谈,问及答案的缘由时,生1说:“我是将此题放在数轴上进行思考的,也就是位于(-3)上的一点,需乘以(-4),则可以理解为沿着数轴相反方向移动4次,每次移动3格,因此可以得出答案9. ”笔者不禁为该生的思路拍手称好,尽管他得出了一个错误答案,但他的思维方向真是创意无限. 那么,他错误的根源是什么呢?此想法的依据又是什么呢?该如何纠正呢?综合以上分析,笔者认为,从思维方向进行思考,上述案例中的“错误”资源是一个很有价值的教学资源. 若是在教学过程中,执教者可以把握如此鲜活的错误资源,通过以上三问来延展学生的反思和探究,则可以使学生的数学思考既具有横向的宽度,又富有纵向的深度. 然而,执教者忽略式应对,使得原本可以引发“火热思考”的思维之火被冷水浇灭,甚是可惜!

    在七年级代数的教学中,计算问题无疑是学生的“一道坎”,如何突破这一教学难点是广大数学教师潜心探究的核心问题. 一些教师在例题教学中巧借反思这一路径,消除了学生的困顿,实现了学生能力的提升.

    案例2 ?在执教“单项式、多项式的乘除法”时,教师设计以下例题:

    (1)请分别指出以下各式的意义:①(-2)2;②-2×2;③-2-2;④2-2.

    (2)试辨析以下各式是否正确:①a2+a2=a4;②a4÷a2=a4÷2=a2;③-a3·(-a)2=(-a)3+2 =-a5;④(-a)0÷a3=0;⑤(a-2)3·a=a-2+3+1=a2.

    在解题完成后,以如下问题为载体实施反思小结:

    (1)哪些方面的错误是计算中时常出现的?

    (2)这些错误产生的根本原因是什么?

    (3)如何“根除”这些错误?

    教学分析 ?这样引导学生,既有助于学生走出错误的窠臼,获得计算能力上的提升,同时也为学生提供了基本套路上的指引. 在讨论和反思中,学生充分剖析错误根源,并且有针对性地给出了解决策略,这样一来,不仅使学生明确了“病因”,明晰了修正方法,还避免了类似错误的“复发”,从而为学生计算正确率和速度的提升奠定了良好的基础.

    反思解题方法规律,实现在原有经验中的生长

    在解题教学中,教师可以引导学生反思多种解题的方法,在猜测、揣摩、总结、归纳和提炼中,探求最优解法,培养思维的灵活性. 教师还可充分挖掘例题的延展性,有意识地设计递进式变式题,体现层次性特征,激发深度思考,拉长思维链,增长解题方法策略,拓展思维品质.

    案例3 ?一等腰三角形的腰长为4,底长6,试求该等腰三角形的周长.

    本题的难度较小,学生很快形成解题策略,完善解题步骤,得出结论. 笔者以变式题组训练来生长学生的思维:

    变式1 ?一等腰三角形的腰长为4,周长为14,试求该等腰三角形的底长.

    变式2 ?一等腰三角形的一条边长为4,另一边长为6,试求出该等腰三角形的周长.

    变式3 ?一等腰三角形的一条边长为3,另一边长为6,试求出该等腰三角形的周长. (此题通过“三角形的三边关系”,可以得出长为3的边是底边)

    变式4 ?一等腰三角形的一腰长是x,试求出该等腰三角形的底边长y的取值范围.

    变式5 ?一等腰三角形的一腰长是x,底边长为y,周长为14,请写出x与y的函数关系式,并在平面直角坐标系内画出图像. (相较于变式4,此变式又有了新的生长,尤其是需要深入理解并合理运用好“0

    教学分析 ?上述例题中,由“三角形的三边关系”出发,生长层次性较强的问题链,促进思维场的形成. 在变式的过程中,引领学生从解决此类问题的基本支架出发,从不同视角和不同路径进行探究,从而完善解题思路,有利于培养学生思维的灵活性. 然后,由特殊到一般变式,有助于学生思维变通性的培养,同时让学生感悟到解题策略本质的不变性.

    反思思维能力,实现发展性思维的拓展

    众所周知,好奇是源于人们对某些问题的关注,疑问主要是兴趣所致. 在数学教学中,学生对数学问题的好奇以及探求问题、寻求方法的疑问是学好数学、学会数学的前提. 低阶的教师一味地为学生排难解惑,而真正高明的教师则是巧妙地、不着痕迹地为学生创设只有深入思考才能突破的思维障碍,引发学生的好奇與疑问,让学生时时产生思维冲突,而与此同时又获得思考的快乐,从而实现发展性思维的拓展.

    案例4 ?在执教完“一次函数”之后,教师可设计以下例题:

    一物流公司需将A、B两种货品运送至某地,其中A种货品1240吨,B种货品880吨,现以一列货车运输. 已知该货车挂有甲和乙两种规格的货车车厢40节,使用每节甲型车厢的费用是6000元,使用每节乙型车厢的费用是8000元.

    (1)设运送A、B两种货品的总费用是y万元,该货车挂甲型车厢x节,试写出y与x之间的函数关系式;

    (2)若一节甲型车厢最多可装A种货品15吨和B种货品15吨,一节乙型车厢最多可装A种货品25吨和B种货品35吨,那么按以上要求装载这批货物时,有几种安排车厢的方案?

    (3)以上几种方案中,哪一种方案最省运费?最少运费是多少万元?

    教学分析 ?在探究问题(1)时,不少学生可以很快获得解题思路,并得出答案y=-0.2x+32. 而问题(2)中涉及的知识为“不等式组的整数解”,在亲历思考、探究、讨论、计算等过程中,学生得出以下方案:①甲型24节,乙型16节;②甲型25节,乙型15节;③甲型26节,乙型14节. 通过问题(2)的结论来解决问题(3)就轻而易举了.

    在解题过程中,学生深入认识、透彻理解及学会反思是学好数学、享受数学的保障. 反思与分析促进学生的数学发展性思维.

    总之,在以思维活动为载体,引导学生展开题后反思的过程中,教师需充分发挥学生的主体性,让学生积极主动地参与到反思活动中去,这样的过程可以让学生更加全面地经历数学知识的生长、数学思想的体验,从而对数学产生更加充分的认识和理解,并且获得各方面能力的提升.

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