例谈初中生分类讨论思想的培养

    陈丽莉

    

    

    [摘 ?要] 分类讨论思想是一种极其重要的数学思想. 文章试图以教材为媒介,以实例探究为手段,以素养的养成为终极目标,在培养学生的分类意识和分类讨论思想方面做些尝试阐释.

    [关键词] 初中数学;分类;合作讨论;分类讨论思想

    在初中数学教学中,我们不仅需要重视数学知识的应用,更需要注重形成阶段的教学,将数学思想方法的有效训练贯穿于整个教学的始终,引领学生理清问题的本源,恢复问题的本质,实现数学教学的终极目标[1]. 分类讨论作为一种应用于问题解决时的重要思想方法,是在数学知识的发生和应用的过程中形成和发展的. 不过初中生缺乏分类讨论的意识,无法理清哪些问题需要分类,更不要谈合理分类了. 这时,数学教师需以具体教学内容为载体,创设合理的教学情境,并予以启发、诱导和强化,逐步揭示分类讨论的本质,进一步培养学生自觉应用分类讨论的意识. 教师有意识培养学生的分类意识,能促使他们积极思考,从而有效提升学生的数学素养. 下面笔者以两个教学尝试为例,谈谈如何培养学生的分类讨论思想,希望能引发大家更多的思考.

    教学简录

    1. 创设情境,感受分类

    案例1 ?以“有理数的分类”为例.

    师:下面我们一起来探讨一个有趣的问题,请听好问题,看看哪位同学的方法更多一些?

    (学生们顿时兴趣盎然,积极投入课堂)

    师:若是现在老师想将你们所有学生进行分类,你可有好的方法?

    生1:这个简单,可以按性别进行分类啊!

    生2:按照出生的年份也是一个不错的选择.

    生3:还可以按照体重进行分类.

    生4:我觉得也可以按照身高进行分类.

    师:真是众说纷纭,大家都有各自的分类方法呢!下面你们再分析一下,若想分类正确必须提出哪些与之对应的问题呢?

    生5:自然需要知道分类的依据是什么了.

    生6:准确地说是必须有分类的标准.

    ……

    分析 ?分类思想在小学阶段已初步涉及,教师从学生的现实生活出发,设计分类问题情境,让他们以讲述的方式阐述自己的分类思想,从而感受分类思想在生活中的重要作用. 结合学生的数学现实和已有经验,设计了与学生生活紧密相连的数学实例,一方面活跃了课堂氛围,激发了学生的学习欲望;另一方面唤醒了学生的思维,使之在轻松愉悦的环境中理清了正确分类的前提.?摇

    师:接下来,我们来做一个游戏,一起尝试将全班学生以性别的方式进行分类. 请听好,女生举起你的左手,男生举起你的右手.

    (学生兴趣高涨,踊跃参与)

    师:大家一起来检查一下,是不是每个学生都列入分类之中?有没有遗漏的呢?你们都清楚自己的类别吗?下面再思考,若是老师想要按照身高分类,该如何操作呢?

    生7:可按5 cm为一档,确认身高组别,然后再将每个学生分别列入组别中.

    师:讲解得很清晰,此处提及的分组在下学期会进行学习. 下面哪位学生能总结分类的基本步骤呢?

    生8:首先确定一个分类的标准,然后根据这一标准正确分类.

    生9:分类时不能重复也不可遗漏.

    师:很好,那么现在我们回忆一下学过哪些数呢?请列举.

    生10:5,4,3,,,,…

    生11:3,-2,-1,-,-,-,…

    生12:0.1,0.2,0.3,…

    师:列举得很好,那么能否根据以上列举的数分类呢?

    生13:我认为可以分为整数与分数.

    生14:不对,那小数呢?小数还有无限循环小数和无限不循环小数呢.

    生15:小数和无限循环小数不是可以化为分数吗?

    生14:那无限不循环小数呢?比如π.

    师:刚才生13的分类可以统称为“有理数”;而生14所指的无限不循环小数则不属于此处我们探究的“有理数”,而是之后我们即将会探究到的“无理数”范畴. 请大家再次思考,我们还能以什么标准分类呢?

    生16:可以按照正负数分类,分为正数、负数和零.

    生17:我认为更严谨一些可以分为正有理数和负有理数,这样就不会涉及无理数了.

    师:研究得很好……

    分析 ?学生的学习活动必定是一个主动的、富有个性的过程. 在此案例的设计上,笔者采用了情境式教学,借助问题串引导学生层层深入进行分类,让学生根据自身的思维方式,勇于说出不同分类方法,发展了学生的个性,领悟了分类的本质,引领了学生的思维,使不同的学生在学习中获得了不同的发展[2]. 在教学的过程中,笔者指导学生明确分类的动机,并引导学生做到不漏不重、不乱不掺,并保证同一标准下的各类项目之间是并列关系,这是初中数学中分类的基本方法.

    2. 探究路径,体验思想

    案例2 ?以“圆周角定理的证明”为例.

    师:请在图1中画出弧AB所对的圆周角∠ACB,并猜想∠ACB和∠AOB的数量关系.

    生:∠ACB=∠AOB.

    師:下面你们观察一下身边同学所作出的图形,看看是否有收获?

    生1:我发现我们每个人所作出的图形都各不相同.

    师:不同之处在哪里呢?

    生2:图形的位置不一样.

    生3:准确地说应该是圆心相对与圆周角的位置不一样.

    师:那么有多少种圆周角的画法呢?

    生4:无数种.

    师:能否说明一下理由呢?

    生5:我们只需在优弧AB上取任意一点C,并连接AC,BC,即为所需的圆周角.

    师:下面交给大家一个任务,请小组合作讨论,看看是否可以将你们所说的无数种情况进行分类呢?

    经过片刻的探讨之后,学生们展示了以下三种分类方法:

    师:你们展示了三种图形,而猜想的结论却仅有一种,那猜想正确吗?如何证明呢?

    生6:我认为应当分3种情况进行证明……

    分析 ?此案例中,学生通过质疑问难、小组合作和教师的适时点拨,并结合猜想进行建构,从而有效突破本节课教学的难点. 首先,学生借助画图试验这一过程,让大脑始终处于亢奋的思考状态,使之行走在主动建构的道路上,并在不知不觉中渐入佳境;然后,通过小组合作探究将无数种图形位置关系进行总结归纳,并将其归结为三种类型,从而确定分类讨论的应用价值.

    教学反思

    就上述案例而言,案例1所涉及内容是整个初中教学中与分类讨论的初次邂逅;而案例2则是九年级(上)与分类讨论思想相关的教学内容,具有较强的渗透性. 笔者理解的分类意识的建立需做到:使学生理清分类的原因是什么?该如何进行分类?分类的标准该如何确定?在分类时,如何认识事物的性质呢?在分类时如何区分不同对象的不同性质呢?学生在考虑问题时需做到多思考、多尝试、多探究,使思考越来越全面,形成分类思想的主动应用.

    对学生进行分类讨论思想的培养任重道远. 据初中生的特点,教学需遵循循序渐进的原则,并借助多样化的教学手段,给予学生思考、探索、实践、验证的机会,有条不紊地实施分类讨论教学,有利于学生综合分析能力的发展,并提升他们的思维条理性、完整性和严谨性. 在具体实践中,需要学生在解决问题的过程中结合亲身体验引发内心的感悟,通过实践配合大脑同步思考,进一步拓宽学生的思维宽度,深化他们的思维深度,从而对学生的未来产生深远的影响.

    总之,分类讨论思想应用广泛,在初中数学的每个阶段都有所涉及,而它与数学知识的传授不同,需要通过长期的逐步渗透,才能让学生不断完善数学方法,从而为学生的长期发展奠定良好的基础[3].

    参考文献:

    [1]陈罗九. 深挖教材 提炼方法 培养思维——浅谈初中数学中的分类讨论思想[J]. 中国数学教育,2011(23).

    [2]饒志煌. 在初一数学教学中分类讨论思想的渗透[J]. 新课程,2015(29).

    [3]刘廷超. 刍议在初中数学教学中数学思想和方法的渗透[J]. 科学咨询,2015(51).

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