数学计算错误与学习负迁移
陈巧珍 陈清华
学习迁移是指先前学习的知识和技能对新学习与获得的影响，任何学习都会涉及先前所学知识的迁移，因此，学生现有的知识也能成为学习新知识的障碍.本文以分式为例着重分析数学计算中的负迁移现象，找出避免计算错误的对策，从而提高学生的数学运算能力.
1问题提出
数学运算能力的高低体现出一个学生的数学综合素质，然而数学计算向来是学生的一个薄弱环节.其主要原因之一就是学生对数学计算知识的记忆方式过于简单机械，习惯于模仿，套形式，加上对计算法则、公式缺乏深入探究，只知其然而不知其所以然，从而容易将形式相似而本质不同的计算简单地进行类比迁移，出现张冠李戴、生搬硬套、先入为主等现象.由于数学是一门逻辑性强、前后知识联系密切的学科，学习新知识不可避免要与先前所学的知识相联系，因而在教学中教师不能忽视学生已有知识、方法对数学计算的干扰.
2学习迁移
教育心理学中“迁移”一词的意义是：先前学习的知识和技能对新学习与获得的影响或者从一种学习中习得的经验对其他学习的影响.学习的本质是迁移，迁移一方面使已获得的知识在新的学习情境中得到应用，从而产生由此及彼、闻一知十的效果;另一方面，学生已有的知识也只有通过迁移，才能得到进一步检验、充实和熟练.如果学生在先前的学习中已经较好地掌握了所学知识，那么后继学习的效率就会更高，理解就会更深，这就是正迁移.相反，如果学生没能掌握好先前所学知识，那么后继学习的效率就会降低，如果学生对先前所学知识有错误的理解，则会对后继学习产生不利的影响，这就是负迁移.
学生数学计算中的错误与先前所学知识的干扰有关，即负迁移，也就是学生对先前所学知识掌握不扎实、理解不深刻或存在误解产生的干扰.
3剖析负迁移，发现错误类型
由于思维定势，学生容易对具有相同因素、形式相似的运算进行机械模仿、盲目套用运算法则，形成负迁移，这是导致数学计算错误的主要原因之一.本文以分式运算为例，着重分析由于负迁移而引起的几种类型的计算错误.
3.1张冠李戴
在数学学习过程中经常会碰到由于知识遗忘、对知识本质理解不深、探究不透彻等原因而将一些形式类似而本质却不同的知识混为一谈，引起计算出错的现象.
错因分析 本题的解法将分式通分与解方程混为一谈，对分式进行通分时误用了解方程的“去分母”方法，破坏了分式的恒等变形，导致计算错误，事实上，分式并非等式，不能利用等式性质进行“去分母”的运算.
3.2生搬硬套
对于数学运算法则、运算性质的学习，一方面要理解法则、性质本身的意义，另一方面要注意明确法则、性质使用的前提条件.但在实际计算过程中，很多学生会因为新旧问题的表面上的相似性，忽视法则、性质本身的适用条件，盲目套用，导致计算错误.
错因分析 分式的符号法则是-a/b=a/-b=-a/b，在上述解法中，直接套用符号法则，只看到分母第一项-a的符号，没有注意到它不是整个分母-a+b的符号，同样犯了以偏概全、生搬硬套的错误.
3.3先入为主
学生在数学计算过程中，通过教师讲、自己练等多种渠道，累积了一定的解题经验，形成一套自己的解题模式，一遇到相似的问题，便先入为主，按照熟悉的“套路”进行解题.
错因分析 乘法对加法具有分配律：a（b+c）=ab+ac，这一点学生很熟悉.因此，在进行分式除法时，很多学生先入为主，想当然并使用了根本不存在的除法分配律：a÷（b+c）=a÷6+a÷c，从而出现错解.
4克服负迁移，减少计算错误
4.1强调本质，注重知识理解
数学概念及计算法则是提高计算能力、减少计算错误的基础，只有基础牢固，计算能力才可能实现质的飞跃.在初学新运算时，我们发现很多学生因为不能准确掌握知识的本质，对概念、公式不理解，计算不会做，采取强行记忆，结果只能是机械学习，负迁移在所难免.所以，为了让学生准确、深刻、透彻地掌握知识，在新学数学概念、计算法则及公式时，不是让学生进行简单的记忆、模仿.相反，要让学生从理解知识出发，注重对知识本质的认识.同时，要注意知识间的相同和不同点.由于学习涉及到先前所学知识的迁移，所以新学知识后，学生容易受到先前所学知识的干扰，出现负迁移现象.例如，教了解方程之后，再学习分式通分，由于有的方程和分式形式上有相似之处，随着学生头脑中解方程方法步骤的不断强化，很多学生会将解方程和分式通分混淆起来，如误将“（x2/x-2）-x-2”通分成“x2-x（x-2）-2（x-2）”.
为了避免此类“移花接木”的错误，在教学过程中，可以花几分钟时间回顾一下解方程的相关知识，并把新旧知识进行比较分析，升华学生对新知识的理解，小结时，再及时强化巩固规律.
4.2投入时间，熟悉算法算理
数学是一门复杂的学科，学习复杂问题自然免不了时间和精力的投入.但是投入大量时间和精力，并不是让学生一头扎进题海训练中，而是让学生把主要精力放在计算规律的反思、总结上，掌握规律，灵活运用.成功的学习需要大量时间，原因是理解知识需要时间，贯通和深化新旧知识之间的联系需要时间.学习一种新的数学运算，往往有部分学生会对运算法则死记硬背、肤浅理解、机械套用，这种学习方式的结果只能是产生负迁移，计算能力无法提升是显而易见的.因此，教学中有必要在学习一个新的数学概念、新的计算法则时，对知识、法则的本质和形成过程进行探究，养成对每一个知识、概念进行深刻理解、反思和类比的良好习惯，从而减少混淆概念、盲目套用法则等计算错误.
4.3利用反例，加强变式训练
前后知识之间容易产生负迁移，大多是由于前后知识之间的相似性导致的，因此，在教学中教师要注意加强前后知识之间对比分析.学习一种新运算之后，适当安排一些反例、对比训练，可以帮助学生把握先前没有注意到的计算细节，增强何时、何地以及怎样运用所学知识的能力，进一步理解前后知识之间的联系和区别.另外，教学中还可以围绕几个计算易错点、易混点、难点以及重点，从不同的角度设计变式练习，比如与习题的条件、解法、结论进行类比，改造出一些新题，让学生进行对比、判断，促进学生准确、透彻地理解计算的实质，防止负迁移.例如，在分式计算中，由于学生对分式基本概念掌握不扎实或考虑问题不全面，经常会犯“以偏概全”的错误，如分式1/〔1-[1/（1-x）]，只注意到：l/（1-x）的分母，没考虑到l-[1/（1-x）]才是分式的分母，又如分式（α3+b3）/（-α2-b2），错把分母-α2-b2的第一项-α2的符号当作是整个分母的符号.针对这种错误现象，教学时可以有针对性设计一些反例、变式练习，让学生去判断、去思考和训練，提高计算能力，从而减少类似错误.
5结束语
所有的新学习都会涉及到原有知识的迁移，所以，学生现有的计算知识、计算方法、法则也能成为学习新计算的障碍.在教学中要注意抓好知识之间的相互渗透，注意新旧知识间的相互影响，既要做到温故知新，又要注意防旧扰新.当然，我们知道还有许多其他方面的错误来源，比如概念不清、计算技巧失误、审题不清、符号弄混或遗漏、数字字母抄错等等都是计算出错失分的原因.在平时教学中，教师和学生都应该考虑到这些错误原因并作好相应的对策加以避免和纠正，最终达到从整体上提高学生的运算能力的目的.
学习迁移是指先前学习的知识和技能对新学习与获得的影响，任何学习都会涉及先前所学知识的迁移，因此，学生现有的知识也能成为学习新知识的障碍.本文以分式为例着重分析数学计算中的负迁移现象，找出避免计算错误的对策，从而提高学生的数学运算能力.
1问题提出
数学运算能力的高低体现出一个学生的数学综合素质，然而数学计算向来是学生的一个薄弱环节.其主要原因之一就是学生对数学计算知识的记忆方式过于简单机械，习惯于模仿，套形式，加上对计算法则、公式缺乏深入探究，只知其然而不知其所以然，从而容易将形式相似而本质不同的计算简单地进行类比迁移，出现张冠李戴、生搬硬套、先入为主等现象.由于数学是一门逻辑性强、前后知识联系密切的学科，学习新知识不可避免要与先前所学的知识相联系，因而在教学中教师不能忽视学生已有知识、方法对数学计算的干扰.
2学习迁移
教育心理学中“迁移”一词的意义是：先前学习的知识和技能对新学习与获得的影响或者从一种学习中习得的经验对其他学习的影响.学习的本质是迁移，迁移一方面使已获得的知识在新的学习情境中得到应用，从而产生由此及彼、闻一知十的效果;另一方面，学生已有的知识也只有通过迁移，才能得到进一步检验、充实和熟练.如果学生在先前的学习中已经较好地掌握了所学知识，那么后继学习的效率就会更高，理解就会更深，这就是正迁移.相反，如果学生没能掌握好先前所学知识，那么后继学习的效率就会降低，如果学生对先前所学知识有错误的理解，则会对后继学习产生不利的影响，这就是负迁移.
学生数学计算中的错误与先前所学知识的干扰有关，即负迁移，也就是学生对先前所学知识掌握不扎实、理解不深刻或存在误解产生的干扰.
3剖析负迁移，发现错误类型
由于思维定势，学生容易对具有相同因素、形式相似的运算进行机械模仿、盲目套用运算法则，形成负迁移，这是导致数学计算错误的主要原因之一.本文以分式运算为例，着重分析由于负迁移而引起的几种类型的计算错误.
3.1张冠李戴
在数学学习过程中经常会碰到由于知识遗忘、对知识本质理解不深、探究不透彻等原因而将一些形式类似而本质却不同的知识混为一谈，引起计算出错的现象.
错因分析 本题的解法将分式通分与解方程混为一谈，对分式进行通分时误用了解方程的“去分母”方法，破坏了分式的恒等变形，导致计算错误，事实上，分式并非等式，不能利用等式性质进行“去分母”的运算.
3.2生搬硬套
对于数学运算法则、运算性质的学习，一方面要理解法则、性质本身的意义，另一方面要注意明确法则、性质使用的前提条件.但在实际计算过程中，很多学生会因为新旧问题的表面上的相似性，忽视法则、性质本身的适用条件，盲目套用，导致计算错误.
错因分析 分式的符号法则是-a/b=a/-b=-a/b，在上述解法中，直接套用符号法则，只看到分母第一项-a的符号，没有注意到它不是整个分母-a+b的符号，同样犯了以偏概全、生搬硬套的错误.
3.3先入为主
学生在数学计算过程中，通过教师讲、自己练等多种渠道，累积了一定的解题经验，形成一套自己的解题模式，一遇到相似的问题，便先入为主，按照熟悉的“套路”进行解题.
错因分析 乘法对加法具有分配律：a（b+c）=ab+ac，这一点学生很熟悉.因此，在进行分式除法时，很多学生先入为主，想当然并使用了根本不存在的除法分配律：a÷（b+c）=a÷6+a÷c，从而出现错解.
4克服负迁移，减少计算错误
4.1强调本质，注重知识理解
数学概念及计算法则是提高计算能力、减少计算错误的基础，只有基础牢固，计算能力才可能实现质的飞跃.在初学新运算时，我们发现很多学生因为不能准确掌握知识的本质，对概念、公式不理解，计算不会做，采取强行记忆，结果只能是机械学习，负迁移在所难免.所以，为了让学生准确、深刻、透彻地掌握知识，在新学数学概念、计算法则及公式时，不是让学生进行简单的记忆、模仿.相反，要让学生从理解知识出发，注重对知识本质的认识.同时，要注意知识间的相同和不同点.由于学习涉及到先前所学知识的迁移，所以新学知识后，学生容易受到先前所学知识的干扰，出现负迁移现象.例如，教了解方程之后，再学习分式通分，由于有的方程和分式形式上有相似之处，随着学生头脑中解方程方法步骤的不断强化，很多学生会将解方程和分式通分混淆起来，如误将“（x2/x-2）-x-2”通分成“x2-x（x-2）-2（x-2）”.
为了避免此类“移花接木”的错误，在教学过程中，可以花几分钟时间回顾一下解方程的相关知识，并把新旧知识进行比较分析，升华学生对新知识的理解，小结时，再及时强化巩固规律.
4.2投入时间，熟悉算法算理
数学是一门复杂的学科，学习复杂问题自然免不了时间和精力的投入.但是投入大量时间和精力，并不是让学生一头扎进题海训练中，而是让学生把主要精力放在计算规律的反思、总结上，掌握规律，灵活运用.成功的学习需要大量时间，原因是理解知识需要时间，贯通和深化新旧知识之间的联系需要时间.学习一种新的数学运算，往往有部分学生会对运算法则死记硬背、肤浅理解、机械套用，这种学习方式的结果只能是产生负迁移，计算能力无法提升是显而易见的.因此，教学中有必要在学习一个新的数学概念、新的计算法则时，对知识、法则的本质和形成过程进行探究，养成对每一个知识、概念进行深刻理解、反思和类比的良好习惯，从而减少混淆概念、盲目套用法则等计算错误.
4.3利用反例，加强变式训练
前后知识之间容易产生负迁移，大多是由于前后知识之间的相似性导致的，因此，在教学中教师要注意加强前后知识之间对比分析.学习一种新运算之后，适当安排一些反例、对比训练，可以帮助学生把握先前没有注意到的计算细节，增强何时、何地以及怎样运用所学知识的能力，进一步理解前后知识之间的联系和区别.另外，教学中还可以围绕几个计算易错点、易混点、难点以及重点，从不同的角度设计变式练习，比如与习题的条件、解法、结论进行类比，改造出一些新题，让学生进行对比、判断，促进学生准确、透彻地理解计算的实质，防止负迁移.例如，在分式计算中，由于学生对分式基本概念掌握不扎实或考虑问题不全面，经常会犯“以偏概全”的错误，如分式1/〔1-[1/（1-x）]，只注意到：l/（1-x）的分母，没考虑到l-[1/（1-x）]才是分式的分母，又如分式（α3+b3）/（-α2-b2），错把分母-α2-b2的第一项-α2的符号当作是整个分母的符号.针对这种错误现象，教学时可以有针对性设计一些反例、变式练习，让学生去判断、去思考和训練，提高计算能力，从而减少类似错误.
5结束语
所有的新学习都会涉及到原有知识的迁移，所以，学生现有的计算知识、计算方法、法则也能成为学习新计算的障碍.在教学中要注意抓好知识之间的相互渗透，注意新旧知识间的相互影响，既要做到温故知新，又要注意防旧扰新.当然，我们知道还有许多其他方面的错误来源，比如概念不清、计算技巧失误、审题不清、符号弄混或遗漏、数字字母抄错等等都是计算出错失分的原因.在平时教学中，教师和学生都应该考虑到这些错误原因并作好相应的对策加以避免和纠正，最终达到从整体上提高学生的运算能力的目的.
