试论高中数学教学中培养学生的创造能力
孙大鹏 刘亚平
从一般意义上说，创造力是在人的心理结构整体背景和心理活动的最高水平上所实现的向社会提供的具有首创性和社会价值的产物的综合能力.发现和发明是创造力的主要表现，对基础教育而言，什么是创造呢？教育家刘佛年指出：“只要在学习中，有一点新意思、新思想、新观念、新设计、新意图、新做法、新方法，就可称得上创造，我们要把创造的范围看得广一些，不要看得太神秘.”在2000年教育部国家级骨干教师培训会上，罗增儒教授曾把“教育中的创造”概括为：“无中生有是创造，有中生新是创新”.
目前，作为素质教育重要内容的“创新教育”已成为人们关注的热点，培养创新能力、提高民族素质已成为当今数学教学追求的目标.数学教学要实现“从复现性学习的数学到创造性学习的数学转变”，“为创造性而教”已成为大家的共识.那么在高中的数学教学中，如何培养学生的创造能力呢？笔者结合自身多年的教学实践，谈谈一些看法，期盼同行指正.
1通过启发学生“提出问题”，培养学生的创造能力
教育家朱熹说：“读书无疑者，需教有疑，有疑者却要无疑，到此方为长进.”这说明疑问对于读书的重要性，特别是，对于那些无疑者或不知疑者，要教有疑，这一点常常被我们忽视.
在数学学习中，学生认为对某些重点内容已经没有疑问了，而实际可能并非如此.一方面，学生可能对问题没有深入理解，只看到浅表现象，不知道自己有疑问;另一方面，也可能因为教师缺乏必要的数学素养或教学手段，没有及时地帮助学生把看似“无疑”的问题的本质揭示出来，引发学生去辨析和争论，学生自然难以提出高质量的疑问.
对此，郑毓信教授提出了数学教师的三个基本功，即善于举例、善于提问、恰当处理多元化与优化关系.并指出好的问题能使学生的思维快速完成由“表层结构”向“深层结构”的重要过渡.
对善于提问的重要性，美国学者巴拉布与达菲更是一语中的，“教师的工作是通过向学生问他们应当自己问自己的问题来对学习和问题解决进行指导，这是参与性的，不是指导性的;其目标不是寻找正确的答案，而是针对专业问题的解决者当时会向自己提出的那些问题.”正因为如此，善于提问往往被看做一位优秀的数学教师应具备的基本素质之一.
数学家希尔伯特说：“一个学科如果没有了问题，就意味着死亡.”爱因斯坦指出：“提出一个问题比解决一个问题更重要，因为解决问题需要的仅是一个数学上或实验上的技能而已，而提出新的问题、新的可能性，从新的角度去看旧的问题，却需要创造性的想象力，而且标志着科学的真正进步.”
因此，创新源于问题，没有问题就没有创新.教师要认识到学习活动不应是由教师向学生传递知识，而是学生主动建构知识的过程，要想让学生主动地建构知识，就必须教会学生提出问题，只有当学生能提出好的问题，才预示着学生正在由“知”走向“识”，才说明他对数学思想与方法有了深刻的领悟，形成了深刻的数学思维，才有可能创新地应用数学知识去解决陌生问题.
案例1已知一个函数的解析式为y=x2，它的定义域为「l，2」，试求它的值域.
在学生给出结果后，笔者启发学生提出并思考下列问题：为什么上述函数的值域是唯一确定的？如果把原问题改为“已知一个函数的解析式为y=x2，它的值域为「l，4」，试求它的定义域.”这个函数的定义域是否唯一？为什么？你能寫出其中的两个函数吗？……学生通过提出及解决这些问题，对函数的本质——单值对应产生深刻认识，为后续学习及创造性地解决有关函数问题做好知识铺垫.
2通过引导学生“自主探究”，培养学生的创造能力
《普通高中数学课程标准（实验）》指出：“学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应倡导自主探究、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式”，“通过不同形式的自主学习、探究活动，体验数学发现和创造的历程……发展数学应用意识和创新意识，力求对现实世界中蕴涵的一些数学模型进行思考和做出判断.”在数学教学过程中，教师要尽量设置一些数学探究和数学建模活动，帮助学生体验数学发现和创造过程，发掘学生的数学应用意识和创新意识，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程.
布鲁纳说：“探索是数学教学的生命线.”数学教学离不开探索，但要注意的是，学生是探究的主体，让绝大多数学生能参与进来的探究才是真正有意义的探究，才是高效探究，所以问题的设计要从保护学生的积极性和提升学生的信心入手.因为学生基础的不同、个性的差异等所表现出来的解题能力、发现新知能力是参差不齐的，这就要求我们在探究教学过程中，为学生设计探究方法的平台.
合适的平台，有助于各层次学生思维的启动和发展，获得一次成功后，又能促进下一步的探究，形成良性循环，构建这些探究台阶的高低与数量，要视问题的难度而定，难度较大处台阶要低，让学生能登上而且登稳;容易的地方，探究台阶要高一点.总的原则就是，既不能让学生上不去，又不能让学生上得太轻松.这样，才能较好地使学生处于一波未平一波又起的探究问题情境之中，为学生营造一个又一个跌宕而自由的适合学生创新发展的探究氛围.
3通过应用“数学思想方法”，培养学生的创造能力
事实表明，创新首先是思想的突破，新的思想才会带来新的创造.强调指导思想时称数学思想，强调操作过程时称数学方法.数学思想方法与数学知识在数学科学中是不可分割的一个整体，数学知识是数学思想方法的载体，数学思想方法通过数学知识来显示，数学知识的形成又是数学思想方法运用的结果.
数学思想和数学方法都属于数学方法论的范畴，徐利治教授指出：“数学方法论主要是研究和讨论数学的发现规律、数学的思想方法以及数学中的发现、发明与创新等法则的一门学问.”
在中学数学阶段，主要的数学思想方法有十多种，这里我们只讲其中最主要的四种：分类与整合思想、化归与转化思想、函数方程思想、数形结合思想.可把它们编为易于学生记忆的顺口溜：“分类讨论最重要，函数方程真巧妙！等价转化常用到，数形结合实在妙！”
高考数学试题大致有“四难”：字母多、运算多、讨论多、创新多.分类与整合思想在每年的考查中都占有十分重要的地位.一是因为分类讨论问题覆盖的知识点多，有利于对知识的学习考查;更重要的是它具有较强的逻辑性、综合性、探索性等特点.有利于考查学生的灵活多变与创新等能力.对于学习函数的方法，数学家克莱因一针见血指出：“一般受教育者在数学课上应该学会的重要事情是用变量和函数来思考.”函数知识在中学数学中占了相当大的比重，如果一个学生仅仅学习了函数的知识，那他在解决问题时还是被动的，只有他建立了函数思想，他才会主动地去解决问题.对于化归与转化思想的应用，数学家罗莎·波得认为：“他们往往不是对问题进行正面的攻击，而是不断地将它变形，直至把它转化成能够得到解决的问题.”运用化归与转化思想可把复杂化简单、陌生化熟悉、新颖化常规、未知化已知.“数”与“形”是矛盾的两个方面，宇宙间万物无不是“数”与“形”的矛盾的辩证统一.华罗庚先生对它们作了精辟的阐述：“数无形时少直觉，形少数时难入微;数形结合百般好，隔离分家万事休.”数形结合实质是将抽象的形式化语言和直观的图形结合起来，抽象思维与形象思维相互作用，将代数问题几何化，几何问题代数化.学生只有熟练掌握、通透领悟数学思想方法并达到信手拈来的境界，才会更好地找到解决问题的上升通道，才会在不经意间有所创造.
分析对方程、不等式有解问题，通性通法是先分离参数α，再转化为求函数的最值来求α的范围（具体过程略）.除了上述常规思路外，我们还可以引导学生完成下列解法：
这种解法运用了等价转化、数形结合、分类与整合等思想使数学问题直观化、形象化，变抽象思维为形象思维，变代数问题為几何问题，揭示了问题的本质，避免了常规思路的复杂运算与推理，拓宽了学生的解题思路与模式，培养了学生创造性地发现问题、分析问题与解决问题的能力.
4通过训练学生的“发散思维”，培养学生的创造能力
数学创造性思维既是逻辑思维与非逻辑思维的综合，又是发散思维与收敛思维辩证统一.现在心理学的研究认为，创新能力=知识量x发散思维能力.另外，人们通过实践还认为，数学新发现通常有特定模式，如图3所示.
从这个过程中我们可以看出，观察、实验是引发猜想的基础，归纳、联想、类比是发现猜想的途径，我们在平时数学教学时，特别是进行有关合情推理问题教学时，一定要提供学生观察实验、寻找规律的机会，引导学生从类似事物中得到新思路、新观点，从相近事物的联想得到新方法、新结论.而新思想、新观点、新方法、新视角往往基于发散思维能力水平的高低.一题多变、一题多问、一题多解等作为一种数学解题教学模式，是培养学生发散思维能力的一种行之有效的举措.
发展学生的创造力是素质教育的核心任务，需要学生学会讲数学语言、用数学模式、悟数学思维、体数学理性、扬数学精神;更需要数学教师幽默的教学语言、渊博的数学知识、先进的教学理念、娴熟的教学技能来保驾护航.这是新时代赋予数学教师义不容辞的教育任务，更是光荣的教育使命.
从一般意义上说，创造力是在人的心理结构整体背景和心理活动的最高水平上所实现的向社会提供的具有首创性和社会价值的产物的综合能力.发现和发明是创造力的主要表现，对基础教育而言，什么是创造呢？教育家刘佛年指出：“只要在学习中，有一点新意思、新思想、新观念、新设计、新意图、新做法、新方法，就可称得上创造，我们要把创造的范围看得广一些，不要看得太神秘.”在2000年教育部国家级骨干教师培训会上，罗增儒教授曾把“教育中的创造”概括为：“无中生有是创造，有中生新是创新”.
目前，作为素质教育重要内容的“创新教育”已成为人们关注的热点，培养创新能力、提高民族素质已成为当今数学教学追求的目标.数学教学要实现“从复现性学习的数学到创造性学习的数学转变”，“为创造性而教”已成为大家的共识.那么在高中的数学教学中，如何培养学生的创造能力呢？笔者结合自身多年的教学实践，谈谈一些看法，期盼同行指正.
1通过启发学生“提出问题”，培养学生的创造能力
教育家朱熹说：“读书无疑者，需教有疑，有疑者却要无疑，到此方为长进.”这说明疑问对于读书的重要性，特别是，对于那些无疑者或不知疑者，要教有疑，这一点常常被我们忽视.
在数学学习中，学生认为对某些重点内容已经没有疑问了，而实际可能并非如此.一方面，学生可能对问题没有深入理解，只看到浅表现象，不知道自己有疑问;另一方面，也可能因为教师缺乏必要的数学素养或教学手段，没有及时地帮助学生把看似“无疑”的问题的本质揭示出来，引发学生去辨析和争论，学生自然难以提出高质量的疑问.
对此，郑毓信教授提出了数学教师的三个基本功，即善于举例、善于提问、恰当处理多元化与优化关系.并指出好的问题能使学生的思维快速完成由“表层结构”向“深层结构”的重要过渡.
对善于提问的重要性，美国学者巴拉布与达菲更是一语中的，“教师的工作是通过向学生问他们应当自己问自己的问题来对学习和问题解决进行指导，这是参与性的，不是指导性的;其目标不是寻找正确的答案，而是针对专业问题的解决者当时会向自己提出的那些问题.”正因为如此，善于提问往往被看做一位优秀的数学教师应具备的基本素质之一.
数学家希尔伯特说：“一个学科如果没有了问题，就意味着死亡.”爱因斯坦指出：“提出一个问题比解决一个问题更重要，因为解决问题需要的仅是一个数学上或实验上的技能而已，而提出新的问题、新的可能性，从新的角度去看旧的问题，却需要创造性的想象力，而且标志着科学的真正进步.”
因此，创新源于问题，没有问题就没有创新.教师要认识到学习活动不应是由教师向学生传递知识，而是学生主动建构知识的过程，要想让学生主动地建构知识，就必须教会学生提出问题，只有当学生能提出好的问题，才预示着学生正在由“知”走向“识”，才说明他对数学思想与方法有了深刻的领悟，形成了深刻的数学思维，才有可能创新地应用数学知识去解决陌生问题.
案例1已知一个函数的解析式为y=x2，它的定义域为「l，2」，试求它的值域.
在学生给出结果后，笔者启发学生提出并思考下列问题：为什么上述函数的值域是唯一确定的？如果把原问题改为“已知一个函数的解析式为y=x2，它的值域为「l，4」，试求它的定义域.”这个函数的定义域是否唯一？为什么？你能寫出其中的两个函数吗？……学生通过提出及解决这些问题，对函数的本质——单值对应产生深刻认识，为后续学习及创造性地解决有关函数问题做好知识铺垫.
2通过引导学生“自主探究”，培养学生的创造能力
《普通高中数学课程标准（实验）》指出：“学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应倡导自主探究、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式”，“通过不同形式的自主学习、探究活动，体验数学发现和创造的历程……发展数学应用意识和创新意识，力求对现实世界中蕴涵的一些数学模型进行思考和做出判断.”在数学教学过程中，教师要尽量设置一些数学探究和数学建模活动，帮助学生体验数学发现和创造过程，发掘学生的数学应用意识和创新意识，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程.
布鲁纳说：“探索是数学教学的生命线.”数学教学离不开探索，但要注意的是，学生是探究的主体，让绝大多数学生能参与进来的探究才是真正有意义的探究，才是高效探究，所以问题的设计要从保护学生的积极性和提升学生的信心入手.因为学生基础的不同、个性的差异等所表现出来的解题能力、发现新知能力是参差不齐的，这就要求我们在探究教学过程中，为学生设计探究方法的平台.
合适的平台，有助于各层次学生思维的启动和发展，获得一次成功后，又能促进下一步的探究，形成良性循环，构建这些探究台阶的高低与数量，要视问题的难度而定，难度较大处台阶要低，让学生能登上而且登稳;容易的地方，探究台阶要高一点.总的原则就是，既不能让学生上不去，又不能让学生上得太轻松.这样，才能较好地使学生处于一波未平一波又起的探究问题情境之中，为学生营造一个又一个跌宕而自由的适合学生创新发展的探究氛围.
3通过应用“数学思想方法”，培养学生的创造能力
事实表明，创新首先是思想的突破，新的思想才会带来新的创造.强调指导思想时称数学思想，强调操作过程时称数学方法.数学思想方法与数学知识在数学科学中是不可分割的一个整体，数学知识是数学思想方法的载体，数学思想方法通过数学知识来显示，数学知识的形成又是数学思想方法运用的结果.
数学思想和数学方法都属于数学方法论的范畴，徐利治教授指出：“数学方法论主要是研究和讨论数学的发现规律、数学的思想方法以及数学中的发现、发明与创新等法则的一门学问.”
在中学数学阶段，主要的数学思想方法有十多种，这里我们只讲其中最主要的四种：分类与整合思想、化归与转化思想、函数方程思想、数形结合思想.可把它们编为易于学生记忆的顺口溜：“分类讨论最重要，函数方程真巧妙！等价转化常用到，数形结合实在妙！”
高考数学试题大致有“四难”：字母多、运算多、讨论多、创新多.分类与整合思想在每年的考查中都占有十分重要的地位.一是因为分类讨论问题覆盖的知识点多，有利于对知识的学习考查;更重要的是它具有较强的逻辑性、综合性、探索性等特点.有利于考查学生的灵活多变与创新等能力.对于学习函数的方法，数学家克莱因一针见血指出：“一般受教育者在数学课上应该学会的重要事情是用变量和函数来思考.”函数知识在中学数学中占了相当大的比重，如果一个学生仅仅学习了函数的知识，那他在解决问题时还是被动的，只有他建立了函数思想，他才会主动地去解决问题.对于化归与转化思想的应用，数学家罗莎·波得认为：“他们往往不是对问题进行正面的攻击，而是不断地将它变形，直至把它转化成能够得到解决的问题.”运用化归与转化思想可把复杂化简单、陌生化熟悉、新颖化常规、未知化已知.“数”与“形”是矛盾的两个方面，宇宙间万物无不是“数”与“形”的矛盾的辩证统一.华罗庚先生对它们作了精辟的阐述：“数无形时少直觉，形少数时难入微;数形结合百般好，隔离分家万事休.”数形结合实质是将抽象的形式化语言和直观的图形结合起来，抽象思维与形象思维相互作用，将代数问题几何化，几何问题代数化.学生只有熟练掌握、通透领悟数学思想方法并达到信手拈来的境界，才会更好地找到解决问题的上升通道，才会在不经意间有所创造.
分析对方程、不等式有解问题，通性通法是先分离参数α，再转化为求函数的最值来求α的范围（具体过程略）.除了上述常规思路外，我们还可以引导学生完成下列解法：
这种解法运用了等价转化、数形结合、分类与整合等思想使数学问题直观化、形象化，变抽象思维为形象思维，变代数问题為几何问题，揭示了问题的本质，避免了常规思路的复杂运算与推理，拓宽了学生的解题思路与模式，培养了学生创造性地发现问题、分析问题与解决问题的能力.
4通过训练学生的“发散思维”，培养学生的创造能力
数学创造性思维既是逻辑思维与非逻辑思维的综合，又是发散思维与收敛思维辩证统一.现在心理学的研究认为，创新能力=知识量x发散思维能力.另外，人们通过实践还认为，数学新发现通常有特定模式，如图3所示.
从这个过程中我们可以看出，观察、实验是引发猜想的基础，归纳、联想、类比是发现猜想的途径，我们在平时数学教学时，特别是进行有关合情推理问题教学时，一定要提供学生观察实验、寻找规律的机会，引导学生从类似事物中得到新思路、新观点，从相近事物的联想得到新方法、新结论.而新思想、新观点、新方法、新视角往往基于发散思维能力水平的高低.一题多变、一题多问、一题多解等作为一种数学解题教学模式，是培养学生发散思维能力的一种行之有效的举措.
发展学生的创造力是素质教育的核心任务，需要学生学会讲数学语言、用数学模式、悟数学思维、体数学理性、扬数学精神;更需要数学教师幽默的教学语言、渊博的数学知识、先进的教学理念、娴熟的教学技能来保驾护航.这是新时代赋予数学教师义不容辞的教育任务，更是光荣的教育使命.
