抓住问题本质，实现多题通解
沈英
波利亚在《数学的发现》中认为，中学数学教学的首要任务就在于加强解题训练.数学离不开解题，解题的灵魂是数学思想，而数学模型是数学思想的载体.在平时的教学过程中，教师要善于引导学生将所学内容整理归纳出类型和方法，经过加工提炼，得出有指导价值、有典型结构的数学模型.“铅垂高”模型在各地中考试卷上屡屡出现，虽在考查形式上不断创新，但解决问题的途径是相同的.本文主要对这类问题及其变式进行探究归纳，以帮助学生形成常规的解题思路，从而提高分析问题和解决问题的能力.
1利用“铅垂高”解决图形面积问题
解析 因为抛物线的解析式确定，直线CD的解析式确定，从而可以确定C、D两点之间的水平宽，第（2）小问要求△PCD面积的最大值，我们将“铅垂高”PN的长度表示出来，就可以表示出△PCD的面积，再进一步求出面积的最大值.
解析 此题第（2）小問求平行四边形CDEF的面积，可利用“平行四边形是中心对称图形”性质，其对角线将平行四边形分成了面积相等的两部分，求平行四边形CDEF的面积，其实就是求△DCF的面积的2倍，用“铅垂高”模型即可求出△DCF的面积.我们只要找到了问题的本质，利用模型，就能快速地求解此题，这也是模型学习的优势所在.
解析 本题第（2）小问求面积比的最值问题，因为△CDE和△BCE有相同的底边CE，所以面积之比就转化为高之比，由于高DF求解比较复杂，利用“铅垂高”模型，我们将DF“化斜为直”转化为求DH的长，问题将迎刃而解.
解析 四边形DGFE是四个顶点都在变化的图形，由于DG∥EF∥y轴，所以它是一个梯形，梯形的面积就是表示出上下底和高，由于DE=√5，直线CB的解析式可求，又线段DE在线段CB上运动，所以DG与EF之间的距离确定且为2，那么上下两底的长就可以利用“铅垂高”来解决.
2利用“铅垂高”解决点到直线的距离问题
3利用“铅垂高”解决三角形的周长问题
解析 △PMN的周长等于PN+PM+MN，其中PM的可用“铅垂高”来表示，而PN表示点P到直线AD的距离，PN， MN的长度不容易直接求出.从图11中可以发现△PMN∽△DCE，而△DCE是确定的，由△DCE三边之比从而求得出△PMN三边关系，进一步表示出△PMN的周长ι.
运用模型解题能够加深学生的思维深度，抓住问题的本质及共性，找出问题间内在的联系，让学习事半功倍.所以在数学教学过程中，要有效地进行数学模型思想的渗透，让学生充分体会到利用数学模型的思想解决问题的实用性.
哈尔莫斯说：“数学是一种别具匠心的艺术.”如果说数学教师是这门艺术的创造者，那么数学思想方法就是这门艺术的灵魂，学生的创作就是它的血和肉.作为数学教师不但要在课堂教学中经常性地渗透数学模型思想，更重要的是用这种模型思想的方法去拓展学生的解题思维，发展学生的创新意识和应用意识，提升学生的核心素养.
波利亚在《数学的发现》中认为，中学数学教学的首要任务就在于加强解题训练.数学离不开解题，解题的灵魂是数学思想，而数学模型是数学思想的载体.在平时的教学过程中，教师要善于引导学生将所学内容整理归纳出类型和方法，经过加工提炼，得出有指导价值、有典型结构的数学模型.“铅垂高”模型在各地中考试卷上屡屡出现，虽在考查形式上不断创新，但解决问题的途径是相同的.本文主要对这类问题及其变式进行探究归纳，以帮助学生形成常规的解题思路，从而提高分析问题和解决问题的能力.
1利用“铅垂高”解决图形面积问题
解析 因为抛物线的解析式确定，直线CD的解析式确定，从而可以确定C、D两点之间的水平宽，第（2）小问要求△PCD面积的最大值，我们将“铅垂高”PN的长度表示出来，就可以表示出△PCD的面积，再进一步求出面积的最大值.
解析 此题第（2）小問求平行四边形CDEF的面积，可利用“平行四边形是中心对称图形”性质，其对角线将平行四边形分成了面积相等的两部分，求平行四边形CDEF的面积，其实就是求△DCF的面积的2倍，用“铅垂高”模型即可求出△DCF的面积.我们只要找到了问题的本质，利用模型，就能快速地求解此题，这也是模型学习的优势所在.
解析 本题第（2）小问求面积比的最值问题，因为△CDE和△BCE有相同的底边CE，所以面积之比就转化为高之比，由于高DF求解比较复杂，利用“铅垂高”模型，我们将DF“化斜为直”转化为求DH的长，问题将迎刃而解.
解析 四边形DGFE是四个顶点都在变化的图形，由于DG∥EF∥y轴，所以它是一个梯形，梯形的面积就是表示出上下底和高，由于DE=√5，直线CB的解析式可求，又线段DE在线段CB上运动，所以DG与EF之间的距离确定且为2，那么上下两底的长就可以利用“铅垂高”来解决.
2利用“铅垂高”解决点到直线的距离问题
3利用“铅垂高”解决三角形的周长问题
解析 △PMN的周长等于PN+PM+MN，其中PM的可用“铅垂高”来表示，而PN表示点P到直线AD的距离，PN， MN的长度不容易直接求出.从图11中可以发现△PMN∽△DCE，而△DCE是确定的，由△DCE三边之比从而求得出△PMN三边关系，进一步表示出△PMN的周长ι.
运用模型解题能够加深学生的思维深度，抓住问题的本质及共性，找出问题间内在的联系，让学习事半功倍.所以在数学教学过程中，要有效地进行数学模型思想的渗透，让学生充分体会到利用数学模型的思想解决问题的实用性.
哈尔莫斯说：“数学是一种别具匠心的艺术.”如果说数学教师是这门艺术的创造者，那么数学思想方法就是这门艺术的灵魂，学生的创作就是它的血和肉.作为数学教师不但要在课堂教学中经常性地渗透数学模型思想，更重要的是用这种模型思想的方法去拓展学生的解题思维，发展学生的创新意识和应用意识，提升学生的核心素养.
