挖掘垂径定理，探究解题应用
束长军
[摘? 要] “垂径定理”是基于圆的对称性构建的特殊定理，其中涉及两线关系、弦长、弧长等几何内容，是求解圆类问题较为常用的定理. 垂径定理可用于多种模型的构建，文章结合实例，对其加以探讨，并提出相应的教学建议，与读者交流.
[关键词] 垂径定理;直角三角形;线段长
“垂径定理”是初中数学的核心定理，也是“圆”内容的重要考点. 该定理可以充分反映圆的重要性质. 教学中，我们除了需要使学生掌握定理及其推论外，还需要学习运用定理构建模型、解析问题的方法，下面对其深入探究.
关于垂径定理的解题应用
垂径定理及其推论反映了五大条件：①垂直于弦;②通过圆心;③平分弦;④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧. 在明确其中任意两个条件的情况下即可推理出其他的结论. 而在实际解题时，可根据定理构建相应的模型，求解相关的几何问题. 常见的应用有构建几何直角、构建等角模型、构建等长线段、构建特殊四边形等.
1. 构建几何直角，勾股定理化解
垂径定理中存在关于“垂直”的内容，因此，解题时可以利用垂径定理来构建直角三角形，用以求解相关线段长的问题. 具体思路是：关于圆内的半径、圆心，结合垂径定理构建直角三角形，然后根据勾股定理，利用半径、弦心距和弦长来列方程求解.
例1如图1，在⊙O中，CD是圆的直径，且CD与弦AB相交于点E，AM⊥BC于点M，与CD交于点N，连接AD. 若AB=8，ON=1，AE=BE，试求⊙O的半径.
分析本题的目的是求⊙O的半径，由题干条件“CD是圆的直径”“AE=BE”可知满足垂径定理，进而可得出AB⊥CD. 因此可以根據垂径定理来构建直角三角形，且求出相关线段的长，然后利用勾股定理来建立求解半径长的方程.
解答因为CD是⊙O的直径，AE=BE，所以CD⊥AB. 所以∠C+∠B=90°. 于是可得∠CNM=∠B=∠AND. 又∠D=∠B，所以∠AND=∠D. 所以AN=AD. 根据条件可知AE=BE=4，连接OA，如图2，则△AOE为直角三角形. 设OE=x，由条件可知DE=NE=x+1，OD=OE+ED=2x+1，OA=OD=2x+1. 在Rt△AOE中，由勾股定理可得OE2+AE2=OA2，即x2+42=（2x+1）2，又x>0，所以x=■. 所以OA=■，即⊙O的半径为■.
评析 利用垂径定理可以构建直角三角形，构建时需要关注其中的半径或直径、弦长的平分情形以及对应的平分弧，确保满足垂径定理使用的条件. 利用勾股定理建立方程时，要合理利用其中的弦长、弦心距等线段的长.
2. 构建相等圆周角，等角转化求解
由垂径定理的内容可知，垂直于弦的直径平分弦以及平分该弦所对的两条弧长，因此利用垂径定理可以获得等弧. 联系等弧与对应的圆周角关系就可以建立等角关系，从而用于求解角度、探索相似三角形的条件.
例2 如图3，△ABC的外接圆为⊙O，BC为⊙O的直径，连接AO，过点B作AO的垂线，与AC交于点D，与⊙O交于点E，求证：AB·BC=BD·AC.
分析 AB·BC=BD·AC可变形为■=■，显然是△BAD与△CAB的相似性质. 两三角形存在公共角，于是只需要证明圆周角∠ABD与∠C相等即可，后者可结合圆内的垂径定理来完成，即由定理获得平分弦和弦所对的弧，然后由等弧来推导对应的圆周角相等.
证明 因为BE⊥AO，AO为⊙O的半径，于是由垂径定理可得AO平分弦BE，且■=■. 根据“在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角相等”，可得∠ABD=∠C. 又∠BAD=∠BAC，所以△BAD∽△CAB. 所以■=■，即AB·BC=BD·AC.
评析？摇 垂径定理涉及平分弦和平分弧，因此可完成“弧相等”到“所对圆周角相等”的过渡. 上述求证线段比值关系，根据其形式可以联想到相似三角形，后续引入垂径定理来构建相等的圆周角，则变得水到渠成. 因此，求解圆内的角度问题时，可以充分提取垂径定理成立的条件，完成角度转化.
3. 构建等长线段，线段转化求值
垂径定理建立了角度、弦长、弧长等几何量，根据定理同样可以构建等长线段，为后续的几何分析做基础. 另外，还可以利用垂径定理的线段转化来分析对应的最值问题.
例3 如图4，AB为⊙O的直径，定长弦CD在⊙O上滑动（点C，D不与圆上的点A，B重合），点M为CD的中点，过点C作AB的垂线，垂足为P，连接PM. 已知CD=3，AB=8，设PM=a，试求a的最大值.
分析因为CD为动弦，所以点M为动点，这是造成线段PM长度变化的根源. 可以采用线段长度转化的方式，通过分析直观线段的长度变化来求PM的最大值. 已知CP⊥AB，则可以结合垂径定理构建等长线段，即延长CP与⊙O相交于点E，由定理可知点P为CE的中点，结合点M是CD的中点可知“PM=■DE”始终成立，因此后续只需要分析DE的长度变化即可.
解答延长CP与⊙O相交于点E，连接DE. 根据垂径定理可得CP=EP，即点P是线段CE的中点. 又点M为CD的中点，所以PM为△CDE的中位线. 所以PM=■DE. 因为DE是⊙O的动弦，因此当DE为圆的直径时DE达到最长，此时PM的长也达到最大，且PM的最大值与⊙O的半径长相等，即PM■=4. 所以a的最大值为4.
评析 上述问题是求线段的最值，解析时通过延长线段构建了满足垂径定理的条件，完成了线段转化. 实际上，垂径定理中的平分弦可以衍生出“中点”内容，联系中位线即可构建线段关系或相似三角形.
4. 构建特殊四边形，性质借用破题
垂径定理是基于圆所构建的，但求解圆内问题时有时需要借用其他几何图形的性质特征，此时可以考虑利用垂径定理的垂直弦来完成，如构建矩形.
例4如图5，AB和AC是⊙O内两条相互垂直的弦，已知AB=8，AC=6，试求⊙O半径的长.
分析求⊙O半径的长，实际上就是求线段AO的长. 已知AB⊥AC，可以进一步利用垂径定理来构建矩形，则AO就是矩形的对角线，后续可利用矩形的性质求解.
解答分别取AB和AC的中点D， E，连接OE，OD，从而可得OE⊥AC，OD⊥AB，即四边形ADOE为矩形，AO为矩形的对角线. 分析可知AD=4，OD=AE=3，则矩形的对角线AO=■=5，即⊙O的半径为5.
评析根据垂径定理可以构建直角关系，利用该关系就可以构建含有直角的几何图形，如直角三角形、矩形、正方形等，因此解决问题时利用特殊图形的性质即可快捷解题，于是可以合理利用垂径定理来完成图形构建.
关于垂径定理学习的思考
垂径定理是中学数学重要的定理之一，利用该定理可以建立角度、弦长、弧长之间的关联，因此可以作为综合问题的突破工具. 上述是关于垂径定理的四个应用点探讨，其适用题型和构建思路具有一定的参考价值，下面对其做进一步思考.
1. 关注定理核心，理解定理本质
垂径定理是基于圆特性所总结的综合性定理，充分解析可知定理中还隐含着对称内容，即等长弦、中点、等长弧，实际上是对圆对称特性的一种体现. 同时，在教学论证时也常通过折纸、轴对称分析来完成. 学习定理时需要关注定理的对称核心，理解定理内容构建的基础是圆的对称性. 而在实际教学中，可以首先引导学生复习轴对称图形，然后通过求证圆的轴对称性来逐步向定理过渡.
2. 深入拆分定理，逐步拓展推广
通过对垂径定理的剖析可知，其中涉及五大内容，包括垂直于弦、过圆心、平分弦、平分优弧和平分劣弧，学习时需要掌握定理的互推关系，并联系关联知识进行拓展推广. 例如结合“同弧或等弧所对的圆周角相等”推广到角度证明，利用其中的垂直关系来构建直角三角形、矩形等. 教学垂径定理时，不能局限于定理本身，还应关注定理的拓展点，这是利用该定理破解综合题的关键. 完成定理教学后，可以结合变式问题对定理进行深度挖掘，以逐步提升学生对定理的应用能力.
3. 总结反思定理，发展解题思维
垂径定理作为圆内问题最为常用的定理之一，具有极高的应用性，上述展示了垂径定理在线段、角度、最值等问题中的应用，其应用思路具有一定的参考价值. 应用垂径定理时，首先需要明晰定理适用的条件，然后基于定理内容推导结论，可以采用数形结合、图形拆分等模型构建的手段. 定理应用过程中可以鍛炼解题思维，教学时需要教师引导学生总结反思定理的内容，深度挖掘定理背后的思想内涵和方法价值，逐步形成自我解题策略，促进学生解题思维的发展.
