审视“动态”难点,探究“类题”策略
龚艳芳
[摘? 要] 动态问题的研究主体是点、线、面的运动变化,其中存在一些不变条件和恒定规律. 以上述内容为载体构建的动态问题是中考常见的问题类型之一,该类问题的求解具有很强的逻辑性,文章对其难点加以讨论,分类探究动态问题的解题策略.
[关键词] 动态;几何;动点;动线;折叠
初中阶段的动态问题主要包括点动、线动和面动,而面动又涉及翻折、旋转等运动. 动态考题大多是由上述现象造成的,所以开展动态问题的探究就需要考虑动态构建的载体. 下面,笔者对动态问题的难点加以探讨,并探究动态问题的解题策略.
动态问题的难点审视
动态问题是中考的常见题型,涉及基础的填空题和选择题,以及复杂的解答题(压轴题),问题存在鲜明的难度梯度,因此可以全面考查学生的知识储备和思维能力,在选拔考生方面具有一定的帮助. 作为初中几何重要的组成部分之一,动态问题存在几大难点,解题时需要妥善处理,具体如下.
1. 动态条件的处理
初中阶段学生所接触到的动态问题主要由动点、动线、折叠、旋转等引起,并由此生出众多的关联条件,造成几何条件、题干图形的不确定性,如何妥善处理这些动态信息是解题突破的关键.
2. 动态图形的构建
动态问题的求解离不开对图形的分析,求解时需要结合题干的动态信息对图形进行理解重构,这一步是后续解题分析的基础. 而动态图形的构建与静态几何问题存在一定的差异,需要采用合理的方式.
3. 动态思维的转化
动态问题的求解过程需要全面理解“动”的全过程,能够根据运动的不同阶段来对条件进行转化,这其中就需要利用动态思维的转化. 从整体上思考问题,从中获得关键的静态条件是解题突破的必要环节,因此求解动态问题需要具备整体思维,而整体思维的培养不是一朝一夕就能形成的.
4. 解题定理的选择
求解动态问题除了需要利用一定的策略方法外,还需要具备扎实的知识储备,能够灵活运用相关的几何定理来解题. 虽然定理选取看似简单,但选用得合理与否直接关系到解题过程的难易程度,因此同样需要细致斟酌.
总之,动态问题求解中的条件转化、图形构建、思维方式、解题过程均存在一定的难度,需要合理处理,深入探究.
动态问题的类型探究
1. 以点动为基础,考查知识融合
数学几何内容的研究以点为基础,是将“点动”作为衍生要素来展开的,因此分析动态问题自然离不开动点分析. 而中考对于动点的考查立足于基础知识,倡导知识融合,以综合题的形式进行. 解题时需要根据点运动的规律设定相关量,求解线段长,开展后续研究.
例1 如图1,在平面直角坐标系中,Rt△OAB的直角顶点A在x轴上,已知直角边OA和AB的长分别为4和3. 现有一动点M以每秒1个单位长度的速度从顶点A出发,沿AO方向向点O运动,同时动点N以每秒1.25个单位长度的速度从顶点O出发,沿OB方向向点B运动. 设两个动点的运动时间为x秒(0 (1)试求点N的坐标,用含x的代数式表示; (2)设△OMN的面积为S,试求S与x之间的关系,分析当x为何值时,S取得最大值,并求出最大值. 分析 本题属于由动点引发的动态题,题目涉及两问. 第(1)问求点N的坐标,需要过点N作两坐标轴的垂线,从而将问题转化为求线段的长,而求解因动点造成的线动问题,需要利用其中的运动参数来构建,即时间. 第(2)问实际上是求三角形面积与时间的关系,根据面积公式同样可以将面积问题转化为求解动线问题,后续与(1)问相似. 解答 (1)如图2,过点N作x轴的垂线,设垂足为P. 根据勾股定理可知OB的长为5,分析可知点N在运动过程中NP始终与AB平行,则△OPN∽△OAB. 根据三角形相似的性质,可得■=■=■. 由条件可知OM=OA-AM=4-x,ON=1.25x,从而可求得OP=x,NP=■x,所以點N的坐标为x,■x. (2)△OMN的面积可以表示为S■=■OM·NP,由(1)问知OM=4-x,NP=■x,所以S=-■(x-2)2+■. 分析可知,当x=2时,S取得最大值,且最大值为■. 策略总结?摇 由点动引发的动态问题需要深入分析其中的变量参数,从中衍生线段长,构建关于变量参数的线段长代数式,然后将相应的几何问题转化为分析线段长. 对于涉及几何最值的动态问题,可以结合二次函数知识,利用函数的性质来加以探讨. 2. 以线动为依托,考查思维方式 线动必然会引起面积的变化,因此,将线动与面积分析相结合是其中较为特殊的一类动态问题. 该类问题的求解既需要分析几何特征,又需要采用代数运算分析的方式,因此对学生的思维能力要求较高. 例2?摇 如图3,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(0,2),二次函数y=■x2+h经过点C(0,1),现将经过点A的直线l绕着点A旋转,设其与二次函数相交于点P和点Q(P,Q为不同的两点),回答下列问题: (1)试求h的值; (2)请通过相关操作,计算△POQ面积的最小值. 分析 本题是由直线l旋转衍生的动态问题,第(1)问求二次函数中h的值,已知二次函数经过点C,则只需将其坐标代入解析式即可. 第(2)问是求△POQ面积的最小值,可以利用直角坐标系中的面积模型,将问题转化为分析点坐标问题,然后借助函数性质求最值. 解答? (1)将C(0,1)代入y=■x2+h,可解得h=1. (2)利用直角坐标系中的面积模型,△POQ的面积可以表示为S■=■OA·x■-x■. 设Pa,■a2+1,Qb,■b2+1,其中a<0,直线l的解析式为y=kx+2. 已知点P和点Q均在直线l上,所以■a2+1=ka+2,■b2+1=kb+2. 于是可解得b=-■. 将条件代入面积模型,可得S■=(-a)+-■,分析可知,(-a)+-■=-■+4≥4,所以S■≥4,即△POQ面积的最小值为4. 策略总结?摇 分析以线动为依托的动态问题,可以设出含有动态参数的直线解析式,从而将问题整体视为普通的静态问题. 对于涉及几何图形、函数内容的动态问题,则需要基于几何知识、代数运算,采用数形结合的方式来构建解题思路. 3. 以折叠为载体,考查综合应用 图形折叠是初中数学的重要知识内容,同样也是动态问题形成的载体之一,该类问题融合了轴对称、图形全等、勾股定理等知识,旨在考查学生动态分析的能力,以及综合应用知识的能力. 关注图形的折叠过程,从中提炼出几何等量关系是问题解决的突破口. 例3 (2018杭州中考数学改编)如图4,折叠矩形纸片ABCD时,发现可以进行如下操作:①把△ADE翻折,点A落在DC边上的点F处,折痕为DE,点E在AB边上;②把纸片展开并铺平;③把△CDG翻折,点C落在直线AE上的点H处,折痕为DG,点G在BC边上. 若AB=AD+2,EH=1,则AD=______. 分析 本題是图形折叠型动态问题,图中的虚线均是由图形翻折所造成的,解题时需要根据折叠前后图形的轴对称性质来提炼条件. 题干分为三步,可以结合图形逐步分析. 第一步是翻折△ADE,点A落在了CD边上的点F处→△ADE和△FDE关于直线DE对称,AD=DF; 第二步是将图形展开→根据条件可知四边形ADFE为正方形; 第三步是翻折△CDG,点C落在直线AE上的点H处→△CDG和△HDG关于直线DG对称,DC=DH,HG=CG. 考虑到图中含有众多的直角三角形,求解AD的长可以考虑借助勾股定理来完成. AD是Rt△ADH中的一条直角边,于是只需要求出AH和DH的长度即可求出AD的长. 解题时需要注意的是,点H的具体位置不确定,需要分两种情形. 解答 由条件知四边形ADFE为正方形,所以AD=AE=EF=DF. ①当点H在线段AE上时,根据上述折叠条件可知AH=AE-EH=AD-1,DH=DC=AB=AD+2,由勾股定理可得AH2+AD2=DH2,即(AD-1)2+AD2=(AD+2)2,又AD>0,所以AD=3+2■. ②当点H在EB上时,根据上述折叠条件可知AH=AE+EH=AD+1,DH=DC=AB=AD+2,由勾股定理可得AH2+AD2=DH2,即(AD+1)2+AD2=(AD+2)2,又AD>0,所以AD=3. 综上可知,AD的长为3+2■或3. 策略总结?摇 图形折叠的过程中会产生点、线、面的变化,而折叠前后的这些几何元素之间存在相应的等量关系,如对应点关于折痕对称,对应线段长度相等,对应图形全等,因此解答时需要关注折叠过程,从中提炼几何条件. 求解线段长时,需要依托特殊图形的特殊定理来构建模型. 另外,分析时要尽量补全图形,利用虚线重构模型,为后续的分析提供模型支持. 总之,中考动态问题的构建方式是多样的,具有多种类型,求解时需要采取对应的解题策略,细致分析动态几何元素,把握其中的不变量、恒定规律,深入探讨关联条件,结合相应的定理、公式构建模型. 而在实际教学中,需要教师引导学生开展动态问题的读题训练、作图训练,提升学生条件转化分析、整体过程把握的能力.