关注几何探究,逐步突破思考

    唐巧莉

    

    

    

    [摘? 要] 几何探究题是初中数学重要的问题类型,通过以知识探究的形式来设置问题,具有综合性强、拓展性高的特点. 该类试题的解答需要学生以几何知识为基础,结合探究的方法. 文章以一道图形旋转为背景的几何探究题为例,探究其突破思路,并开展解后反思,提出相应的教学建议,与读者交流、学习.

    [关键词] 几何;探究;平行;特殊;一般;猜想

    试题呈现

    试题? (2019江苏淮安中考)如图1,在△ABC中,AB=AC=3,∠BAC=100°,点D是线段BC的中点.

    小明对图1进行了如下探究:在线段AD上任意取一点P,连接PB,然后将线段PB绕着点P逆时针旋转80°,点B的对应点为点E,连接BE,于是得到了△BPE. 小明发现,随着点P在线段AD上的位置变化,点E的位置也在发生变化,点E可能在直线AD的左侧,也可能在直线AD上,还可能在直线AD的右侧.

    请你帮助小明继续探究,并解答下列问题:

    (1)当点E在直线AD上时,如图2.

    ①∠BEP=______;

    ②连接CE,直线CE与直线AB的位置关系为______.

    (2)请在图3中画出△BPE,使点E在直线AD的右侧,连接CE,试判断直线CE与直线AB的位置关系,并说明理由.

    (3)当点P在线段AD上运动时,求AE的最小值.

    探究突破

    本题属于中考常见的几何探究题,以三角形的内容为基础,结合几何旋转,通过问题探究的形式考查几何综合知识. 问题分为三小问,实际上问题之间具有关联递进性,下面逐步探究突破过程.

    1. 第一步:把握特殊情形

    第(1)问中的点E在直线AD上,属于特殊情形的探究,需要关注原三角形ABC的性质及旋转过程,同时适度结合猜想进行探究.

    对于①问,如图2,根据旋转过程可以获得两方面的内容:一是由“逆时针旋转80°”可得∠BPE=80°;二是由旋转前后线段长不变可得PB=PE,进而可知∠PBE=∠PEB(等边对等角). 综合上述可知△PBE是一个顶角为80°的等腰三角形,从而可计算出∠BEP=50°.

    对于②问,线段之间的常见位置关系主要有平行和垂直,结合图中的情形可以猜想CE与直线AB为平行关系,则只需结合两直线平行的判定定理来探究等角或补角即可. 连接CE,如图4,因为△ABC为等腰三角形,点D是线段BC的中点,所以AE是线段BC的垂直平分线. 所以EB=EC,AD⊥BC. 计算可得∠EBD=∠ECD=40°. 又∠BAC=100°,AB=AC,所以∠ABC=∠ACB=40°,进而可得∠ABC=∠ECD. 所以AB∥CE(内错角相等,两直线平行),即直线CE与直线AB的位置关系为平行.

    2. 第二步:一般情形推广

    第(2)问则需要确保点E位于直线AD的右侧,属于点E位置的另一种情形,需要明晰两点:点E的位置由旋转角和旋转半径BP两者共同决定,但旋转角始终为80°,则点E的位置就仅受BP长的影响. 进一步深究有:点P越靠近点A,BP就越长,则旋转后点E就越向AD右侧移动. 上述就是点E的动态旋转过程,以及影响点E位置的因素. 实际分析时,可以采用特殊情形法,即只需取点E位于AD右侧的某一位置即可,然后基于图像结合第(1)问的解析方法,采用“猜想—证明”的思路来探究,具体如下.

    如图5,以点P为圆心、PB的长为半径画圆,使得旋转后点B的对应点E位于直线AD的右侧,然后连接PC. 显然AD是BC的垂直平分线,则∠ABC=∠ACB=40°,PB=PC. 又∠BCE=■∠BPE=40°,从而有∠BCE=∠ABC. 所以AB∥EC. 所以直线CE与直线AB依然是平行关系.

    3. 第三步:综合拓展应用

    第(3)问求点P在线段AD上运动时,AE的最小值,针对几何探究题,需要充分结合前两问的结论来构建思路. 由上述结论可猜想:无论点P在AD上如何移动,直线CE始终与AB平行. 而点C为顶点,则点E始终在射线CE上运动,即随着点P在线段AD上运动,点E在射线CE上运动,如图6. 过点A作射线CE的垂线,垂足为H,显然当点P运动到与点A重合时,AE的值最小,此时AE的长与线段AB的长相等,即AE的最小值为3.

    解后反思

    上述是以图形变换为基础的几何探究题,整体设计由特殊到一般,由结论到应用,能够充分体现知识探究应用的过程,不仅全面考查了学生对几何知识的掌握情况,还考查了学生的探究能力. 笔者认为下面几点需要深入反思.

    1. 探究突破的关键点

    问题以几何旋转为基础,由点的位置讨论进行探究深入,分设了三个小问,每一问的突破均需要充分利用前一问的结论及论证过程. 因此对于(1)问,其突破的关键是融合感性認识与理性分析,充分利用旋转特性来论证猜想. 而对于后两问,则需要充分了解分类情形出现的根源,结合(1)问的结论来适度猜想,并严谨论证. 总体而言,深刻认识旋转特性是求解该类试题的基础,从旋转的过程中提炼出“变”与“不变”的条件是解题的关键.

    2. 值得学习的内容

    几何探究题的问题形式突出“探究”这一特点,即试题具有一定的开放性,通过问题形式可以引导学生递进思考,获得相应的探究能力. 以上述考题为例,实际上三小问就是围绕几何旋转特性开展的几何探究,其特殊之处在于动态特性的转化形式. 如第(2)问,借助几何圆来呈现几何旋转,由圆的特性来转化旋转特性,利用隐形圆可以简洁地突破难点. 而第(3)问则是对第(2)问结论的深入拓展,以此为基础构建了相应的动点轨迹,即以特殊点的位置为依托,由“点”成“线”,以“线”定“位”.

    3. 问题的深度变式

    对于上述问题,了解其命题核心后,可以依托几何知识对其适度变式.

    变式1?摇 (原试题的条件不变)请在图3中画出△BPE,分析直线AD的右侧是否存在点E,使得直线CE与直线AB平行. 若存在,请判断存在的个数,并说明理由.

    参考思路?摇 在直线AD的右侧任意作出一点E,结合旋转特性和两线平行的判定条件来构建思路并加以论证,从而可判定这样的点有无数个.

    变式2?摇 (原试题的条件不变)当点P在线段AD上运动时,试分析点E的运动轨迹,并求出直线AE的取值范围.

    参考思路?摇 结合上述探究结论,很容易判断出点E的运动轨迹为一条线段,则只需要根据点P在线段AD上的运动范围即可确定AE的最大值和最小值.

    教学建议

    1. 注重引导设问,倡导独立思考

    几何探究题突破的难点是如何利用题干条件来提出猜想的,这需要学生掌握相应的探究方法,包括对条件的解读和思考方向. 以上述考题为例,两直线常见的位置关系有两类:平行和垂直,因此问题的实质就是挖掘平行或垂直的判定条件. 分析时只需要关注其中的角度即可. 而在教学培养时,可以采用引导设问的方式,给出核心条件,以此为出发点设置关联问题,利用问题的指向性来引导学生思考,逐步培养学生独立思考的能力.

    2. 注重解后思考,总结解题方法

    几何探究题是中考常见的问题形式,该类题的特点是设问具有关联性,以探究应用为主. 解决该类试题时,需要教师引导学生对其加以解读,提炼相应的解题思路. 以上述几何旋转为背景的探究题为例,探究时需要合理利用“从特殊到一般”的数学思想,采用“猜想—论证”的解题思路来加以突破. 另外,解题突破时,还应注意总结模型构建的方法,例如上述所涉及的绘制“隐形圆”、连点成线等. 解题过程不仅是解题策略的融合,还是解题思想的综合过程,在解后思考阶段,教师应提炼解题过程中的数学思想,使学生逐步理解数学思想的内涵.

    3. 注重问题变式,拓展解题思维

    “解一题,同类题”是开展考题教学的意义所在,即需要通过类型考题讲解使学生充分认识考题结构,深入理解解题方法. 而开展问题变式是重要的教学方法. 变式探究的过程可实现问题重构、思维重组,学生的思维可以获得极大的锻炼. 以上述考题为例,通过变式1,学生可以充分认识到两线平行的一般性;由变式2学生可以认识到动点的运动轨迹. 因此,教学中,需要教师在解后回顾阶段针对教学目的合理设置一些变式问题,引導学生思考,深入探究问题,以拓展学生的思维.

    写在最后

    几何探究题具有极高的教学价值,是知识与能力融合最为紧密的代表性问题,教学时应注重探究方法的讲解,合理设问,逐步引导,使学生在突破问题的同时获得相应的探究方法. 探究题的拓展性很强,在解后反思阶段,有必要引导学生反思解题过程,总结解题思路,并通过适度的变式来提升学生的解题思维,以促进学生数学素养的发展.

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