考查基础知识 发展核心素养

    范家琪

    

    [摘? 要] 函数是研究现实世界变化规律的重要模型，一直是初中数学学习的重要内容，而函数表达式的求解是中考最为常见的考点之一. 文章结合2019年杭州中考数学卷第15题的问题设计、学生的答题情况及失分原因，對函数相关内容的教学进行思考.

    [关键词] 中考试题;函数;抽象;建模

    试题呈现

    试题？摇 （2019杭州中考第15题）某函数满足当自变量x=1时，函数值y=0;当自变量x=0时，函数值y=1. 写出一个满足条件的函数表达式：______.

    试题辨析

    1. 就题论题

    本题考查的知识点是函数的表达式，掌握程度要求为“B理解·体验”. 考查知识点比较单一，问题设置也比较直白，作为第15题，难度偏易. 但近几年中考整体难度呈下降趋势，且2018年中考填空题难度设置也较低，因此本题的安排算是意料之外、情理之中.

    2. 价值探析

    本题粗看难度不大，但依然凸显了对学生数学核心素养的考查.

    题面简约，指向明确，简洁的字眼直达解题的关键，让学生把思考的力气用在“刀刃上”，不人为地制造障碍、设置陷阱.

    选择多样，解题视角的多维性：对应的函数可以是一次函数、二次函数、分段函数等，最终答案也不唯一，甚至无限. 解题方法的多样性：本题解答的方法可以通过函数图像直接获得相应的函数表达式，也可以通过待定系数法求出相应的函数表达式. 每位学生都可以用自己的思维习惯和方式进行思考与创新.

    重点突出，考查素养. 本题虽然考查的知识点是函数表达式，但核心素养是数学建模——从两个变量的两组对应数据中确定这两个变量之间的函数关系. 从学生分析与解决问题的过程和结果中反映学生的数学素养.

    答题情况

    1. 参考答案及评分标准

    初中阶段学生主要学习的函数有三种，即一次函数、反比例函数、二次函数. 若该函数为一次函数，则答案为y=-x+1;若该函数为二次函数，则有一系列函数符合要求，即y=mx2-（m+1）x+1（m≠0）;该函数不可能为反比例函数，但可在反比例函数的形式上做些变形，如y=■-1;还有求自变量取值范围时会接触到的无理函数，如y=-■+1，以及函数应用时会接触到的分段函数，如y=x-1等. 评分时，只要所答的函数表达式满足题目要求，即满足“当自变量x=1时，函数值y=0;当自变量x=0时，函数值y=1”，便得满分4分，其余均不得分. 故本题得分只有0分和4分.

    2. 失分原因

    本题不得分的答卷中除去空白和完全不着边际的乱写外，主要有以下两方面的原因.

    （1）是代数式而不是函数表达式，如-x+1. 这部分学生对函数的定义并没有做到真正的理解，自然也意识不到y=-x+1和-x+1之间的本质区别，总觉得自己只是粗心笔误，少写了一个“y=”就一分不得，委屈得很.

    （2）函数表达式不满足题目要求，如y=x+1. 这类学生可能是因为算错，甚至可能是从草稿纸到答题纸的抄错. 看似特别可惜，但实质是学生缺少建模得出表达式后的一个“检验验证”过程，是数学素养的不足.

    教学思考

    1. 对失分原因的思考

    基于学生在考试中出现以上两方面的失分原因，笔者有以下思考.

    对于函数的定义，浙教版八年级上册第144页给出：“一般地，在某个变化过程中，设有两个变量x，y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值，那么就说y是x的函数. ”有些学生能一字不差地说出，但未必真理解.

    如果问八、九年级的学生“什么是函数”，回答往往是“函数是变量”“y=x+1是函数”“函数是图像”，他们只是大体地描述函数的外在特征，很少深入到抽象层面：函数是两个变量之间的对应关系.

    原因主要在于：（1）学生对对应关系认识不足. （2）后期一直在学习与研究具体的一次函数、二次函数的性质与图像等，函数解析式的表达方式更加深入人心. （3）从变量到函数关系，跨了多个抽象层次，学生理解时产生了障碍.

    如果这个问题没有解决，那么到了高中，教材中对函数的定义则为：“设A，B都是非空的数的集合，f：x→y是从A到B的一个对应法则，那么从A到B的映射f：A→B就叫函数，记作y=f（x），其中x∈A，y∈B. ”学生会更加难以理解和接受.

    2. 对平时教学的思考

    理解需要一个过程，因此在初中阶段的函数内容教学中，我们应当引导学生经历如下过程.

    （1）理解变量. 很多学生其实不理解变量，函数y=-x+1中的自变量x会被说成未知数x，表达式变形一下改成x+y=1，他们就会认为两个定数相加等于1，很难想象两个量之间此消彼长的内在联系. 本学期萧山区八年级数学期末卷中一道难度不大的函数题，却因为两个变量换了字母，学生倒下一大片：

    22. （本题满分8分）已知一次函数y■=3x-3的图像与反比例函数y■=■的图像交于点A（a，3），B（-1，b）.

    （1）求a，b的值和反比例函数的表达式.

    （2）设点P（h，y■），Q（h，y■）分别是两函数图像上的点.

    ①试直接写出当y■>y■时h的取值范围;

    ②若y■-y■=3，试求h的值.

    又如：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根为x■，x■，则ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）. 对于这个命题，学生总是难以理解，因为在他们的眼里，带x的都是未知数，他们不明白这里x是未知数，x■，x■是用字母表示的常数，两者不一样. 这些其实都是在七年级学习“用字母表示数”的时候就落下了“病根”，他们没有真正理解字母不仅可以表示定值，还可以表示变量，而且同一个量可以用不同的字母表示.

    （2）突出关系. 认识变量和认识变量之间的关系是不同层次的认知水平. 最近，“学习强国”中有如下一道题：

    在一个研究全天气温变化的实验中，自变量和因变量分别是（? ? ）

    A.自变量是实验员，因变量是一天中的时间

    B.自变量和因变量都是一天中的时间

    C.自变量是温度，因变量是一天中的时间

    D.自变量是一天中的时间，因变量是温度

    这里存在一个很关键很现实的问题：找变量容易，找关系难. 题中气温到底和谁有关系？有怎样的关系？找关系，实际是“建立数学模型”的问题. 为了使每位学生都获得必要的感知，引导学生多分析几个不同的实例，数形结合是深化变量关系的重要手段. 函数的图像一方面是函数的一种表示方法，另一方面也为函数建立了直观模型. 因此，在突出函数关系特征的时候，我们可以引导学生多从图像入手，感知两个变量之间的关系.

    此外，值得一提的是，函数图像中自变量x的取值范围是构成函数的一个不可缺少的组成部分. 平时练习中，如果题目没有要求，写完函数表达式时是不是应自觉加上自变量的取值范围？事实上，只要自变量的取值范围不同，函数就不同. 所以，2019年杭州中考第15题从一次函数的角度也可以得到无数种结果，如y=-x+1（x≥0），y=-x+1（x≤2）等.

    （3）区别函数与函数表达式. 到了函数学习阶段，是前面所学知识的一次集成. 它把多项式、变量、坐标系和方程等内容进行了整合，也体现了数学的统一性. 运用函数的观点和方法去处理前面所学的知识，会有更深层次的理解.

    但我们需要学生明白，函数表达式是函数的一种表示方法，建立函数模型，主要是找到相应的表达式，但最终是用找到的函数关系去解决问题. 因此，寻求表达式，但不限于表达式，是函数教学的目的之一，也是素养目标之一. 如果学生有了这样的认识，那么杭州中考第15题答题中的第二類失误就不会发生，或者即使发生也能及时进行自我纠正.

    题外话

    建立数学模型，教材上有两个实例. 浙教版数学八年级上册第162页如图1，八年级下册第153页如图2. 它们也是笔者在教学处理上觉得比较为难的两个例题，那如何在一节课中完成模型建立呢？

    应用数学知识去解决各类实际问题时，建立数学模型是十分关键的一步，也是十分困难的一步. 建立数学模型的过程，是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程，要通过调查、收集数据资料，观察和研究实际对象的固有特征和内在规律，抓住问题的主要矛盾，建立反映实际问题的数量关系，然后利用数学的理论和方法去分析和解决问题. 这就需要深厚扎实的数学基础、敏锐的洞察力和想象力，以及对实际问题的浓厚兴趣和广博的知识面.

    这也对教师提出了更高的要求，值得我们不断地学习和思考.