ARIMA模型在黑龙江GDP预测中的应用

    张恩英+++张晓涵

    一、引言

    经济运行过程从较长时间序列看，由于市场机制的作用，呈现一定的规律，这对预测提供了依据。目前，预测经济运行时间序列的理论与方法较多，运用传统的结构法建立模型进行分析和预测GDP往往比较困难，而AR-MA模型在经济预测过程中既考虑了时间因素，又考虑了随机因素的干扰，因此对短期的经济运行趋势预测有较高的准确率，是近几年应用比较广泛的方法之一。本文根据ARIMA模型的应用条件，选取黑龙江GDP的1978至2010年时间序列数据建模进行分析，并依据所建模型对黑龙江GDP做预测。

    二、ARIMA模型简介

    时间序列分析中最常用的模型之一就是ARIMA模型，ARIMA模型提供了一套有效的预测技术，在时间序列的预测中应用广泛。ARIMA模型预测是指预测模型拟合的好坏程度，即预测模型所产生的模拟值与历史实际值拟合程度的优劣。由于时间序列经常会受到各种外部因素的影响，我们可以通过该模型从定量分析的角度来评估政策干预或突发事件对经济环境和经济过程的具体影响。ARIMA模型是将非平稳时间序列转化为平稳时间序列，然后将因变量仅对它自身的滞后值以及随机误差项的现值、滞后值进行回归所建立的模型。ARIMA模型将预测指标随时间推移而形成的数据序列看作是一个随机序列，它既受外部因素的影响，又有自身变动规律。

    非平稳序列的数字特征（如均值、方差和协方差等）会随时间而发生变化，也就是说，非平稳序列的随机规律在不同的时间点上是不同的，仅有已知的信息序列整体上的随机性难以判断。但在多数时间序列的实证研究中发现，这些经济时间序列大多是非平稳的，例如GDP、投资、固定资产、消费等。为此，Box-Jenkins在1970年提出了一种时间序列分析方法，该方法以随机理论为基础，包括三种基本模型：自回归（AR）模型；移动平均（MA）模型；自回归求积移动平均（ARIMA）模型。其中ARIMA模型综合了考虑了变量值自身的过去值，当前值和误差项，对扰动项进行建模分析，从而使模型的预测精度得到了有效的提高。

    ARIMA模型的形式：考虑序列■，若能通过次差分后变为平稳序列，即■

    ■为平稳序列，即■ ，于是可建立ARMA（p，q）模型：

    ■

    经d阶差分后的ARMA（p，q）模型称为ARIMA（p，d，q）模型，其中p为自回归模型阶数，q为移动平均的阶数， ■为一个白噪声过程。

    ARIMA建模的思路：首先判断序列是否平稳，如果不平稳，需平稳化。然后对平稳化后的序列建立ARMA建模。

    三、ARIMA模型的应用

    1.数据的来源于描述

    从《2011黑龙江统计年鉴》统计出1978至2010年黑龙江国内生产总值数据见图。由下图可以看出GDP（ ）随时间的增长呈指数趋势，非水平平稳。

    图 GDP线性趋势图

    2.序列的平稳性处理

    对 进行平稳性检验（ADF检验），结果如表1：

    表1 Augmented Dickey-Fuller unit root test on X

    由表1可以看出：ADF= 6.329210大于显著性水平为0.01、0.05和0.1的临界值，即原始序列数据不平稳。

    为了消除原始数据序列的不平稳性，使数据变得平稳。由图1我们也可以看出原始序列呈指数趋势，由此采用对GDP序列取对数（记为Ln■ ）的形式消除不平稳性。取对数后的GDP序列基本消除了原有的时间趋势，可以认为该序列是平稳序列，为了准确的判断序列具有平稳性，下面我们对二阶差分后的序列 ■进行平稳性检验（ADF检验），ADF= -6.728172小于显著性水平为0.01、0.05和0.1的临界值，即序列数据平稳，说明GDP序列为2阶单整序列，即■ 。

    3.模型的建立

    通过对序列 的单位根检验，可以确定ARIMA（p，d，q）模型中的单整项应取2，由于序列Ln 的自相关图和偏自相关图都是拖尾的，因此我们对序列Ln 建立ARIMA模型。经过反复的测算与比较，最终我们建立如下ARIMA（1，2，1）模型（方程下方括号中的数据为对应估计量的T检验统计量）：

    对上述模型进行回归拟合优度检验，由R2 =0.99803可以看出■有99.8%可以由该模型进行解释， ■的实际值变动与模型的拟合值具有非常好的一致性。其次，DW=1.785935说明残差项与自变量相互独立，模型通过了拟合优度检验与杜宾瓦森检验，由检验结果可知该该模型的预测效果应该比较理想。

    将该模型的残差序列记为■ ，对模型进行单位根（DF）检验，进一步检验该模型的效果，得： ■，DF值为-5.005413，而在1%显著性水平下，DF的临界值为-3.77。因此，在1%显著性水平下残差序列■即误差项序列可以被看做是平稳序列，说明模型具有较好的拟合效果，即■的拟合值是实际值的无偏估计。观察残差序列 的自相关图和偏自相关图可知，自相关函数和偏自相关函数均落在置信区间内，残差序列应为平稳序列，与之前的DF检验结果一致。

    4.模型的预测

    由ARIMA（1，2，1）模型：

    ■

    可得■的预测公式为：

    ■

    用ARIMA（1，2，1）模型对黑龙江省GDP作预测，结果见表2：

    表2 实际值与ARIMA预测值

    单位：亿元

    5.结束语

    通过以上对黑龙江GDP序列进行建模分析，说明利用Box-Jenkins法建立的ARIMA模型对非平稳时间序列具有较好的预测结果。本文所建立ARIMA（1，2，1）模型，可用于对黑龙江国内生产总值作短期预测，为黑龙江制定经济发展目标提供决策参考。

    参考文献：

    [1]丁磊.黑龙江省人均GDP时间序列模型及预测[J].哈尔滨师范大学自然科学学报，2010年06期.2010，（6）：25～26.

    [2]李晴，杨春.时间序列分析模型及其在GDP预测中的应用研究[J].安徽农业科学，2011，（20）：51～53.

    [3]徐雅静，汪远征.ARIMA模型在河南省GDP预测中的应用及SAS实现[J].中国科技信息，2006，（6）.

    [4]李守丽.时间序列模型在地级市GDP预测中的应用[D].科学管理研究，2013.

    一、引言

    经济运行过程从较长时间序列看，由于市场机制的作用，呈现一定的规律，这对预测提供了依据。目前，预测经济运行时间序列的理论与方法较多，运用传统的结构法建立模型进行分析和预测GDP往往比较困难，而AR-MA模型在经济预测过程中既考虑了时间因素，又考虑了随机因素的干扰，因此对短期的经济运行趋势预测有较高的准确率，是近几年应用比较广泛的方法之一。本文根据ARIMA模型的应用条件，选取黑龙江GDP的1978至2010年时间序列数据建模进行分析，并依据所建模型对黑龙江GDP做预测。

    二、ARIMA模型简介

    时间序列分析中最常用的模型之一就是ARIMA模型，ARIMA模型提供了一套有效的预测技术，在时间序列的预测中应用广泛。ARIMA模型预测是指预测模型拟合的好坏程度，即预测模型所产生的模拟值与历史实际值拟合程度的优劣。由于时间序列经常会受到各种外部因素的影响，我们可以通过该模型从定量分析的角度来评估政策干预或突发事件对经济环境和经济过程的具体影响。ARIMA模型是将非平稳时间序列转化为平稳时间序列，然后将因变量仅对它自身的滞后值以及随机误差项的现值、滞后值进行回归所建立的模型。ARIMA模型将预测指标随时间推移而形成的数据序列看作是一个随机序列，它既受外部因素的影响，又有自身变动规律。

    非平稳序列的数字特征（如均值、方差和协方差等）会随时间而发生变化，也就是说，非平稳序列的随机规律在不同的时间点上是不同的，仅有已知的信息序列整体上的随机性难以判断。但在多数时间序列的实证研究中发现，这些经济时间序列大多是非平稳的，例如GDP、投资、固定资产、消费等。为此，Box-Jenkins在1970年提出了一种时间序列分析方法，该方法以随机理论为基础，包括三种基本模型：自回归（AR）模型；移动平均（MA）模型；自回归求积移动平均（ARIMA）模型。其中ARIMA模型综合了考虑了变量值自身的过去值，当前值和误差项，对扰动项进行建模分析，从而使模型的预测精度得到了有效的提高。

    ARIMA模型的形式：考虑序列■，若能通过次差分后变为平稳序列，即■

    ■为平稳序列，即■ ，于是可建立ARMA（p，q）模型：

    ■

    经d阶差分后的ARMA（p，q）模型称为ARIMA（p，d，q）模型，其中p为自回归模型阶数，q为移动平均的阶数， ■为一个白噪声过程。

    ARIMA建模的思路：首先判断序列是否平稳，如果不平稳，需平稳化。然后对平稳化后的序列建立ARMA建模。

    三、ARIMA模型的应用

    1.数据的来源于描述

    从《2011黑龙江统计年鉴》统计出1978至2010年黑龙江国内生产总值数据见图。由下图可以看出GDP（ ）随时间的增长呈指数趋势，非水平平稳。

    图 GDP线性趋势图

    2.序列的平稳性处理

    对 进行平稳性检验（ADF检验），结果如表1：

    表1 Augmented Dickey-Fuller unit root test on X

    由表1可以看出：ADF= 6.329210大于显著性水平为0.01、0.05和0.1的临界值，即原始序列数据不平稳。

    为了消除原始数据序列的不平稳性，使数据变得平稳。由图1我们也可以看出原始序列呈指数趋势，由此采用对GDP序列取对数（记为Ln■ ）的形式消除不平稳性。取对数后的GDP序列基本消除了原有的时间趋势，可以认为该序列是平稳序列，为了准确的判断序列具有平稳性，下面我们对二阶差分后的序列 ■进行平稳性检验（ADF检验），ADF= -6.728172小于显著性水平为0.01、0.05和0.1的临界值，即序列数据平稳，说明GDP序列为2阶单整序列，即■ 。

    3.模型的建立

    通过对序列 的单位根检验，可以确定ARIMA（p，d，q）模型中的单整项应取2，由于序列Ln 的自相关图和偏自相关图都是拖尾的，因此我们对序列Ln 建立ARIMA模型。经过反复的测算与比较，最终我们建立如下ARIMA（1，2，1）模型（方程下方括号中的数据为对应估计量的T检验统计量）：

    对上述模型进行回归拟合优度检验，由R2 =0.99803可以看出■有99.8%可以由该模型进行解释， ■的实际值变动与模型的拟合值具有非常好的一致性。其次，DW=1.785935说明残差项与自变量相互独立，模型通过了拟合优度检验与杜宾瓦森检验，由检验结果可知该该模型的预测效果应该比较理想。

    将该模型的残差序列记为■ ，对模型进行单位根（DF）检验，进一步检验该模型的效果，得： ■，DF值为-5.005413，而在1%显著性水平下，DF的临界值为-3.77。因此，在1%显著性水平下残差序列■即误差项序列可以被看做是平稳序列，说明模型具有较好的拟合效果，即■的拟合值是实际值的无偏估计。观察残差序列 的自相关图和偏自相关图可知，自相关函数和偏自相关函数均落在置信区间内，残差序列应为平稳序列，与之前的DF检验结果一致。

    4.模型的预测

    由ARIMA（1，2，1）模型：

    ■

    可得■的预测公式为：

    ■

    用ARIMA（1，2，1）模型对黑龙江省GDP作预测，结果见表2：

    表2 实际值与ARIMA预测值

    单位：亿元

    5.结束语

    通过以上对黑龙江GDP序列进行建模分析，说明利用Box-Jenkins法建立的ARIMA模型对非平稳时间序列具有较好的预测结果。本文所建立ARIMA（1，2，1）模型，可用于对黑龙江国内生产总值作短期预测，为黑龙江制定经济发展目标提供决策参考。

    参考文献：

    [1]丁磊.黑龙江省人均GDP时间序列模型及预测[J].哈尔滨师范大学自然科学学报，2010年06期.2010，（6）：25～26.

    [2]李晴，杨春.时间序列分析模型及其在GDP预测中的应用研究[J].安徽农业科学，2011，（20）：51～53.

    [3]徐雅静，汪远征.ARIMA模型在河南省GDP预测中的应用及SAS实现[J].中国科技信息，2006，（6）.

    [4]李守丽.时间序列模型在地级市GDP预测中的应用[D].科学管理研究，2013.

    一、引言

    经济运行过程从较长时间序列看，由于市场机制的作用，呈现一定的规律，这对预测提供了依据。目前，预测经济运行时间序列的理论与方法较多，运用传统的结构法建立模型进行分析和预测GDP往往比较困难，而AR-MA模型在经济预测过程中既考虑了时间因素，又考虑了随机因素的干扰，因此对短期的经济运行趋势预测有较高的准确率，是近几年应用比较广泛的方法之一。本文根据ARIMA模型的应用条件，选取黑龙江GDP的1978至2010年时间序列数据建模进行分析，并依据所建模型对黑龙江GDP做预测。

    二、ARIMA模型简介

    时间序列分析中最常用的模型之一就是ARIMA模型，ARIMA模型提供了一套有效的预测技术，在时间序列的预测中应用广泛。ARIMA模型预测是指预测模型拟合的好坏程度，即预测模型所产生的模拟值与历史实际值拟合程度的优劣。由于时间序列经常会受到各种外部因素的影响，我们可以通过该模型从定量分析的角度来评估政策干预或突发事件对经济环境和经济过程的具体影响。ARIMA模型是将非平稳时间序列转化为平稳时间序列，然后将因变量仅对它自身的滞后值以及随机误差项的现值、滞后值进行回归所建立的模型。ARIMA模型将预测指标随时间推移而形成的数据序列看作是一个随机序列，它既受外部因素的影响，又有自身变动规律。

    非平稳序列的数字特征（如均值、方差和协方差等）会随时间而发生变化，也就是说，非平稳序列的随机规律在不同的时间点上是不同的，仅有已知的信息序列整体上的随机性难以判断。但在多数时间序列的实证研究中发现，这些经济时间序列大多是非平稳的，例如GDP、投资、固定资产、消费等。为此，Box-Jenkins在1970年提出了一种时间序列分析方法，该方法以随机理论为基础，包括三种基本模型：自回归（AR）模型；移动平均（MA）模型；自回归求积移动平均（ARIMA）模型。其中ARIMA模型综合了考虑了变量值自身的过去值，当前值和误差项，对扰动项进行建模分析，从而使模型的预测精度得到了有效的提高。

    ARIMA模型的形式：考虑序列■，若能通过次差分后变为平稳序列，即■

    ■为平稳序列，即■ ，于是可建立ARMA（p，q）模型：

    ■

    经d阶差分后的ARMA（p，q）模型称为ARIMA（p，d，q）模型，其中p为自回归模型阶数，q为移动平均的阶数， ■为一个白噪声过程。

    ARIMA建模的思路：首先判断序列是否平稳，如果不平稳，需平稳化。然后对平稳化后的序列建立ARMA建模。

    三、ARIMA模型的应用

    1.数据的来源于描述

    从《2011黑龙江统计年鉴》统计出1978至2010年黑龙江国内生产总值数据见图。由下图可以看出GDP（ ）随时间的增长呈指数趋势，非水平平稳。

    图 GDP线性趋势图

    2.序列的平稳性处理

    对 进行平稳性检验（ADF检验），结果如表1：

    表1 Augmented Dickey-Fuller unit root test on X

    由表1可以看出：ADF= 6.329210大于显著性水平为0.01、0.05和0.1的临界值，即原始序列数据不平稳。

    为了消除原始数据序列的不平稳性，使数据变得平稳。由图1我们也可以看出原始序列呈指数趋势，由此采用对GDP序列取对数（记为Ln■ ）的形式消除不平稳性。取对数后的GDP序列基本消除了原有的时间趋势，可以认为该序列是平稳序列，为了准确的判断序列具有平稳性，下面我们对二阶差分后的序列 ■进行平稳性检验（ADF检验），ADF= -6.728172小于显著性水平为0.01、0.05和0.1的临界值，即序列数据平稳，说明GDP序列为2阶单整序列，即■ 。

    3.模型的建立

    通过对序列 的单位根检验，可以确定ARIMA（p，d，q）模型中的单整项应取2，由于序列Ln 的自相关图和偏自相关图都是拖尾的，因此我们对序列Ln 建立ARIMA模型。经过反复的测算与比较，最终我们建立如下ARIMA（1，2，1）模型（方程下方括号中的数据为对应估计量的T检验统计量）：

    对上述模型进行回归拟合优度检验，由R2 =0.99803可以看出■有99.8%可以由该模型进行解释， ■的实际值变动与模型的拟合值具有非常好的一致性。其次，DW=1.785935说明残差项与自变量相互独立，模型通过了拟合优度检验与杜宾瓦森检验，由检验结果可知该该模型的预测效果应该比较理想。

    将该模型的残差序列记为■ ，对模型进行单位根（DF）检验，进一步检验该模型的效果，得： ■，DF值为-5.005413，而在1%显著性水平下，DF的临界值为-3.77。因此，在1%显著性水平下残差序列■即误差项序列可以被看做是平稳序列，说明模型具有较好的拟合效果，即■的拟合值是实际值的无偏估计。观察残差序列 的自相关图和偏自相关图可知，自相关函数和偏自相关函数均落在置信区间内，残差序列应为平稳序列，与之前的DF检验结果一致。

    4.模型的预测

    由ARIMA（1，2，1）模型：

    ■

    可得■的预测公式为：

    ■

    用ARIMA（1，2，1）模型对黑龙江省GDP作预测，结果见表2：

    表2 实际值与ARIMA预测值

    单位：亿元

    5.结束语

    通过以上对黑龙江GDP序列进行建模分析，说明利用Box-Jenkins法建立的ARIMA模型对非平稳时间序列具有较好的预测结果。本文所建立ARIMA（1，2，1）模型，可用于对黑龙江国内生产总值作短期预测，为黑龙江制定经济发展目标提供决策参考。

    参考文献：

    [1]丁磊.黑龙江省人均GDP时间序列模型及预测[J].哈尔滨师范大学自然科学学报，2010年06期.2010，（6）：25～26.

    [2]李晴，杨春.时间序列分析模型及其在GDP预测中的应用研究[J].安徽农业科学，2011，（20）：51～53.

    [3]徐雅静，汪远征.ARIMA模型在河南省GDP预测中的应用及SAS实现[J].中国科技信息，2006，（6）.

    [4]李守丽.时间序列模型在地级市GDP预测中的应用[D].科学管理研究，2013.