他山之石,也可攻玉

    葛雨春

    

    

    

    [摘? 要] 类比是运用已有的学习经验去解决新的类似问题的一种学习方法. 其作为数学学科最重要的思想方法之一,让学生掌握类比的方法,是帮助学生构建认知图式、提高问题解决能力的重要途径. 文章以初中几何为例,探讨了几种类比方法的实践应用.

    [关键词] 初中数学;类比思想;初中几何;课堂教学

    类比是一种学习的方法. 在数学领域,类比作为数学思想之一,占据着重要的地位,影响着学生学习数学的全过程. 类比思想的具体表现,可通过学生学习的不同阶段反映出来. 其中,在小学阶段,类比的主要特征是模仿;在初中阶段,类比的主要特征是运用学习经验,解决同类问题;在高中阶段,类比的主要特征是知识迁移;而在大学阶段,类比则表现在能力迁移层面. 由此可见,让初中生掌握类比的思想方法,对他们当下以及未来的学习和成长具有重要的意义. 类比的方法有很多种,教师可以引导学生在解决不同问题时运用不同的类比方法,以此拓宽学生的视野,培养学生的灵动思维. 本文以初中几何为例,探讨了几种类比方法的应用.

    围绕“线少”与“线多”进行类比

    几何的研究重点是空间结构,而构成空间结构的要素之一,是“线”. 对于初中生来说,初次接触难度较大的几何知识时,他们往往会对错综复杂的几何线感到力不从心,进行计算时容易出错,主要原因在于,初中生缺少缜密的思维,分析问题时缺乏条理性,难以区分相似问题之间的差异,过于依赖概念或定义,从而加大了解题的难度. 为此,教师可从“线”出发,引导学生围绕几何线展开类比:首先明确“线”在问题中所表达的含义;其次,理顺解题思路.

    例1? 如图1,点D在△ABC的边AB的延长线上,AE和BE分别平分∠CAB和∠CBD. 设∠C=x°,∠E=y°,求证:y=■x.

    分析?摇 很多学生在解决这一问题时,容易把注意力放在“∠C=x°,∠E=y°”这一已知条件上,分析“AE和BE分别平分∠CAB和∠CBD”与“∠C=x°,∠E=y°”之间的关联性,而忽略了“线”在这一问题中所占据的重要地位. 严格来说,“线”是构成“角”的重要前提. 分析本题中包含了几条线,及它们的主次,“线”越多,本题的难度越大,而探析主要“线”与“y=■x”之间的联系,才是解决这一问题的正确突破口,如AE和BE对∠CAB和∠CBD的影响. 在这样的前提下,我们可以引导學生回归到最初的解题思路上,从而分析已知条件.

    解答?设∠CBE=∠DBE=a°,∠CAE=∠EAB=b°,则有2a=2b+x,a=b+y. 所以2(b+y)=2b+x,解得y=■x.

    例2?摇 如图2,点D在△ABC的边AB的延长线上,AE和AF三等分∠CAB,BE和BF三等分∠CBD. 设∠C=x°,∠E=y°,试用x表示y.

    分析 此题与例1相比,明显加大了难度. “AE和AF三等分∠CAB,BE和BF三等分∠CBD”,随着“线”的增多,角也增多了,学生分析问题的过程也将更加烦琐. 为此,教师可以引导学生运用已有的学习经验,借鉴解决例1的思路和方法,仍然从“线”入手,首先分析本题中包含了哪些“线”及其主次,如此题仍然以△ABC为研究对象,但增加了AF和BF两条线,虽然如此,仍然可以采用相同的方法来解决本题.

    解答设∠CBF=∠FBE=∠EBD=a°,∠CAF=∠FAE=∠EAD=b°,则3a=3b+x,a=b+y. 所以3(b+y)=3b+x,解得y=■x.

    初中生的几何知识基础较为薄弱,缺乏对数学思想方法的认识及应用能力,为此,教师可从类比思想的简单应用入手,首先让学生了解什么是类比思想方法,其次由浅至深,引导学生以“线”为切入点,从“线少”向“线多”类比,逐渐加大解题难度,让学生通过类比不断提高能力层次,从而提高学生的问题解决能力.

    围绕“形内”与“形外”进行类比

    “形”是几何的灵魂,学习初级几何知识或解决简单的几何问题时,无论是平面图形还是立体图形,都需要先从“形”入手,分析几何图形的特征,梳理已知条件,来确定解决问题的思路和方法. 而“形”也是数学的另一个思想方法——数形结合的构成要素之一,以形定数,以数解形,使抽象的数学问题具象化,对提高学生的解题效率具有重要意义. 因此,教师可围绕“形”引导学生进行类比,以培养学生的数学思维.

    例3?摇 如图3,在△ABC中,D,E分别在AB和AC上,如果沿着DE折叠△ABC,点A恰好落在△ABC内的点F处,求证:∠1+∠2=2∠DAE.

    分析此题最大的特点是涉及的角众多. 面对本题,学生易被折叠前与折叠后△ABC的变化及其角的相互联系所误导,从∠ADE和∠DFE的视角来分析本题,而忽略了所有计算活动都在△ABC的形内完成,即点A落在点F上之后,∠DFA,∠DAF与∠1,∠2之间的关联. 因此,教师可以引导学生以“形”为切入点,运用所学的翻折变换相关知识,来解决“形”的折叠问题.

    解答?摇 连接AF,则∠1=∠DFA+∠DAF,∠2=∠EFA+∠EAF. 所以∠1+∠2=∠DFE+∠DAE. 又由翻折知∠DFE=∠DAE,所以∠1+∠2=2∠DAE.

    例4 (在例3图形的基础上,由“形内”向“形外”拓展)如图4,在△ABC中,D,E分别在AB和AC上,沿着DE折叠△ABC,使点A落在△ABC外的点F处,探究∠1,∠2,∠BAC三者之间的关系.

    分析 本题的突破口仍然在于点A与点F的重叠上,然而,即便有了例3的解题经验,但惯性思维会使初中生仍然将注意力停留在∠ADE和∠DFE层面,而忽略了点F在△ABC外,以及折叠后出现的∠DFA和∠DAF. 与“形内”解题不同,在“形外”解题时学生会遇到很多的隐性条件,尤其是因几何图形变化而衍生出新的图形. 如本题中,沿DE向外折叠,连接AF后便给出了解题的基本方向,即∠1=∠DFA+∠DAF,∠2=∠EFA+∠EAF.

    解答连接AF,则∠1=∠DFA+∠DAF,∠2=∠EFA+∠EAF. 所以∠2-∠1=∠EFA+∠EAF-∠DFA-∠DAF=∠EFD+∠EAD. 由翻折知∠EFD=∠EAD,所以∠2-∠1=2∠EAD=2∠BAC.

    對于初中生来说,“形内”解题难度较小,关键在于学生能否建立起“形”的概念,能否在面对一道几何题时首先由“形”入手,建立起契合几何知识特性的解题观,进而通过类比迁移,运用几何的思想方法,来解决学习和生活中遇到的几何问题. 因此,围绕“形内”与“形外”进行类比,是提高学生数学素养的重要途径.

    围绕“一般”与“特殊”进行类比

    在几何图形中,一般图形所涵盖的范围较大,如正方形、长方形、三角形等. 相较之下,特殊图形往往是由一般图形变化而来的,如上述案例中的图形折叠. 因此,教师可以引导学生围绕“一般图形”与“特殊图形”进行类比,充分运用已有的知识经验,简化遇到的几何问题,用类比的思想方法进行数形结合,从而降低解题难度,提高解题能力.

    例5如图5,△ABC是等腰三角形,AB=AC,点P在BC上,PD⊥AB于点D,PE⊥AC于点E,CF⊥AB于点F,求证:PD+PE=CF.

    分析面对这道几何题,教师可以引导学生从三角形的概念入手,首先将该题转化为一般图形,运用之前学过的几何基础知识,从垂直的角度,先连接AP,然后通过分析图形得出PD,PE,CF均为三角形的高这一结论,最后通过计算确定三者之间的数量关系.

    解答?摇 连接AP,因为S■+S■=S■,又PD,PE,CF分别是△APB,△APC和△ABC的高,所以■·AB·PD+■·AC·PE=■·AB·CF. 又AB=AC,所以PD+PE=CF.

    例6?摇 (在例5的基础上,教师可以将一般图形转化为特殊图形)如图6,△ABC是等腰三角形,AB=AC,点P在BC的延长线上,PD⊥AB于点D,PE⊥AC于点E,CF⊥AB于点F,探究PD,PE,CF之间的数量关系.

    分析 严格来说,初中生对几何中一般图形的认识和理解根深蒂固,相关概念较为简单,因此能够充分地应用于解决新问题中. 如例5,△ABC作为“一般图形”,学生对相关概念较为熟悉,能够从PD,PE,CF入手,通过三角形的高来化解问题. 而转化图形(例6)后,学生通过已有经验,运用类比的方法来解决关于“特殊图形”的复杂问题,也会更加得心应手,且能提高解题的准确度和有效性.

    解答 连接AP,因为S■+S■=S■,又CF,PE,PD分别是△ABC,△ACP和△ABP的高,所以■·AB·CF+■·AC·PE=■·AB·PD. 又AB=AC,所以CF+PE=PD.

    一般来说,初中生的数学思维模式还较为简单,对于已经接触过的数学思想方法,很多时候还不懂得如何运用,为此,教师可以立足初中生的实际情况,由简入繁,让学生围绕“一般”和“特殊”进行类比,以此来巩固学生的已学知识,帮助学生建立新的认知图式.

    结语

    在教学实践中,可应用的类比方法还有很多,如几何图形的“同侧”与“异侧”类比,点、线、面的类比,图形构成元素的类比,等等. 总之,作为一线教师,应充分认识类比思想在初中生学习数学过程中的重要性,进而因地制宜,灵活运用数学类比思想方法,为学生打造一个类比迁移的学习平台,从而为学生当前和以后的学习奠基,推动学生在数学的道路上一路前行.

相关文章!
  • 改进演示实验,提高演示实验教

    曹雪梅众所周知,化学是以实验为基础的学科.实验是化学的灵魂,也是提高学生学习兴趣的主要因素.教学实践证明,化学实验教学可以让学生

  • 素质教育在中职教育中的重要性

    杨天摘要:进入21世纪之后,素质教育已经成为全社会非常关注的一个重要话题。而在职业教育中,许多学生和家长错误的认为职业教育的本质就

  • 质谱法测定水中溶解氙的含量及

    李军杰+刘汉彬 张佳+韩娟+金贵善+张建锋<br />
    <br />
    <br />
    <br />
    摘要 利用设计的一套水样中提取并分离Xe的装置,与稀有气体质谱