当抛物线“遇上”平行四边形

杨国智



二次函数的应用是初中数学中知识面最广、综合性最强的题型之一,尤其是二次函数与几何图形综合的考查形式,更是成为了近年来各地中考数学的“压轴题”,这类题型因其考查的知识点多,条件也相对隐蔽,解题方法不确定,一直是学生比较头疼的问题,有些同学虽能做出,但也走了不少弯路,解这类题要求学生有较强的理解问题、分析问题、解决问题的能力,对数学知识、数学方法有较强的驾驭能力,并有较强的创新意识和创新能力,当然,还必须具有强大的心理素质,下面笔者以二次函数的图像与平行四边形的综合为例,与读者共同探讨这类题的解法,
这类问题基本题型有两种:一是已知平行四边形的三个顶点坐标,求第四个点的坐标,符合条件的有3个点:以已知三个定点为三角形的顶点,过每个点画对边的平行线,三条直线两两相交,产生3个交点,二是已知平行四边形的两个顶点坐标和第三个顶点的轨迹,求第三、第四个顶点的坐标,一般是把确定的这条线段按照边或对角线又分为两种情况.
基本题型1已知了平面直角坐标系内的3个点,与第四个点构成平行四边形,
例1如图1,一次函数y:-1x+2分别交y轴,x轴于A,B两点,抛物线y=-x2+bx+c经过A,B两点.
(1)求这个抛物线的解析式.
(2)作垂直x轴的直线x=t,在第一象限交直线AB于点M,交抛物线于点N.当t为何值时,线段MN有最大值?最大值是多少?
(3)在(2)的情况下,以A,M,N,D为顶点作平行四边形,求第四个顶点D的坐标,
解决方案1过已知三个点构成的三角形的一個顶点作对边的平行线,利用两直线相交的交点求平行四边形的第四个顶点.
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