用勾股定理探索几何图形面积的关系

苏燕玉


华师大版八年级上教科书第十四章P108-109,利用图1和图2探索引出勾股定理,过程如下:
图1是正方形瓷砖拼成的地面,观察图中用阴影画出的三个正方形:
很显然,两个小正方形P,Q的面积之和等于大正方形R的面积,即AC2+BC2= AB2,这说明,在等腰直角三角形ABC中,两直角边的平方和等于斜边的平方,
观察图2,如果每一小方格表示1平方厘米,那么可以得到:
正方形P的面积=9平方厘米;正方形Q的面积=16平方厘米,
正方形R的面积= 25平方厘米,
我们发现,正方形P,Q,R的面积之间的关系是P+Q=R.
由此,我们得出图中Rt△ABC的三边的长度之间存在关系BC2+AC2= AB2,即对于任意的直角三角形,如果它的两条直角边分别为a、b,斜边为c,那么一定有a2+b2= C2,这种关系我们称为勾股定理,
因此在任意Rt△ABC中,若AB为斜边,P,Q,R分别是以BC,AC,AB为边长的三个正方形的面积,根据勾股定理,得BC2+ AC2= AB2,推出P+Q=R,即以直角三角形的三边为边长作三个正方形,两个小正方形的面积和等于大正方形的面积,
思考是不是只有正方形,面积之间才存在这种关系?
探索1若把上述三个正方形换成三个圆,这个
结论以直角三角形的三边为直径作三个圆,两个小圆的面积和等于大圆的面积,
探索2若把上述三个正方形换成三个半圆,这个结论是否成立?
结论以直角三角形的三邊为直径作三个半圆,两个小半圆的面积和等于大半圆的面积, 探索3若把上述三个正方形换成三个任意三角形,这个结论是否成立?
如图5,显而易见,这个结论不成立,
探索4若把上述三个正方形换成三个任意等腰三角形,这个结论是否成立?
如图6,显而易见,这个结论不成立,
探索5若把上述三个正方形换成三个等腰直角三角形,这个结论是否成立?
结论以直角三角形的三边为斜边作三个等腰直角三角形,两个小等腰直角三角形的面积和等于大等腰直角三角形的面积,
思考把三个正方形换成三个等腰直角三角形,结论成立,而所有的等腰直角三角形都相似,若把任意三角形换成相似三角形,结论是否成立? 探索6若把上述三个正方形换成三个相似三角形,这个结论是否成立?
另解根据相似三角形的性质:相似三角形面积的比等于相似比的平方,即P:Q:R=a2:b2:C2,因此根据勾股定理有a2+b2=C2,所以P+Q=R.
结论以直角三角形的三边为对应边向外作三个相似三角形,两个小三角形的面积和等于大三角形的面积.
思考既然把三个正方形换成三个相似三角形结论成立,那么如果把三个正方形换成三个相似四边形,结论是否依然成立?
探索7若把上述三个正方形换成三个相似四边形,这个结论是否成立?
分析若设直角三角形三边长分别为a,b,c,其中c为斜边,分别以直角三角形三边为对应边向外作三个相似四边形,面积分别为P,Q,R,根据相似多边形的性质:相似多边形面积比等于相似比的平方,即P:Q:R =a2:b2:C2,又a2+b2=C2,则P+Q=R.
结论以直角三角形的三边为对应边向外作三个相似四边形,两个小四边形的面积和等于大四边形的面积,同理,把三个正方形换成三个相似多边形,结论依然成立,如图9~14.
因为任意正方形、圆(或半圆)和等腰直角三角形也都是相似图形,因此得出结论:以直角三角形的三边为对应边向外作三个相似图形,两个小相似图形的面积和等于大相似图形的面积.
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