开展变式探究教学改善学生学习方式
柯炳春
摘 要：解题教学中利用变式对一个数学问题进行深入地探究和适当的拓展，有利于改善学生的学习方式，有利于培养学生的创新意识.
关键词：探究教学；学习方式；思维创新
在解题教学中，利用变式对一个数学问题进行深入地探究，能激发学生的求知欲，调动学生数学思维的自主性和灵活性，促进学生自主地进行多方位、多角度的自主探究、合作交流，利于培养学生思维的灵活性和创新性，从而转变学生他主、单一、被动接受的学习方式，形成自主探索、动手实践、合作交流的学习习惯.下面以华东师大版七年级下册《多边形的内角和与外角和》的教学片断为例，谈谈变式探究对改善学生学习方式的作用.
1 教学片断及分析
1.1 主体变式，促进乐学
例：一个多边形的内角和是外角和的5倍，这个多边形是几边形？
师：经过刚才的探究与求解，你能对这道例题设计其他条件吗？
学生1：一个多边形的内角和是外角和的6倍，这个多边形是几边形？
学生2：多边形的内角和与外角和的比为m︰n，求这个多边形的边数.
…
师：同学们的变式题型有以下两类：一是多边形的内角和是外角和的倍数关系，如：一个多边形的内角和是外角和的n倍，求这个多边形的边数；二是多边形的内角和与外角和的比的关系，如：一个多边形的内角和与外角和的比为m︰n，求这个多边形的边数.
教学分析：学生作为学习的主体对问题进行变式，调动了学生学习的积极性和主动性.促进学生对问题思考，经历提出问题、分析问题、解决问题的实践过程，积累学习经验.老师适时将问题进行一般化总结归纳，利于学生对知识的掌握，思维和能力得到了培养.
1.2 分享交流，优化思维
师：开展分享交流活动，一位同学提出问题，另一位同学解决问题.
学生3：一个多边形的内角和是外角和的几分之几，求这个多边形的边数.如，一个多边形的内角和是外角和的三分之一.
学生4：不对，应该是“一个多边形的外角和是内角和的三分之一”.因为多边形的内角和（n-2）×180°中n≥3，除了三角形的内角和为180°，其他的多边形的内角和都不小于它的外角和.
师：你说得很好，不但思考了如何变式，还把问题的可行性都考虑周全.我们尝试一下这种方法的变式与求解.如，一个多边形的外角和是内角和的，求这个多边形的边数.同学们先独立完成，然后再小组进行交流.
学生5：设这个多边形的边数为n，得：360°=（n-2）×180°×，去分母，得n=9.
学生6：设这个多边形的边数为n，得：360°=（n-2）×180°×，两边同除以180°，得2=（n-2）×，从而n=9.
教学分析：让学生尝试例题变式提出新条件，既能帮助学生进一步掌握多边形的内角和与外角和的内在联系，又能较好地激励学生主动地进行多思考、多探索、多动手.
1.3 呵护奇思，激发创新
学生7（主动举手）：老师，我们小组有一种好方法.设这个多边形的边数为n，因为n边形的外角和是内角和的，所以得：n=2+7=9（其中2 是分子，7是分母）.
师：“直接用分子与分母相加？这种解法竟然如此简易！解法是否正确呢？能适合其他题目吗？”
众生：变式一些题目试试看.
学生8：可以，我们小组发现如果一个多边形的外角和是内角和的或，用分子与分母相加或者用公式运算结果都是正确.
学生9：我们小组发现，如果一个多边形的外角和是内角和的，用此法求这个多边形的边数，则这个多边形应该是三角形，但是通过计算却是六边形.
学生10：我们小组发现，如果一个多边形的外角和是内角和的，如果用此法求這个多边形的边数.这个多边形应该是四边形，但是通过计算却是八边形.因此，我们采用逆向的方法求多边形的外角和与内角和的比，发现只有两种情况，即一种是分子是1，这时多边形的边数是偶数；另一种分子是2，这时多边形的边数是奇数.奇数边的多边形此法是适用的，但偶数边的多边形此法不能用.
学生11：老师，如果多边形边数是偶数，把分子加上分母后，再乘以2就可以了.
师生共同归纳，探讨得出结论：
一个n边形的外角和是内角和的时，求这个多边形的边数n.
（1）当b=1时，n边形的边数是偶数，且n=2×（a+b）.
（2）当b=2，且a≠1时，n边形的边数是奇数，且n=a+b.
学生12：老师，三角形是特殊的，即：当b=2，且a=1时，n边形的边数是三角形.
学生13：老师，我们可以把都化成，就可以得：
（1）当m>2时，且n=m+2.
（2）当m=1时，n边形是三角形.
教学分析：学生在参与数学变式的过程中，往往会有出乎意料、超乎教学预设的“奇思妙想”.而同学们的这些“奇思妙想”，往往是课堂教学有价值的“生成”，是学生发现问题、提出问题和思维创新的雏形.
2 教学反思
2.1 数学变式教学有利于改善学生的学习方式
课标指出，学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程；除接受学习外，动手实践、自主探索与合作交流同样是学习数学的重要方式.学生以主体方式对“内角和与外角和的关系问题”进行变式探究与解答，一方面调动学生的积极性、主动性，激发学生的求知欲，激发学生的主体潜能；另一方面学生在动手实践、自主探索中不断地感受成功的体验，获得学习的快乐，进一步激发学生进行生动活泼的、主动的和富有个性的数学学习.随着问题变式与拓展的深入，学生那些常识性、经验性的知识派上用场的同时，不断地出现对数学问题的表述、归纳以及新问题等诸多困难，此时，同学与同学之间、同学与老师之间进行多角度、多形式的互动成为学习探究、问题解决的必然趋势，每一位学生在生生、师生互动中积极地自主探索、独立思考、动手实践.从而，学生自主探索、动手实践、合作交流的学习方式逐步形成，他主、单一、被动接受的学习方式得到改变.
2.2 尊重学生的独特感悟有利于培养学生的创新意识
从学生对“内角和与外角和的关系”的问题变式到“一个多边形的外角和是内角和的，求这个多边形的边数”的一题多解，由浅入深、由易到难、从特殊到一般，循序渐进地诱发学生积极探索，使学生产生强烈的探究欲望，始终处于“跳一跳摘果子”的状态，达到“道而弗牵，强而弗抑，开而旨达”的境界，不断地提升主体的思维参与程度，积极主动地参与探究发现活动，大胆地进行“再创造”数学，积极地孕育着数学思维的创新.正如德国教育家第斯多惠所说：“教学的艺术不仅在于传授本领，而更重要的是善于激励、唤醒和鼓舞”.
摘 要：解题教学中利用变式对一个数学问题进行深入地探究和适当的拓展，有利于改善学生的学习方式，有利于培养学生的创新意识.
关键词：探究教学；学习方式；思维创新
在解题教学中，利用变式对一个数学问题进行深入地探究，能激发学生的求知欲，调动学生数学思维的自主性和灵活性，促进学生自主地进行多方位、多角度的自主探究、合作交流，利于培养学生思维的灵活性和创新性，从而转变学生他主、单一、被动接受的学习方式，形成自主探索、动手实践、合作交流的学习习惯.下面以华东师大版七年级下册《多边形的内角和与外角和》的教学片断为例，谈谈变式探究对改善学生学习方式的作用.
1 教学片断及分析
1.1 主体变式，促进乐学
例：一个多边形的内角和是外角和的5倍，这个多边形是几边形？
师：经过刚才的探究与求解，你能对这道例题设计其他条件吗？
学生1：一个多边形的内角和是外角和的6倍，这个多边形是几边形？
学生2：多边形的内角和与外角和的比为m︰n，求这个多边形的边数.
…
师：同学们的变式题型有以下两类：一是多边形的内角和是外角和的倍数关系，如：一个多边形的内角和是外角和的n倍，求这个多边形的边数；二是多边形的内角和与外角和的比的关系，如：一个多边形的内角和与外角和的比为m︰n，求这个多边形的边数.
教学分析：学生作为学习的主体对问题进行变式，调动了学生学习的积极性和主动性.促进学生对问题思考，经历提出问题、分析问题、解决问题的实践过程，积累学习经验.老师适时将问题进行一般化总结归纳，利于学生对知识的掌握，思维和能力得到了培养.
1.2 分享交流，优化思维
师：开展分享交流活动，一位同学提出问题，另一位同学解决问题.
学生3：一个多边形的内角和是外角和的几分之几，求这个多边形的边数.如，一个多边形的内角和是外角和的三分之一.
学生4：不对，应该是“一个多边形的外角和是内角和的三分之一”.因为多边形的内角和（n-2）×180°中n≥3，除了三角形的内角和为180°，其他的多边形的内角和都不小于它的外角和.
师：你说得很好，不但思考了如何变式，还把问题的可行性都考虑周全.我们尝试一下这种方法的变式与求解.如，一个多边形的外角和是内角和的，求这个多边形的边数.同学们先独立完成，然后再小组进行交流.
学生5：设这个多边形的边数为n，得：360°=（n-2）×180°×，去分母，得n=9.
学生6：设这个多边形的边数为n，得：360°=（n-2）×180°×，两边同除以180°，得2=（n-2）×，从而n=9.
教学分析：让学生尝试例题变式提出新条件，既能帮助学生进一步掌握多边形的内角和与外角和的内在联系，又能较好地激励学生主动地进行多思考、多探索、多动手.
1.3 呵护奇思，激发创新
学生7（主动举手）：老师，我们小组有一种好方法.设这个多边形的边数为n，因为n边形的外角和是内角和的，所以得：n=2+7=9（其中2 是分子，7是分母）.
师：“直接用分子与分母相加？这种解法竟然如此简易！解法是否正确呢？能适合其他题目吗？”
众生：变式一些题目试试看.
学生8：可以，我们小组发现如果一个多边形的外角和是内角和的或，用分子与分母相加或者用公式运算结果都是正确.
学生9：我们小组发现，如果一个多边形的外角和是内角和的，用此法求这个多边形的边数，则这个多边形应该是三角形，但是通过计算却是六边形.
学生10：我们小组发现，如果一个多边形的外角和是内角和的，如果用此法求這个多边形的边数.这个多边形应该是四边形，但是通过计算却是八边形.因此，我们采用逆向的方法求多边形的外角和与内角和的比，发现只有两种情况，即一种是分子是1，这时多边形的边数是偶数；另一种分子是2，这时多边形的边数是奇数.奇数边的多边形此法是适用的，但偶数边的多边形此法不能用.
学生11：老师，如果多边形边数是偶数，把分子加上分母后，再乘以2就可以了.
师生共同归纳，探讨得出结论：
一个n边形的外角和是内角和的时，求这个多边形的边数n.
（1）当b=1时，n边形的边数是偶数，且n=2×（a+b）.
（2）当b=2，且a≠1时，n边形的边数是奇数，且n=a+b.
学生12：老师，三角形是特殊的，即：当b=2，且a=1时，n边形的边数是三角形.
学生13：老师，我们可以把都化成，就可以得：
（1）当m>2时，且n=m+2.
（2）当m=1时，n边形是三角形.
教学分析：学生在参与数学变式的过程中，往往会有出乎意料、超乎教学预设的“奇思妙想”.而同学们的这些“奇思妙想”，往往是课堂教学有价值的“生成”，是学生发现问题、提出问题和思维创新的雏形.
2 教学反思
2.1 数学变式教学有利于改善学生的学习方式
课标指出，学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程；除接受学习外，动手实践、自主探索与合作交流同样是学习数学的重要方式.学生以主体方式对“内角和与外角和的关系问题”进行变式探究与解答，一方面调动学生的积极性、主动性，激发学生的求知欲，激发学生的主体潜能；另一方面学生在动手实践、自主探索中不断地感受成功的体验，获得学习的快乐，进一步激发学生进行生动活泼的、主动的和富有个性的数学学习.随着问题变式与拓展的深入，学生那些常识性、经验性的知识派上用场的同时，不断地出现对数学问题的表述、归纳以及新问题等诸多困难，此时，同学与同学之间、同学与老师之间进行多角度、多形式的互动成为学习探究、问题解决的必然趋势，每一位学生在生生、师生互动中积极地自主探索、独立思考、动手实践.从而，学生自主探索、动手实践、合作交流的学习方式逐步形成，他主、单一、被动接受的学习方式得到改变.
2.2 尊重学生的独特感悟有利于培养学生的创新意识
从学生对“内角和与外角和的关系”的问题变式到“一个多边形的外角和是内角和的，求这个多边形的边数”的一题多解，由浅入深、由易到难、从特殊到一般，循序渐进地诱发学生积极探索，使学生产生强烈的探究欲望，始终处于“跳一跳摘果子”的状态，达到“道而弗牵，强而弗抑，开而旨达”的境界，不断地提升主体的思维参与程度，积极主动地参与探究发现活动，大胆地进行“再创造”数学，积极地孕育着数学思维的创新.正如德国教育家第斯多惠所说：“教学的艺术不仅在于传授本领，而更重要的是善于激励、唤醒和鼓舞”.
