“HPM”视角下的课堂教学实践与反思

    万兵 李景财

    

    [摘 ?要] 数学史是数学学科的教学指南，合理运用数学史有利于数学教学观念与方式的创新、有利于数学学科核心素养的落实、有利于数学思想方法与文化的渗透. 文章以基于“HPM”视角的配方法教学设计为例，对以上观点进行了深度解读.

    [关键词] 数学史;“HPM”视角;核心素养

    一门学科的历史知识好比是“使面包和黄油更加可口的蜂蜜”，有助于使该学科更具吸引力，能够激发学生的学习兴趣，使他们树立正确的价值观. 如果用历史回顾和历史轶事点缀枯燥的问题求解和几何证明，学生的学习兴趣就会大大增加. 通过历史的解说，教师可以让学生明白，数学并不是一门枯燥的学科，而是一门不断进步的、生动有趣的学科.

    一门学科的历史是这门学科的教学指南，因为学生的理解具有历史相似性，正如“HPM”先驱者史密斯所说：“困擾世界的东西也会困扰儿童，世界克服其困难的方式提示我们，儿童在其发展过程中会以类似的方式来克服类似的困难.”换而言之，学生所遭遇的困难往往是相关学科的创建者经过长期思索和探究后所克服的实际困难，个体知识的发生遵循人类知识的发生过程，因此，数学史是有效的教学工具.

    结合上述理论，作者在2018年武汉市初中数学优质课比赛中，设计了一节基于“HPM”视角的优质课，教学内容为人教版第21章第2节“配方法”的第一课时，探究如何让数学史融入数学教学，并给予反思.

    教学目标

    （1）会用直接开方法解形如x2=p，（x+n）2=p（p≥0）的方程;理解配方法，会用配方法解形如x2+bx+c=0的方程.

    （2）通过探索配方法的过程，让学生体会转化的数学思想方法.

    （3）学生在独立思考和合作探究中感受成功的喜悦，并体验数学的价值，增强学生学习数学的兴趣.

    教学片段及分析

    1. 情境导学

    教师：公元前两千年左右，古巴比伦人在他们的著作《泥板文书》上曾提出过这样一个问题：“已知长方形面积，以及长和宽之差，求长和宽.”如果长方形的面积为24，长和宽之差为2，该长方形的长和宽分别为多少呢？

    学生1：设长方形的宽为x，则长为x+2，所以x（x+2）=24.

    教师：我们得到的方程是一个什么方程？

    学生2：一元二次方程.

    教师：如何解这个方程呢？（揭示课题）

    教学分析 这一问题首先将学生带入到公元前两千年左右的古巴比伦时期，激发学生们的兴趣，让学生感知这一数学问题产生的必然性和久远的历史. 同时兼顾到了问题的难度，学生容易上手，主动建构了一条逻辑连贯的学习链条.

    2. 问题促学

    观看微视频，并在学案上完成下列三个问题：

    史实材料1：在历史上，最早出现的一元二次方程来源于古埃及的《纸草文书》上所提出的问题：“已知正方形的面积，求边长.”如一个正方形的面积是5，求该正方形的边长.

    史实材料2：古埃及祭司针对上述问题，提出了一个拓展问题：“已知长方形的面积以及长和宽之比，求长和宽. ” 如一个长方形的长和宽之比为3∶2，面积为30，求该长方形的长和宽.

    史实材料3：因农业生产需要，先民们需要对正方形土地进行扩建改造：将一个正方形的边长增加3，得到新的正方形的面积为25，求原来正方形的边长.

    （学生3板书）解：设正方形的边长为x.

    列方程得x2=5，

    所以x=±.

    （学生4板书）解：设正方形的长和宽分别为3x和2x.

    列方程得6x2=30，

    所以x2=5，

    所以x=±.

    （学生5板书）解：设原来正方形的边长为x.

    列方程得（x+3）2=25.

    所以x+3=±5，

    所以x=2或-8.

    教师：你们能尝试说一说解方程的依据吗？

    学生3：x2=5，那么x的值就是5的平方根，所以我用到了平方根的定义.

    学生4：先将x2前面的系数化为1，是为了转化成类似问题1中的方程，以便于我们用平方根的定义求解.

    学生5：将x+3当作一个整体，方程形式和问题1中的形式类似，可以先用平方根的定义求出x+3，再求x.

    教师：不错，讲得很好. 思路清晰，逻辑严密，回答正确. 这三个同学道出了解决这类方程的三个关键词：开平方根，系数化1，整体思想. 这种解决问题的办法叫作直接开平方法. 那么进一步，你认为具有什么结构特征的一元二次方程能用直接开平方法解呢？

    学生6：如果方程能化成x2=p或（x+n）2=p（p≥0且p为常数）的形式，那么直接开平方可得x=±或x+n=±.

    教师：非常准确，你归纳总结的能力非常强，希望大家下次遇到以上形式的方程的时候能够快速准确地求解. 但遗憾的是，我们所遇到的问题中，有很多一元二次方程并非具备上述形式，那该怎么办呢？比如，你能解方程x2+6x+9=25吗？

    学生6：我发现x2+6x+9是一个完全平方式，因此方程可化为（x+3）2=25，再用直接开平方法就可以求解了.

    教师：非常好，这位同学的回答告诉我们：具备“完全平方式=常数”这一结构特征的方程变形后也可以用直接开平方法求解. 那么大家还记得完全平方式吗？请填写下列空白：

    ①x2+10x+______=（x+______）2;

    ②x2-3x+______=（x-______）2;

    ③x2-x+______=（x-______）2.

    学生7：这6个空白分别填25，5，，，，.

    教师：完全正确，那么老师想追问大家一个问题：你们所填的常数项与一次项系数有何关系？

    学生8：常数项是一次项系数一半的平方.

    教师：很好，不过老师要提醒大家的是我们应该在这个结论之前加一个条件：二次项系数是1. 如果二次项系数不是1呢？这将是我们下节课要学习的内容，本节课，我们先重点学习二次项系数是1的情况.

    教学分析 该部分设计的思路遵循这一原则，从古巴伦人最初遇到的最简单的一类一元二次方程出发，着眼于学生知识发展的生长点，同时又产生矛盾，让学生思考对于更为一般的方程又该怎么处理呢？笔者寻求了思维的铺垫，给出x2+6x+9=25该如何解这一问题，旨在告诉学生具备“完全平方式=常数”这一结构特征的方程也可用直接开平方法求解;对于更为一般的方程，将其转化为这一形式，将未知问题化归为已有经验.

    3. 活动研学

    请小组合作探究方程x2+6x+4=0的求解过程，并归纳具体步骤.

    学生9板书：x2+6x+4=0.

    解：x2+6x+9-5=0，

    所以x2+6x+9=5，

    所以（x+3）2=5，

    所以x+3=±，

    所以x1=-3+，x2=-3-.

    学生10板书：x2+6x+4=0.

    解：x2+6x=-4，

    所以x2+6x+9=-4+9，

    所以（x+3）2=5，

    所以x+3=±，

    所以x1=-3+，x2=-3-.

    教师：请两位同学分别来解释一下各自的想法.

    学生9：根据刚才所学的，我们的目的是为了化成“完全平方式=常数”这一形式，现在要想让左边是完全平方式，必须是x2+6x+9，所以我们再减去5就能还原成x2+6x+4了.

    学生10：为了不让常数4干扰我们配完全平方，我们可以先将常数移至等式右边，等式右边变为-4+9.

    教师：非常好！所以，这两位同学最终殊途同归，具体差别在于，第一位同学这个5是用9-4得到的，这里面其实含着两步计算;第二位同学的过程是分步进行的，先配方再合并同类项，第二种方法步骤分明，便于计算. 我们将这种解一元二次方程的方法叫作配方法. 请同学们分别概括一下配方法的概念，阐述配方法的目的，以及它的具体步骤.

    学生11：定义：通过配成完全平方式的形式来解一元二次方程的方法，叫作配方法.

    学生12：目的：降次，将一元二次方程转化为两个一元一次方程.

    学生13：步骤：①移项，把方程的常数项移到方程的右边;②配方，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方;③开方，利用直接开平方法解方程;④写解，将方程的解表示为x1=p1，x2=p2的形式.

    教学分析 活动研学前面部分的教学内容是为了让学生厘清我们已有的认知. 活动研学部分的教学设计给了学生开放性的思维空间，所有思维方式最终的本质和落脚点都是不变的，既尊重了学生的思维，同时又帮助同学们建立了更为清晰的认识.

    4. 应用评学

    （1）认真观察下面方程的解法是否正确：

    设计目的 学生从掌握新知到准确地运用新知还有一段距离，给出常见的错误案例，让学生进行判断，可以让学生认识常见错误，思考错误的原因，厘清错误的认知，达到易错纠错、易错防错的目的，从而规避可能出现的错误.

    （2）解下列方程：①3（x-1）2-6=0;②x2-8x+1=0;③x2-x-=0.

    设计目的 本节课的目标之一就是会用配方法解决形如x2+bx+c=0的方程，本题的设计起到了巩固、检查、诊断的作用.

    （3）回归情境问题：课前的方程x（x+2）=24，你会解了吗？

    设计目的 看待一节课是否具备整体观，有多重维度，如教学设计是否经历了生成问题、分析问题、解决问题的“闭环结构”，教学是否生成了新的教学资源和问题，给学生更多思考的空间……设计问题（3）的目的是为了呼应课程最初所生成的问题，让学生切实感受到获得感.

    5. 数学史话

    微视频：了解并欣赏古人如何解一元二次方程.

    设计目的 古巴比伦人在不接受负数概念的情况下，是如何求解一元二次方程的呢？他们采用的是“割补化方”的方法，本质上等同于我们的“出入相补原理”. 例如，方程x（x+2）=24的几何意义为长为x+2，宽为x的长方形的面积24，如何求解呢？如图1，他们先将这个长方形分成边长为x的正方形和一个长为x，宽为2的长方形，继续再将这个长方形分成两个宽为1的小长方形，并将这三个图形拼在一起，此时只需要补一个边长为1的正方形便可以构成一个大正方形了，因此大正方形的面积为24+1=25，所以大正方形的边长x+1等于5，得到x的值为4，从而顺利地解决了该问题. 学生们通过了解这段历史，感受到数学的内在魅力，提高了学习数学的兴趣.

    反思升华

    1.有利于数学教学观念与方式的创新

    数学史的运用创新了“数学知识的形成过程的方式”，以数学史呈现古代对该知识的认知，呈现该知识的发展历程，为当今呈现该知识形成过程提供了背景与思路，使知识的形成过程具有底蕴.

    本节课用数学史作为线索推动课堂内容，自然而流畅. 为了贴合实际课堂，笔者用微视频呈现历史素材，素材鲜活、有感染力;用两条线贯穿课堂：一条线是借数学史，展开现代数学的内容;另一条线是利用现代数学和古代数学在处理數学问题上的差异制造冲突，冲击学生的思维，让学生在感受古代数学智慧的同时感悟现代数学的简约，体验数学直观美、简约美、智慧美，让学生感受成功的喜悦，感受数学的价值，提升学习数学的情感.

    2. 有利于数学学科核心素养的落实

    本课基于“HPM”理念，始终围绕培养学生的核心素养，创新问题情境，引发学生深度思考，让学生在掌握基本知识、基本技能的同时，去发现问题、分析问题、解决问题，甚至让学生大胆到讲台上讲出来，给学生独立思考、合作交流和勇于表达等机会与空间，培养学生终生需要的学习习惯、必备品格和关键能力.

    3. 有利于数学思想方法与文化的渗透

    实施数学史的教学展示了数学活动实践，呈现了数学活动的历史背景、文化和思想方法，所以说实施数学史的教学是渗透数学思想方法和文化的有效举措. 教学设计中的数学史介绍了古人如何解一元二次方程，很好地渗透了“数形结合”的数学思想方法和文化.

    本课以数学史料为线索展开教学，增强了学生的新奇感，一定程度上调动了学生学习的积极性;但由于学生数学史的储备不同，学生对数学史的素材理解、价值感悟、情感体验有一定的差异，产生的作用与预设有一定的差距. 可以看出，基于“HPM”视角的教学需要一个长期、循序渐进的过程，需要相互适应，不断融合，不断积累情感体验，使师生形成“HPM”视角的价值观、教学观，才能使“HPM”视角下的教学行为成为常态.