轴对称特性的解题应用探索

    黄焕才

    

    

    

    [摘 ?要] 轴对称以及性质不仅是中学数学重要的知识，还是一种重要的解题工具.在解析问题时若能合理利用轴对称变换或轴对称的性质，则可以挖掘题目中的隐含条件，建立高效的解题思路.文章深入探索轴对称在几何证明、图形翻折、线段最值和函数运算中的应用.

    [关键词] 轴对称;证明;翻折;路径;函数

    轴对称及其性质是初中数学重要的学习内容，具有轴对称特性的图形不仅存在外在的美感，还具有内在的关联性.利用轴对称的观点去观察图形结构、分析内在联系、构造几何图形，可以挖掘题目中的隐含条件，从而降低思维难度，获得问题求解的思路，因此可以说轴对称不仅是图形的一种特性，同样可以将其作为是一种工具应用于解题.

    轴对称在几何证明中的应用

    几何中存在一些具有轴对称特性的图形，例如正方形、长方形、菱形、圆等，将这些图形沿着对称轴对折可以使其完全重合.利用其轴对称的性质可以获得众多的等量关系，如对应角相等、对应线段相等，在解题时充分利用这些性质可以实现等角或等线段转化，从而打开解题的突破口.

    例1：如图1所示，四边形ABCD为正方形，点P为其对角线AC上的任意一点，过点P作PE⊥AB，垂足为点E，再过点P作PF⊥BC，垂足为点F，连接PD，PB，EF，试求证：PD=EF.

    分析 题干所给四边形为正方形，该图形具有轴对称的特性，解题时可以充分利用.分析可知PD和EF不具备存在于两个全等三角形中的条件，不能通过求证三角形全等直接获得，因此需要综合利用图形中的性质进行等边转化.具体思路为首先利用正方形的轴对称性得出PD=PB，然后证明四边形EBFP为矩形，得出PB=EF，进而证明PD=EF.

    证明 已知四边形ABCD是正方形，则顶点B和D关于对称轴AC对称，所以点P到两点的距离相等，即PD=PB. 又因PF⊥BC，PE⊥AB，所以四边形EBFP为矩形，则矩形的对角线PB=EF，从而有PD=EF，证毕.

    点评 求证不相关的两条线段相等一般有两种方式：一是直接进行等边转化，二是通过求证三角形全等，利用全等性质来完成. 上述在进行等边转化时充分利用了正方形为轴对称图形的特性，实现了第一步转换，为后续的分析奠定了基础. 因此在分析问题时要充分利用轴对称图形的特性，挖掘隐含条件.

    轴对称在图形翻折中的应用

    翻折是图形变换的一种方式，在图形翻折中隐含着角平分、三角形全等、对称等概念和定理.实际上，翻折前后的图形关于折痕呈轴对称图形，因此在分析翻折问题时可以从轴对称角度出发，利用轴对称的观点来挖掘隐含条件，建立问题与条件之间的关联.

    例2：如图2所示，四边形ABCD为菱形，其对角线分别为6和8，点O为两条对角线的交点.现选取过点O的一条直线MN为折痕对图形进行翻折，使点B落在点B′，若B′M=1，试求线段CN的长.

    分析 点N位于菱形的边CD上，翻折前后的图形关于折痕对称，利用轴对称的性质可得B′M=BM，CN=C′N，已知菱形两条对角线的长，利用勾股定理可求得菱形的边长. 已知B′M的长度，就需要利用全等三角形进行长度转化，建立DN与BM之间的等长关系.

    解 连接BD和AC，由题干可知四边形BCNM通过翻折得到了B′C′NM，由轴对称可得B′M=BM=1，CN=C′N. 菱形的两条对角线长分别为6和8，则AO=3，BO=4，△ABO为直角三角形，利用勾股定理可求得斜边AB=5，即菱形的边长为5. 在△OBM和△ODN中，有∠MBO=∠NDO，OB=OD，∠BOM=∠DON， 所以△OBM？艿△ODN，所以DN=BM.CN=CD-DN=AB-BM=5-1=4，即线段CN的长为4.

    点评 翻折是一种较为特殊的图形变化，其中隐含着众多的“变”与“不变”，实际上其中的“不变”条件就可以从轴对称的角度来看，如上述图形翻折前后的对应线段长相等. 考虑到翻折所得的图形较为复杂，有时难以准确提取其中的等量关系，分析时可以首先把握图形翻折前后的对称点和折痕，则对应点到折痕上任意点的线段长相等.

    轴对称在线段最值问题中的应用

    线段最值问题一直都是中考的经典问题，包括单线段最值和多线段和的最值两类，对于其中的某些特殊情形可以使用将军饮马模型来求解，实际上该模型就是对轴对称变换及其性质的综合利用. 在解题首先需要对线段所涉及的点进行分类，确定动点和定点，然后通过作对称点的形式实现点的共线转化.

    例3：在图4所示的△ABC中，AB=AC，AO⊥BC，垂足為点O，OE⊥AB，垂足为E. 现以点O为圆心，OE为半径画圆，交AO于点F，试回答下列问题.

    （1）证明：AC是⊙O的切线;

    （2）若点F是线段AO的中点，OE=3，试求图中阴影部分的面积;

    （3）在条件（2）成立的条件下，已知点P是BC边上的一个动点，试求PE+PF取得最小值时，线段BP的长.

    分析 本题目为2018年扬州市的中考几何压轴题，第（3）问是关于线段和的最值问题，求BP的长，实际上求线段和取得最小值时，点P的位置.其中点E和点F是位于线段BC同侧的两个动点，而点P是线段BC上的一个动点，显然符合“将军饮马模型”的构建要求. 只需要作点E关于线段BC的对称点G，连接FG，与BC的交点就是线段和取得最小值时点P的位置，从而可求得线段BP的长.

    解 作点E关于线段BC的对称点G，连接EG交BC于点H，连接FG，与BC的交点为点P，此时点F、P和G三点共线，PE+PF取得最小值. 在Rt△EHO中，EH=EOsin∠EOH= ，BH= ，△EHP∽△FOP，由相似性质可得2HP=OP. 又因为BO=BH+HP+OP，可推得HP= ，所以BP=BH+HP= ，即PE+PF取得最小值时，线段BP的长为 .

    点评 上述通过作对称点的方式，将不共线的三点转换到同一直线上，然后基于“两点之间，线段最短”原理，确立了线段和最小值的情形. 另外还可以这样理解，通过轴对称的方式实现了线段之间的转换，使得不共线的两条线段可以变换到同一直线上，为研究线段最值提供了可能.

    轴对称在函数运算中的应用

    抛物线是初中阶段需要学生掌握的一种特殊曲线，其特殊之处不仅体现在其函数表达式上，还体现在曲线的对称性上，即对于抛物线y=ax2+bx+c，其关于对称轴x=- 对称. 对于分布于对称轴两侧的点（x1，y1）和（x2，y2），若两点到对称轴的距离相等，则纵坐标的数值相等，即x1- =x2- ，则y1=y2，这也是抛物线中对轴对称性质的体现，同时也可以利用其对称性来比较数值大小.

    例4：已知抛物线y=x2+4x-5图像上有A，B，C三点，若其坐标分别为A- ，y1，B- ，y2，C ，y3，试比较y1，y2，y3的数值大小.

    分析 对于该题目常规的思路是将A，B，C三点的横坐标分别代入抛物线的解析式上，然后比较所求出的y值，但这样的思路较为烦琐，容易出错.较为简洁的方法是利用抛物线为对称曲线的特性，通过比较点到对称轴的距离大小来比较y值的大小.根据抛物线的解析式可知其开口向上，若曲线上的点到对称轴的距离越大，则对应的y值也越大，根据该思路即可对其做出比较.

    解 分析可知抛物线的对称轴为x=-2，点A位于对称轴的左侧，点B和C位于对称轴的右侧，因此可先求出点A关于对称轴的对称点A′- ，y1，分析可知点A′，B，C到对称轴的距离大小为dB

    点评 上述在比较抛物线上点的纵坐标值时，首先通过作對称点的方式将三点转化到对称轴的同侧，然后通过比较点到对称轴的距离直接获得了答案，该过程不仅利用了抛物线的单调性，还利用了抛物线的轴对称特性，为函数上点的坐标值大小比较提供了借鉴.

    总之，轴对称及其特性在数学解题中有着广泛的应用，上述只是其中最具代表性的几例. 在分析问题时，要注意观察图形，把握几何特性和等量关系，合理利用轴对称的方式来构建模型. 实际上轴对称变换也是一种重要的思维方式，在学习时要善于利用轴对称来拓展解题思维.