化归思想在解题中的应用

    张博原

    化归思想是解决数学问题的一种思维策略.化归思想的精髓就是通过某种方法和手段将复杂或抽象的数学问题转化为简单或具体的数学问题，从而使数学问题得到解决.一、化归思想基本原则

    无论是日常的学习还是考试，数学的题型丰富，解题方法多样.但在多年的数学学习中，笔者发现化归思想可以应用在多种题型中，如代数，几何，等等.但在运用化归思想解题时要遵循以下几个原则.

    第一，化陌生为熟悉.知识是相互联系的，在面对陌生的数学问题时，应当利用先前解决其他数学题的经验来解决陌生的问题，即将脑海中的新旧知识整合，寻找之间的关联，从而利用旧知识解决新问题.第二，化复杂为简单.该原则旨在将复杂的问题，通过整理关系结构或表达形式等手段将复杂的问题拆分成模块，简化问题的复杂程度，从而解决问题.第三，化抽象为具体.将抽象的关系用形象的方式表达，例如联系实际、数图结合等都是将抽象的数据变化为生活画面或者图形的手段，这样可以更直观地观察要解决的问题.二、化归思想在解题中的应用

    1.化陌生为熟悉原则在解题中的应用.

    用旧的知识解决新的问题是快速解决问题的有效方式之一，常见的运用方法有降次化归、消元化归等，这些方法在初中就有接触，也是高中最常用的解题步骤.在高中数学求点的坐标时，常用二元一次方程组求解，该求解过程就是消元化归的典型应用.

    

    例如，用消元化归法对方程①5x+3y=11和②7x+4y=15组成一个二元一次方程组进行求解，通过②-①转化就可以得到表达式③y=4-2x，将③代入①后，①方程从原本的有两个未知数x，y变为④5x+3（4-2x）=11，因此可求得x=1，进而可得y=2.在解决此题的过程中，直接解二元一次方程比较困难，但是将二元化为熟悉的一元就会非常好解.

    又如，用消元化归对以下的抽象函数问题进行求解.已知定义在R上的奇函数f（x）和偶函数g（x）满足f（x）+g（x）=ax-a-x+2（a>0，且a≠1），若g（2）=a，则f（2）为多少？根据题目可得①f（-x）+g（-x）=a-x-ax+2和②f（x）+g（x）=ax-a-x+2，又由于f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则f（-x）=-f（x），g（x）= g（-x），将其带入①+②可得g（x）=2，所以a=2.令x=2带入①则得到f（2）的结果.在这一题中就是利用抽象函数的定义将f（x）消除，进而得到g（x），从而进行求解.

    2.化复杂为简单原则在解题中的应用.

    化复杂为简单就是将数学题化繁为简.有时候当遇到一个条件非常多或公式非常复杂的数学题时就要思考是否要运用化繁为简的化归原则进行解题.下面以题为例.

    已知x2+x-1=0，求x3+2x2+2009的值.从题目上看，给的已知条件少，但所求式的结构非常复杂，有三次方和二次方，而给的条件是二次方和一次方.因此，这个题目就要从结构上入手，将x3+2x2+2009通过降次化归将该问题化为包含x2+x-1=0的形式.由x2+x-1=0可知x2+x=1，x3+2x2+2009可以表示为x（x2+x）+x2+2009，最终得x3+2x2+2009=2010.

    3.化抽象为具体原则在解题中的应用.

    在数学解题中，数形结合的解题方法充分利用了化抽象為具体的化归原则，将抽象的数字用图形表示出来.从人的思维方式发展的角度而言，形象思维比抽象思维出现得更早.因此，形象思维更简单，更值观，也可以说更为低级，所以在运用形象思维时更方便、更迅速.因此，将抽象的数字化为具体的图像更利于解题.例如，已知集合A=[0，4]，B=[-2，3]，求A∩B.这种题可以运用数形结合的思想方法，利用数轴进行解答，将A和B的范围在数轴上画出，再找出两者的交集区域即可.再例如，已知a>0，b>0，a≠b，试比较a2+b22和2aba+b的大小.这一问题就可以通过直角三角形解决，BC长为a，AC长为b，则a2+b2就表示AB，再通过设CM和CN为AB的中线和∠C的角平分线，然后再利用三角形面积公式等将这一问题解决.

    在上述举例中可以看出，化归思想可以应用在多种题型中，并且存在于多种解题方法中.事实上，除了上述的三个化归原则，还有化特殊为一般，化一般为特殊等原则，这些原则在许多问题中也能应用.除了上述的降次法、消元法、数形结合法，还有转换法等.究其根本，都是运用了化归思想，将陌生、复杂、抽象、特殊或一般的问题通过利用旧知识，将问题简化从而使问题得到解决.