巧妙应用滑动摩擦力与支持力的合力方向不变解题
肖秋芳
摘 要：在高中物理力学的解题过程中，经常会遇到这样的问题：一个物体同时受到滑动摩擦力、支持力等多力（三个力以上）作用时，在第三个力作用下，改变支持力与滑动摩擦力的大小，当第三个力满足一定大小和方向，这时第三个力出现了最小的极值问题。求解这个问题典型的做法是用三角函数求极值，而用三角函数知识解题比较繁杂，但如果巧妙应用滑动摩擦力与支持力的合力方向不变，就可以使问题简单化，提高了解题的速度，起到事半功倍的效果。
关键词：滑动摩擦力;支持力;合力方向不变;极值
滑动摩擦力Ff与接触面的压力FN之间的数量关系为Ff=μFN.得μ=Ff、/FN，如果把滑动摩擦力与支持力（压力的的反作用力）合成，由于滑动摩擦力与支持力是垂直的所以他们合力必然在是以这两个力为邻边的矩形的对角线上，而且合力方向不随着滑动摩擦力
与支持力的改变而改变（如图1），合力与支持力夹角为θ，tanθ=Ff /FN=μ，由于摩擦系数μ只取决于相互接触的两物体表面的材料性质及表面状况，因而θ与摩擦力和接触面的压力无关。也就说当滑动摩擦力与支持力都变化了，滑动摩擦力与支持力的合力方向却不变。这个结论在高中物理解题应用可以带来很大的方便。
1 滑动摩擦力与支持力的合力方向不变应用在四个力的极值问题
在一个接触面上物体同时受到了滑动摩擦力和支持力等三个力以上时，滑动摩擦力与支持力随着第三个力的改变而改变，当第三个力满足一定条件时求极值问题的应用[ 1 ]。
【例题1】如图2所示，水平地面上静止放有一质量为m的物体，物体与水平地面间的动摩擦因数为μ，用一恒力F作用在物体上使其在水平面上匀速运动的最小恒力F为多大，与水平方向夹角如何？
分析：用常规的解法，受力分析如图2，设F与水平夹角为θ， 把F力分解为水平方向与竖直方向。
根据平衡条件有
Fsinθ+FN=mg ①
Fcosθ=Ff ②
Ff=μFN ③
联立①、②、③式得
F=
由三角函数可得，当tanθ=μ时，F=
以上用三角函数得出结论，对学生的数学知识要求高，而且计算过程比较繁。下面用滑动摩擦力与支持力的合力方向不变求解。物体受力分析如图3，重力，拉力F，摩擦力，支持力。先把物体受到支持力与摩擦力合成为F1。θ为支持力与合力F1的夹角，tanθ=Ff/FN，μ=Ff/FN 即μ=tanθ，摩擦力与支持力的合力F1方向是确定的，当F作用下支持力与摩擦力也随之改變，但合力F1方向不改变。这样原来物体受到了四个力平衡的求最小值，转化为三个力平衡：已知一个力——重力的大小方向不变，另一个力的方向即摩擦力与支持力的合力F1方向已知，求出F最小值和方向。三个力共点力的平衡，其中F与合力F1的合力必然与G的大小相等，方向相反。F的最小值就是如图3中，从G'点作已知F1方向垂线段。如图即F=Gsinθ。
摩擦力与支持力的合力方向是确定的我们可省了大量的计算，给解题带来方便。不仅应用在水平上，也可应用在斜面上。
【例题2】如图4，质量为m的物块在斜面上做向下匀速运动，斜面的倾角为θ=300，现在物块上施加一个力F，图中未画出，使物体向上匀速运动则最小拉力及方向？
分析：一种用常规的方法设F与斜面的夹角为？滓然后根据三角函数关系求得F及夹角。计算过程复杂这里不介绍了。这里利用滑动摩擦与支持力的合力方向不变求解。首先分析在没有受到推力作用下物块m的平衡方程为：
FN -Gcosθ=0，
Ff -Gsinθ=0.
又Ff=μFN，解得μ=tanθ=
现在施加一个力，物体则受到是四个力，重力、支持力、滑动摩擦力、F（方向大小未知）。首先把支持力与滑动摩擦力先合成合力为F1，如图5，根据μ=tanθ=Ff /FN，虽然滑动
动摩擦力与支持力大小都因F的改变而改变，但他们的合力为F1方向却是定的。这样物体就受到三个力即：重力（大小、方向确定）、F1（方向已知）、F（大小、方向未知），三力平衡由矢量三角形几何关系可以得F是垂直于F1的垂线F方向与竖直方向夹角300向上，图中未画出。
当然，我们在解题过程中，经常会遇到物体受到五个力（其中两个力是滑动摩擦力、支持力）时，求满足一定条件的极值问题也可以应用
2 ?滑动摩擦力与支持力的合力方向不变应用在五个力极值问题
【例题3】如图6所示，倾角为60°，高为h的粗糙绝缘斜面体ABC固定在水平地面上，一个带负电的小球（可视为点电荷）固定在BC边上距B点h/3高处的D点，可视为质点的带正电的小物块Q（质量为m）静止于斜面底端的A点，此时小物块Q恰好不接触地面且与斜面间的摩擦力为0。已知小物块Q与斜面间的动摩擦因数=，小物块Q所受的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，若要拉动小物体Q，使之沿斜面向上运动，则拉力的最小值为多少？
分析：小物块Q静止于A点时，恰好不接触地面与斜面的摩擦力为0，对小物块Q受力分析且由几何关系可知，小物块Q所受库仑引力F与水平面夹角为300，则沿斜面方向对小物块Q由平衡条件得
mgsin60°=Fcos30°，解得F=mg。
小物块Q运动时，除拉力外的受力如图6所示，还受到四个力的作用：库仑力，重力，支持力，滑动摩擦力。库仑力F与重力G大小相等，且二者夹角为1200，故库仓力与重力的合力大小为F2=mg，合力方向在重力与库仑力的角平分线上且与重力方向夹角为60°，也与斜面垂直，所以FN大小等于F2，把小物块Q的支持力FN与滑动摩擦力Ff合成为合力F1的方向沿水平方向而且不随着F拉拉力的改变而改变，这样物体受到是五个力变成了三个力即：F与G的合力F2，（大小方向是确定的），支持力与摩擦力的合力F1（方向是确定的），还有就是拉力。拉力最小值即还是处于平衡状态，的如图7所示，由图解法可得，满足拉力与F1方向垂直时，拉力最小，最小值为mgsin30°=mg。
通过上面的几个例子，不难发现在滑动摩擦力与支持力的合力方向不变的运用，是把这两个力化成一个方向不变的力，从而化多力（三力以上）为三个力的。也是对滑动摩擦力计算公式的理解与运用，我们课堂中要善于引导学生进行归纳总结，既可以节约时间，又提高了解题效率。培养了学生的分析、理解、概括、应用的能力。
参考文献：
[1]张子云.一类动力极值问题的几何解法[J].物理教师，2018.（6）
摘 要：在高中物理力学的解题过程中，经常会遇到这样的问题：一个物体同时受到滑动摩擦力、支持力等多力（三个力以上）作用时，在第三个力作用下，改变支持力与滑动摩擦力的大小，当第三个力满足一定大小和方向，这时第三个力出现了最小的极值问题。求解这个问题典型的做法是用三角函数求极值，而用三角函数知识解题比较繁杂，但如果巧妙应用滑动摩擦力与支持力的合力方向不变，就可以使问题简单化，提高了解题的速度，起到事半功倍的效果。
关键词：滑动摩擦力;支持力;合力方向不变;极值
滑动摩擦力Ff与接触面的压力FN之间的数量关系为Ff=μFN.得μ=Ff、/FN，如果把滑动摩擦力与支持力（压力的的反作用力）合成，由于滑动摩擦力与支持力是垂直的所以他们合力必然在是以这两个力为邻边的矩形的对角线上，而且合力方向不随着滑动摩擦力
与支持力的改变而改变（如图1），合力与支持力夹角为θ，tanθ=Ff /FN=μ，由于摩擦系数μ只取决于相互接触的两物体表面的材料性质及表面状况，因而θ与摩擦力和接触面的压力无关。也就说当滑动摩擦力与支持力都变化了，滑动摩擦力与支持力的合力方向却不变。这个结论在高中物理解题应用可以带来很大的方便。
1 滑动摩擦力与支持力的合力方向不变应用在四个力的极值问题
在一个接触面上物体同时受到了滑动摩擦力和支持力等三个力以上时，滑动摩擦力与支持力随着第三个力的改变而改变，当第三个力满足一定条件时求极值问题的应用[ 1 ]。
【例题1】如图2所示，水平地面上静止放有一质量为m的物体，物体与水平地面间的动摩擦因数为μ，用一恒力F作用在物体上使其在水平面上匀速运动的最小恒力F为多大，与水平方向夹角如何？
分析：用常规的解法，受力分析如图2，设F与水平夹角为θ， 把F力分解为水平方向与竖直方向。
根据平衡条件有
Fsinθ+FN=mg ①
Fcosθ=Ff ②
Ff=μFN ③
联立①、②、③式得
F=
由三角函数可得，当tanθ=μ时，F=
以上用三角函数得出结论，对学生的数学知识要求高，而且计算过程比较繁。下面用滑动摩擦力与支持力的合力方向不变求解。物体受力分析如图3，重力，拉力F，摩擦力，支持力。先把物体受到支持力与摩擦力合成为F1。θ为支持力与合力F1的夹角，tanθ=Ff/FN，μ=Ff/FN 即μ=tanθ，摩擦力与支持力的合力F1方向是确定的，当F作用下支持力与摩擦力也随之改變，但合力F1方向不改变。这样原来物体受到了四个力平衡的求最小值，转化为三个力平衡：已知一个力——重力的大小方向不变，另一个力的方向即摩擦力与支持力的合力F1方向已知，求出F最小值和方向。三个力共点力的平衡，其中F与合力F1的合力必然与G的大小相等，方向相反。F的最小值就是如图3中，从G'点作已知F1方向垂线段。如图即F=Gsinθ。
摩擦力与支持力的合力方向是确定的我们可省了大量的计算，给解题带来方便。不仅应用在水平上，也可应用在斜面上。
【例题2】如图4，质量为m的物块在斜面上做向下匀速运动，斜面的倾角为θ=300，现在物块上施加一个力F，图中未画出，使物体向上匀速运动则最小拉力及方向？
分析：一种用常规的方法设F与斜面的夹角为？滓然后根据三角函数关系求得F及夹角。计算过程复杂这里不介绍了。这里利用滑动摩擦与支持力的合力方向不变求解。首先分析在没有受到推力作用下物块m的平衡方程为：
FN -Gcosθ=0，
Ff -Gsinθ=0.
又Ff=μFN，解得μ=tanθ=
现在施加一个力，物体则受到是四个力，重力、支持力、滑动摩擦力、F（方向大小未知）。首先把支持力与滑动摩擦力先合成合力为F1，如图5，根据μ=tanθ=Ff /FN，虽然滑动
动摩擦力与支持力大小都因F的改变而改变，但他们的合力为F1方向却是定的。这样物体就受到三个力即：重力（大小、方向确定）、F1（方向已知）、F（大小、方向未知），三力平衡由矢量三角形几何关系可以得F是垂直于F1的垂线F方向与竖直方向夹角300向上，图中未画出。
当然，我们在解题过程中，经常会遇到物体受到五个力（其中两个力是滑动摩擦力、支持力）时，求满足一定条件的极值问题也可以应用
2 ?滑动摩擦力与支持力的合力方向不变应用在五个力极值问题
【例题3】如图6所示，倾角为60°，高为h的粗糙绝缘斜面体ABC固定在水平地面上，一个带负电的小球（可视为点电荷）固定在BC边上距B点h/3高处的D点，可视为质点的带正电的小物块Q（质量为m）静止于斜面底端的A点，此时小物块Q恰好不接触地面且与斜面间的摩擦力为0。已知小物块Q与斜面间的动摩擦因数=，小物块Q所受的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，若要拉动小物体Q，使之沿斜面向上运动，则拉力的最小值为多少？
分析：小物块Q静止于A点时，恰好不接触地面与斜面的摩擦力为0，对小物块Q受力分析且由几何关系可知，小物块Q所受库仑引力F与水平面夹角为300，则沿斜面方向对小物块Q由平衡条件得
mgsin60°=Fcos30°，解得F=mg。
小物块Q运动时，除拉力外的受力如图6所示，还受到四个力的作用：库仑力，重力，支持力，滑动摩擦力。库仑力F与重力G大小相等，且二者夹角为1200，故库仓力与重力的合力大小为F2=mg，合力方向在重力与库仑力的角平分线上且与重力方向夹角为60°，也与斜面垂直，所以FN大小等于F2，把小物块Q的支持力FN与滑动摩擦力Ff合成为合力F1的方向沿水平方向而且不随着F拉拉力的改变而改变，这样物体受到是五个力变成了三个力即：F与G的合力F2，（大小方向是确定的），支持力与摩擦力的合力F1（方向是确定的），还有就是拉力。拉力最小值即还是处于平衡状态，的如图7所示，由图解法可得，满足拉力与F1方向垂直时，拉力最小，最小值为mgsin30°=mg。
通过上面的几个例子，不难发现在滑动摩擦力与支持力的合力方向不变的运用，是把这两个力化成一个方向不变的力，从而化多力（三力以上）为三个力的。也是对滑动摩擦力计算公式的理解与运用，我们课堂中要善于引导学生进行归纳总结，既可以节约时间，又提高了解题效率。培养了学生的分析、理解、概括、应用的能力。
参考文献：
[1]张子云.一类动力极值问题的几何解法[J].物理教师，2018.（6）
